浅谈导数在解决函数问题中对参数的几种分类讨论

张跃龙

摘 要：纵观历年高考对导数的应用，都会以“一大一小”的格局出现，“一小”即以选择题或以填空题的形式考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用。“一大”即以压轴题的形式考查导数、不等式、方程等方面的综合应用，难度较大。作为高考必考热点内容，有一定程度的综合性，方法能力要求较高，承载着高考对数学学科考查的数学素养包括数学方法、数学思想、数学能力、思维逻辑以及解决实际问题的能力，是整个高中数学的核心板块、学习线索、其它知识的载体——函数的集中，全面考查，份量很高，是每年高考复习的重点难点。特别是在解决问题的过程中往往要涉及到对参数进行分类讨论这一难点，综合师生在实际解决试题过程中缺乏对参量进行分类讨论的思维意识，笔者就这一难点问题以高考试题为素材对参数进行分类讨论的理由，分类的依据，进行探讨，进而得出对参数进行分类讨论的几种模式。

关键词：含参数函数的单调性;  基础前提 ; 根的数量分类;  根的大小分类 ; 极点和定义域区间相对位置的分类

查阅各省市历年高考数学在导数的应用板块的主观试题，题型通常是对含参量函数的极值、单调性、零点、恒成立及方程等基本属性的考查，解题过程往往都要对其参量进行分类讨论，笔者在教学中发现其难点是如何对参量分、怎么分、分几类、分的依据分别是什么、是学生掌握的难点，理解的难点，但对参量的精准，不重不漏的分类同时也是分析解决函数基本属性的关键前提。

笔者认为要让学生突破这个难点，首先要理解接受这样一个思路方法，那就是函数的单调性是解决函数其它问题（极值、零点、恒成立、方程与不等式，已知单调性求参量范围）的基础前提。对于函数极值最值的求解显然要知道其单调性，然后依据单调性达到求解，而对于函数的恒成立型问题，不等式以及已知其单调性求其参量范围问题，首先借助分离参数法或者最值转化法，转化为函数的最值问题，其次依靠函数的单调性加以分析，达到解决。另外对于函数与方程，函数零点问题都要依靠函数单调性得到函数极值最值以及图象轮廓再应用数形结合思想达到分析解决，故综上述可以看到对含有参数的函数单调性的讨论分析是解决其它问题的基础前提，同时也是高考考查的热点。

鉴于上述考量，笔者着重就利用导数解决含参量函数的单调性问题中对参量的如何分，怎么分的问题以高考试题为素材进行探讨。

一、对导函数在其定义域内根的数量进行分类讨论。

借助导数讨论含有参数函数的单调性，首先求出导函数f′（x）≥0，以及f′（x）≤0的不等式解集。对于导函数不等式解集的讨论，往往先讨论、分析导函数在其定义域内有无根，若有根有几个跟的问题，其次若有根则进一步让根划分其定义域，最后讨论每一个划分区间下其导函数的正负情况。若导函数是含参量的一元二次函数，在开口方向已定的情况下，就对其判别式进行分类讨论，往往分Δ≤0和Δ>0两种情形（虽然Δ=0时导函数有一个根，但不影响f′（x）≥0或f′（x）≤0的趋势，从而有f（x）在其定义域内为单调函数，故将Δ=0和Δ<0归结为一类）。若导函数为非二次函数，往往借助相关函数的特征如恒大于0等對根的数量情况加以分类讨论。

例：已知，讨论f （x）的单调性。

解析：根等价于的根，故对二次函数的判别式分Δ≤0和Δ>0两类情况对参量进行分类讨论。

解：f （x）的定义域是（0，+∞），

设的判断式Δ=，

①当Δ≤0时，即时，

上单调递增函数。

②当Δ> 0时，即时，

在上单调递增。

例：（2015年江苏卷理）已知函数，（Ι）讨论f （x）的单调性。

解析：本题其判别式故分Δ=0和两类情况对参量进行分类讨论，另外注意对情形下f '（x）=0的两根大小需进一步分类讨论。

解：当Δ=0时，即时，

上单调递增，当 时，即时， 的两根x1=0，x2。

评论：2013年浙江理数，2016年天津理数，2016年山东理数都考查了对判别式分类讨论的理念。

例：（2015年天津卷理数）已知函数

（Ι）讨论f （x）的单调性。

解析：当n为奇数时，根即的解有两个，，当n为偶数时，的根有一个x=1，故对n为奇数和偶数分两类进行讨论。

解：当n为奇数时，令得x1=0，x2=-1

单调递减，

当单调递增。

当n为偶数时，令，得x=1，所以当时， ，f （x）递增。当时， ，f （x）递减

例：已知：，讨论f （x）的单调性。

解析：，考虑到指数函数故当时，f '（x）=0无根。

当时，f '（x）=0的根为，

解：函数定义域为R，

当无根，有，f （x）在（-∞，+∞）上单调递增。当时，f '（x）=0的根为

单调递减。

当单调递增。

评注：分析讨论导函数有无根时，往往要考虑到某些函数的性质，如指数函数恒大于零，三角函数的值域小于等于1等。2017年理数全国Ι，2017年文数全国Ⅲ都对此有所考查。

