蕴藏本质 传承经典——漫谈2020年浙江高考数列解答题

浙江 曹亚奇

2020年浙江高考数学数列解答题着重考查等差、等比数列的通项公式及求和等数列常规知识.涉及“数学抽象”“逻辑推理”“数学运算”等重要的学科核心素养.下述例题蕴含了“累加累乘”“裂项相消”等数列中的“通性通法”,亦可用到“构造常数列”等优化计算的技巧,而这些方法技巧均可归纳为代数运算中的“同构”思想.

(Ⅰ)若{bn}为等比数列,公比q>0,且b1+b2=6b3,求q的值及数列{an}的通项公式；

题型综述:2020年浙江高考数列解答题的设计注重通性通法,背景公平熟悉,试题表述简洁精准,设问由浅入深,梯度明显.试题的设计返璞归真,立足教材,着重考查等差、等比数列的通项及求和等数列常规知识.涉及了“数学抽象”“数学运算”以及“逻辑推理”等重要的学科核心素养.纵向对比去年高考的数列大题,第(Ⅰ)问难度略有下降,第(Ⅱ)问难度基本持平,为不同基础、不同能力水平的考生都提供了适当的思考空间.下面,笔者将从“解法”“思想”“拓展”“本源”等多个角度来分析这道好题.

1.庖丁解牛 漫谈解法

1.1 通性通法 波澜不惊

【点评】本小题考查等比数列、累加法等基础知识与基本技能.试题起点低,易入手,面向全体考生,解题方向明确.

而第(Ⅱ)小题区分度明显.

1.2 裂项求和 各显神通

方向一(累乘)

【点评】本小问涉及等差数列性质与累乘的方法,呼应第一小问的等比数列与累加法.依然是通性通法,然而题干不涉及具体数值,稍显抽象,学生容易“卡壳”,停滞不前.

方向二(构造常数列)

cn+1bn+2=bncn⟹bn+1bn+2cn+1=bnbn+1cn,

令dn=bnbn+1cn,则{dn}为常数列.

而后裂项相消同方向一.

【点评】原递推方程两边同乘以bn+1后,便构造出一个相邻两项的“同构式”,即构造出一个常数列,从而简化了计算.当然这个方法对学生的整体大局观和抽象思维要求颇高,正所谓“想的多一些,便算的少一些”.事实上这种构造常数列的方法在往年的高考真题卷或者竞赛卷上屡见不鲜(后面会举例说明).

方向三(不完全归纳,先猜后证)

而后裂项相消同方向一.

【点评】不完全归纳法体现了从特殊到一般的辩证关系.“猜”并不是瞎猜,而是以观察为向导,以联想为手段,以逻辑为根据,类比归纳结果.当然作为等差型数列的裂项过程与前几种方向保持一致,亦是这几种方向的共同突破口.

方向四(加强型数学归纳法)

2.灵活多变的技巧——裂项相消

2.1 常见结构 了然于胸

以上四个方向是该数列题的常规解法.笔者从本届高考的部分学生那里得到的反馈是:第(Ⅱ)问“没有头绪”、感觉“抽象”、“难以下手”等评价.那我们从解法上看,无论哪个方向都避不开“裂项”这个主题.数列解答题中的“裂项相消求和”的技巧是最常规也是最热门的考点之一.学生“卡壳”的主要原因在于其表达式的“抽象性”(不带具体数字),没有识别其结构,对其表达的数学本质没有看透.笔者归纳了以下几种常见的“裂项相消”的结构式.

(5)三角函数型:an=tann·tan(n+1);

(6)组合数公式型:an=nn!；

2.2 三项裂变 降维转化

学生考试后所反馈的裂项放缩的途径大致两个方向.

3.优化计算的法宝——构造常数列

3.1 真题溯源 优化计算

从前文的解法上看,方向二(构造常数列)计算过程最为简洁.而该方法可谓是优化计算的法宝,在过往的浙江高考真题与省数学竞赛中亦可应用推广,下面列举两例.

题1(2018·浙江卷·20)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.

(Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

3.2 致敬经典 拓展改编

事实上,3.1题1(2018·浙江卷·20)第(Ⅱ)问在实际高考解答中,利用常规的“错位相减法”属于比较普遍和稳妥的方法,而待定系数法构造“常数列”在优化计算方面也有其优势.于是笔者参考过往几年的浙江高考真题卷,拓展改编了一道“模拟题”,试图将“累加法”“构造常数列”“裂项放缩”等方法融入其中,致敬经典.

【原创题】设数列{an}的前n项和为Sn,满足a2=-2,2Sn=nan-3n.

(Ⅰ)求证:{an}为等差数列,并求{an}的通项公式；

【解析】(Ⅰ)由2Sn=nan-3n,得2Sn-1=(n-1)an-1-3(n-1)(n≥2)，

此处方法有分化,大致可以三个方向.

方向一(递推式作差)

将(n-1)an+1-nan=3与(*)作差得,

(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0(n≥2),即an+1+an-1=2an,

所以{an}为等差数列.由2S1=a1-3⟹a1=-3,得an=n-4.

方向二(累加求和)

方向三(构造常数列)

接下来,可以用“错位相减法”或者更为简洁的“裂项相消”求和.

4.数列运算的主旋律——同构式

上述原创题中,笔者出题的灵感来源于浙江高考数学2013年(文)、2018年、2020年这三年的数列解答题，创编的意图和主题可以用“同构”来概括.

“同构”其实是抽象代数的专业术语,指的是一个保持结构的双射.在高中阶段我们提到同构难免会有乱用专业术语的嫌疑.我们之所以经常这么说,是从表面的含义理解出发的,同构表示结构、形式相同,或俗称“算两遍”.所以用“同构”来概括一些类型的题目比较合适,可谓言语少,意深远!事实上,让我们重新审视2020年浙江高考数列真题和笔者的创编题,“累加”与“裂项相消求和”可看成若干个同构式的加法运算；“累乘”是对一系列同构式的乘法运算；“递推关系式作差”是关于两个相邻同构式的差的运算；“构造常数列”是寻求任意相邻两个同构式的等量关系.由此,可以说在数列题型中的常用技巧与思想方法中,“同构思想”占据着举足轻重的地位.