分数阶混沌系统的自适应预测同步*

司辉 郑永爱

（扬州大学信息工程学院，扬州 225127）

引言

系统的同步意味着系统的轨迹逐渐趋于一致.由于在数字通信、电力电子、生物系统、化学反应和信息处理等不同的工程领域有着广泛的应用，分数阶混沌系统的同步问题一直是众多研究者研究的热点.同时不同分数阶混沌系统的同步方法相继被提出，如滑膜方法[1，2]、脉冲方法[3，4]、active控制方法[5，6]和模糊方法[7，8]等 .

自适应方法能实时收集数据和调整控制参数，因此它常用来控制和同步分数阶混沌系统.文献[9]设计了不确定分数阶混沌系统同步的自适应控制律，导出了具有模型不确定性和外部扰动的分数阶混沌系统同步的几个充分条件.文献[10，11]分别利用自适应控制器实现了含有未知参数的分数阶Arneodo系统和分数阶Liu系统的同步.另一方面，文献[12]利用预测反馈控制方法实现了离散混沌系统的控制.文献[13-15]推广了该方法并实现了整数阶连续混沌与超混沌系统的预测反馈控制和同步.基于T-S模糊模型和预测反馈控制，文献[16-18]进一步研究了分数阶混沌系统的控制与同步.然而这些方法中增益矩阵往往需要求解线性矩阵不等式，这给该方法的应用带来很大的限制.

针对预测反馈控制方法存在的不足，本文提出了一种新的实现分数阶混沌系统同步的自适应预测控制方法.基于分数阶Lyapunov稳定性理论，设计自适应预测控制器和控制增益的分数阶自适应律，实现了分数阶混沌系统的同步，证明了在一定条件下误差系统能渐近趋于零.数值仿真表明该方法的有效性.

1 分数阶微积分

2 控制器设计

3 数值仿真

选取分数阶Chua混沌系统作为驱动系统：

图1 分数阶Chua系统的吸引子Fig.1 Attractors of fractional-order Chua system

响应系统表示为：

控制器增益的分数阶自适应律为：

响应系统的初值[y1(0)，y2(0)，y3(0)]=[0.4，-0.6，0.6]，控制器增益的初值[β1(0)，β2(0)，β3(0)]=[0.2，0.2，0.1]，数值仿真结果如下：图2显示驱动系统与响应系统的状态响应曲线，图3显示同步误差渐近趋于零.图4显示当t→ +∞时，增益βi(1≤i≤4)趋于一个常数.

图2 驱动系统与响应系统的状态响应曲线Fig.2 State responses of drive system and response system

图3 同步误差状态曲线Fig.3 Synchronous error state curve

图4 控制器增益的变化曲线Fig.4 The variation curve of controller gain

4 结论

基于分数阶微积分理论和分数阶Lyapunov稳定性理论，设计自适应预测控制器和控制增益的分数阶自适应律，实现了分数阶混沌系统的同步，证明了在一定条件下误差系统能渐近趋于零.本文的方法无需反馈增益的先验知识，且收敛速度快和在实验中很容易实现.分数阶Chua系统的数值实验进一步验证了所提同步方法的有效性.