二、对导函数在其定义域内根的大小进行分类讨论。

若导函数f '（x）=0在其定义域内有根，那根的大小关系直接决定所划分定义域的区间结果，从而决定单调性，故应以根的大小关系为依据对参量进行分类讨论。

例：（2011年北京卷理数）已知函数，求f （x）的单调区间。

解析：f '（x）=0有两根x1=k，x2=-k，由于x1和x2大小未有定论，故应对x1和x2大小关系进行分两类。

解：

当x1>x2时，即k>0时，x∈（-∞，-k）Y（k，+∞）时，，f （x）单调增函数

x∈（-k，k）时，，f （x）单调减函数

当x1

x∈（k，-k）时，，f （x）单调减函数

例：（2017年山东理数）已知函数

（Ⅱ）令讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

解析：本题是对根的数量和根的大小为依据对参量分类讨论的典范。，当a≤0时，f '（x）=0的根为x1=0，当a>0时，f '（x）=0的根为x1=0，x2=ln，故首先应对根的数量分a≤0和a>0两大类，其次应看到当a>0的情形下，需进一步对x1=0，x2=ln的大小关系分三类。本题解题过程看似庞大、繁杂，但只要分类思路清晰，分类层次明确便迎刃而解，这体现了“数学贵在思想”的数学素养及学习方法。

解：，利用导数得知当x>0时，x-sinx>0

当x<0时 ，x-sinx<0.

（1）当a≤0时，当时，单调递减，当x=0时，单调递增，所以当x=0时，h（x）取极小值h（0）=2a-1

（2）当a>0时，h '（x）=0有两根，x1=0，x2=ln

①当单调递增，单调递减，当时，h （x）单调递增。

所以，当x=ln时，h （x）取极大值，当x=0时，h （x）取极小值。

②当ln=0时即a=1时，有时，h （x）单调递增。

③当单调递增，时，h （x）单调减函数。当时，h （x）单调递增，所以h （x）在x=0取极大值。在x=ln取极小值。

评注：2016年全国理数1卷，2016年理数山东卷，2013年江苏卷，以两根的数量及两根的大小为依据，对参数进行综合分类都有考查。考查考生的分类讨论思想，数形结合思想，逻辑推理思想以及运算观察能力，是高考考查的热点高频点，师生应高度关注。

三、函数极值点和定义域区间相对位置（定义域区间内的极值点的数量）的分类。

函数在极值点附近左右两侧的单调性相反，因此函数极值点落在函数定义域内或定义域外（左侧或右侧）意味着函数在其定义域上有不同的单调性，因而最值的结果不一样，故函数的极值点中含有参数时要讨论函数在已知区间上的单调性，极值及其它问题，首先应对极值点和已知定义域的相对位置分三种情况（极值点在定义域内、极值点在定义域左侧、极值点在定义域右侧）讨论。事实上关于一元二次函数的“轴动区间定”型问题，其本质就是对极值点和定义哉区间相对位置分类討论的特殊情形。2011年理数江苏卷和2016年理数天津卷，2016年理数全国卷Ⅲ，对此理念都有所考查和体现。

例：（2011年江苏卷理数）已知，若，求h （x）在（-∞，-1）上的最大值。

解析：h （x）在处分别为极大值和极小值点，要求h （x）在已知定义域区间（-∞，-1）上的最大值，应依极值点和区间的相对位置分三类进行讨论。

解：令 h （x）=0，得时，h （x）的单调增区间为单调减区间为

①当上单调递增，h （x）在（-∞，-1）上的最大值

②当上单调递增，在区间上单调递减，h （x）在（-∞，-1）上的最大值

③当上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为所以h （x）的最大值。

以上三种分类讨论是导数在应用在主观试题中考查的热点，同是也是难点，师生应在平时教学和学习中应给予关注。

参考文献

1.杜志建.2015年-2017年3年真题汇编、数学（理）;

2.天利全国高考命题研究中心.2011-2015年5年高考真题汇编、数学（理）。