妙用数形结合 让初中生数学解题思路更清晰

摘 要：数学知识具有较强的抽象性和逻辑性，需要学生注意学习的方式与方法。当前，很多学生在理解和应用数学知识解答问题时，往往不知如何下手，这与学生学习思维能力有关。为提升学生的数学思维能力，本文在阐述数形结合思想在解题应用中的意义的基础上，通过函数问题、几何问题、不等式问题等的典型实例，说明了在解题教学中如何引导学生巧妙运用数形结合方法分析、解决问题。

关键词：初中数学;数形结合;思想方法

中图分类号：G427                                  文献标识码：A                                   文章编号：2095-9192（2021）14-0065-02

引  言

数形结合是一种比较有效的解题方式，也是当下初中生应该具备的一种思维能力。具备良好的数形结合思维后，学生就能借助“以形助数、以数辅形”，将抽象的数学问题具体化，从而有效解决问题。因此，本文将重点分析数形结合思想在初中数学解题中的应用，以培养学生良好的数形结合解题思想。

一、数形结合思想在初中数学解题中的应用意义

（一）促使学生解题思路更为优化

教师将数形结合思想应用于初中数学解题教学中，有利于帮助学生发现数量与图形之间的关系，使其懂得运用图形的直观性去理解题目中涉及的数量，优化解题思路，从而提升学生的解题效率。

（二）有助于锻炼学生的逻辑和空间思维

学生利用数形结合解题思想分析和探究实际的数学问题，可以逐渐培养自己的逻辑和空间想象思维。比如，在分析数量与图形相结合的问题时，学生既要分析其中的数量关系，又要探究图形的规律，而在将二者有机结合的过程中，他们的逻辑和空间思维也能得到很好的锻炼，这对提升学生的逻辑思维和空间想象思维都有一定的促进作用[1]。

（三）能有效激发学生对数学解题的兴趣

数形结合既有数量关系又有图形分析，能够丰富学生的学习内容。而且在分析数量与图形关系时，学生能够感觉到数学知识的神奇，并且也会从分析中体会到数学图形的美。

二、数形结合思想在初中数学解题中的应用分析

（一）将数形结合思想应用于初中数学函数问题的解答中

初中数学涉及很多知识点，因而数学问题也千变万化。其中，函数问题是初中数学问题中的一个重要类型，也是许多学生比较头疼和害怕的数学问题。从以往数学函数问题的解题情况来看，有些学生拿到数学题目之后，往往不知从何入手。究其原因，主要还是学生缺乏良好的数学函数解题思路，无法找到解题的突破口。那么，在讲解数学函数问题时，教师就可以引导学生应用数形结合思想，寻找函数问题中的数量与图形关系，从而将复杂的函数问题简单化，进而帮助学生顺利解答问题。下面以一道初中数学函数问题为例进行说明。

例题：已知tanα=1/2，tanβ=1/3，求证α+β=45° .

案例分析：在讲解这道初中数学正切函数问题时， 教师应让学生学会利用数形结合思想，用题目中的数量关系来构造满足条件的角α、β，并思考如何将其中的数量关系与实际构造出来的图形相结合，从而促使学生逐步养成良好的数形结合思想，进而增强学生的数学思维运用能力。其中，教师可以先让学生根据题目已知条件，将角α、β画出来，如图1所示。

那么，当下学生需要求证的是α+β=45°，所以，教师应进一步引导学生想办法对上述角α、β进行构造，即构造角α+β，从而将题目中的数量问题转化为图形构造问题，进而将抽象的数量关系转化为形象的图形解析，最终促使学生得出函数问题的答案。

案例结果：根据角α+β，学生可以画出如图2所示的图形。

那么在上述图形中，学生通过连接BC，就可以得出∆ABD≌∆CBE，即∆ABC是等腰三角形，所以α+β=45°。通过借助直观图形的分析，学生可以快速得出实际问题的答案，有效提升解题效率。由此可见，数形结合思想不仅能提升学生的实际解题能力，还能激发学生的数学学习思维。

（二）将数形结合思想应用于初中数学几何问题的解答中

在实际学习过程中，许多学生只会利用以数代形的方式来解答数学问题，而忽略了以形代数的数学解题思维，这是学生未能形成良好的数形结合思想的体现。所以，学生只有既掌握以数代形，又理解以形代数的过程，才能真正形成良好的数形结合思想。在初中数学几何问题中，教师可以应用数形结合思想来引导学生思考和解决几何问题。而数形结合思想可以使部分平面几何问题简单化，同时有助于学生产生丰富的联想，从而将抽象的几何问题进行一一拆解，促使学生尽快找到几何问题的解题思路。下面以初中数学中的一道几何题为例进行说明。

例题：如图3所示，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分拼成一个长方形，请根据两个图形中阴影部分的面积相等，验证a2-b2=（a+b）（a-b） .

案例分析：根据题目意思，教师可以将阴影部分面积等于边长为a的正方形面积与边长为b的正方形面积的差表示为a2-b2，那么阴影部分是长方形，其中長为a+b，宽为a-b，其面积为（a+b）（a-b），所以就有a2-b2=（a+b）（a-b） .

案例结果：将题目中的几何问题转化为数量关系，能实现以形代数，这能促使学生懂得灵活运用数形结合思想对实际问题进行解答，而不仅局限于以数代形的思维。

（三）将数形结合思想应用于初中数学不等式问题的解答中

不等式也是初中数学教学中的一项重要内容，也是经常出现的数学考点。在解答中，教师同样可以引导学生利用数形结合思想，解答实际的数学问题。以初中数学不等式问题为例，首先，学生需要明确讨论的对象及讨论对象的取值范围;其次，选择正确的分类标准，并进行合理分类;再次，逐类讨论问题，并提出解决的方案;最后，将讨论的结果进行归纳并得出结论。

例题：已知 ，求a的取值范围。

案例分析：根据例题内容，教师可以让学生利用数形结合思想，将其中的不等式数量关系表现在形象的数轴上，如图4所示。

案例结果：教师通过引导学生利用直观的数轴来解答实际的不等式问题，能够让学生掌握数形结合思想。这样，学生就能快速地求出答案，并体会到应用数形结合思想的益处。

结  语

综上所述，对于初中生而言，数形结合思想的形成需要经历长期的训练和学习积累。所以，教师应结合实际的数学问题，引导学生挖掘题目中的数量与图形关系，从而促使学生主动利用数形结合思想来解答实际的数学问题，进而让学生真正体会到应用数形结合思想的益处，并不断提升自身的数学解题能力和技巧。

[参考文献]

李敏瑞.注重数形结合在初中数学解题过程中的妙用[J].课程教育研究，2018，13（25）：68.

作者简介：张新溪（1975.8-），男，福建诏安人， 本科学历，中学一级教师，研究方向为初中数学教学。