数列收敛的一个判定定理

杜先云 任秋道

【摘要】本文从新的角度认识收敛数列的渐进性，利用数列各项变化的微小性来判定数列收敛。获得数列收敛的判定方法：有界数列{xn}收敛的充分条件：？坌？着>0，？埚N∈Z+，当n>N时，有|xn-xn-1|<？着;级数收敛的判定方法：如果级数an有界，且an=0，则级数收敛。并且证明了数列收敛的判定定理与柯西收敛定理等价。

【关键词】数列  数列收敛  级数收敛

【基金项目】四川省教育厅基金资助（16ZB0314）。

【中图分类号】O186.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）05-0034-02

1.引入

本文从新的角度去认识收敛数列的渐进过程：数列极限来源于用一系列近似值去逼近问题的精确值[1-2]。容易知道：收敛数列{xn}从某一项起所有的项在任何精度下都有相同的近似值（实际问题的精确值）[3-4]。我们在中学学过等差数列，公差为零数列是常数数列。如果一个数列{xn}相邻两项的差xn-xn-1（n>2），当n无限增大时，无限接近0，它有什么性质？本文利用xn-xn-1趋于0来判断数列{xn}收敛，给出了数列收敛的一个判定定理，推广了数列单调收敛准则，并且证明了这个定理与柯西收敛定理等价。

2.数列收敛的判定定理

目前定义法是使用最多的判定数列收敛方法。这个方法首先要知道极限存在，判断过程抽象，因而该方法本身有不足之处。大学转变为大众教育后，很多学生理解能力较低，要理解这个方法就更困难。下面我们给出一个不需要事先知道极限，简便运算后，便于用描述性定义就能够直观判断数列是否收敛的方法。

定理1与柯西收敛定理等价，可以作为数列收敛的判定定理。有些情况，利用定理1证明命题比利用柯西收敛定理更加方便。

参考文献：

[1]华东师范大学主编.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育版社，1983.11： 36-54.

[2]刘玉琏， 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社， 2001.02.

[3]陈纪修.数学分析（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社， 2004.08.

[4]马雪雅.关于收敛数列定义与几个等价命题关系的探讨[J]. 昌吉学院学报， 2004（2）：112-113.

作者简介：

杜先云（1964-），男，汉族，四川三台县人，博士，教授，研究方向：应用数学。

任秋道（1965-），男，汉族，四川盐亭县人，硕士，教授，研究方向：应用數学。