具有不等集群结构的离散时空网络间同步*

柳爽 李宽 张润泽

（上海应用技术大学机械工程学院 上海 201418）

引言

自1990年Ott，Grebogi和Yorke提出非线性系统中OGY混沌控制方法后，相关的同步与控制方法日趋成熟和丰富，如驱动-响应同步法、主动-被动同步法、自适应控制同步法、脉冲同步法等[1-4].同时其应用领域也由数学、物理、计算机迅速扩展到生物医学、航空航天等新兴领域，特别是近几年有关同步的研究在机器人协同合作、卫星姿态调整等方面的有着广泛的应用.在不同学科中，由于受控目标本身的动力学特性大有不同，因此如何有针对性的选取更合理的同步策略是研究的重点[5-8].

通过观察自然界以及生活中的同步现象，发现同步问题不仅存在于两个系统间，在多群体的复杂网络中依然适用.比如智能交通网络中，无人驾驶车辆就是利用360度视野信息同步，使每辆车即时保存和分享交通网络中的路况，通过信息共享调整车速、控制车距，保证安全有序的交通运输.还有流行性疾病的网络传播等都呈现出群体同步的特征，与系统同步相比，网络同步除了要考虑的受控对象数目的增多外，网络中节点间耦合关系也同样重要，因此复杂网络的建模成为分析网络同步的又一关键.复杂网络模型经历着由简单到复杂、由确定到随机、由时间到时空的发展过程，并取得了很多创新性的研究成果[9-11].Wang和Chen[12]研究了具有小世界连接特性的复杂动态网络，发现当改变网络的部分连接时可增强网络的同步的能力.倪等[13]讨论了具有局部结构增长的无标度网络模型为基础的传染病动力学系统，给出了网络拓扑结构对传染病传播机制的影响.Wang等[14]分析了无标度梯度网络下的耦合方案，并证明了通过该方法构建的网络比其他同规模网络具有更强的同步性.Li等[15]利用滑模策略实现了一类时空混沌网络的同步问题，同时给出了未知参量的识别率.以上研究工作均围绕着复杂网络的网络内部拓扑性质、同步能力展开，可被视为网络内同步研究[16].在此基础上，Li等[17]提出了一类针对两个离散复杂网络间的外同步现象的展开了讨论.这种诠释不同群落间多个体间行为一致的外同步问题，能更贴切的还原真实网络在信息传播时的同步特性.Zhou和Li[18]讨论了结构不对称的小世界网络间的外部同步问题.Arellano和López等[19]对比分析了在以混沌电路系构成的复杂网络间的同步过程中，耦合强度、连接方式对网络同步能力的影响.为了继续探究网络间的同步问题，本文将展开新的讨论.

在社会交往中常常会有这种情况发生，人们会根据自身的社会性格倾向于形成不同的团体群.群体内的成员之间关系非常密切，而不同群体间联系极为微弱.近年来类似这种物以类聚的网络集群的现象在神经网络等研究领域中同样引起了人们的广泛关注.根据网络中节点的方程或角色的不同，我们可以将网络中所有的多智能体分到不同的团体群中，通过设计合适的算法使得网络中各个相互连接的群体内部能够达到某种一致性，而不同群体间仍保持一定的差异性[20].因此针对网络集群同步问题方面的研究显得十分必要，文献[21]研究了具有时滞的多重耦合复杂网络的集群同步问题，针对不同集群中的时滞因素分别分析了时滞以及耦合关联对集群同步能力的影响.在文献[22]研究了一类具有线性耦合的离散的社区网络集群同步问题，通过周期性切换控制器推导出实现集群同步的充分条件.在此类工作中，一般考虑的是所有节点均具有完全相同的动力学行为.然而这种假设，并不能完整的还原出真实网络中个体节点的全部特征，例如在社交网络、新陈代谢网络中，不同聚类中任意一对节点按照其功能划分是不同的[23].文献[24]利用自适应牵制控制方法讨论了具有多混合节点形式复杂网络的集群同步问题，结合节点的动力学特性，通过控制部分重要节点，给出了整个网络的同步条件.文献[25]则根据实际疫情传播情况，通过不同的函数来描述病毒传播过程中个体的内在差异，建立了具有社团结构的网络模型，从理论上分析了不同群落中个体在病毒传播的规律.本文将以此为出发点，建立具有不等聚群结构的网络模型，分析网络间的同步问题.

混沌是非线性系统较普遍存在的一种行为，通过对非线性系统的混沌特性研究，使我们对系统的复杂性有了更深刻的认识.其实生产实际中系统行为除了随时间变化之外，当空间位置的改变时，系统将会展现出更复杂的动力学行为.在时间网络研究的基础上，郑等[26]研究了群结构时空网络中的同步现象，给出了判断时空网络是否能发生群同步的判据，得到网络从完全不同步到完全同步的多种路径.Lv等[27]针对具有不同动力学行为的时空网络展开了网络间同步问题的讨论，并对网络中的未知参量进行了有效的识别.在此工作的基础上，本文将选取具有时空混沌特征的离散系统作为网络节点，构建不等集群结构的复杂网络模型，并以Lyapunov稳定性原理为基础，分析两个具有不对称拓扑结构的复杂时空网络间的外同步问题.分别以Gibbs时空混沌系统，Bragg时空混沌系统，一维对流方程为网络节点构建具有不等集群结构的驱动网络模型，分区域展开同步控制，通过数值模拟的结果验证同步控制方案的正确性与有效性.

1 网络模型与问题描述

2 控制器设计和同步分析

从驱动和响应网络的模型可以看出，网络节点是具有时空混沌特性的离散系统，并且网络本身呈现出不等集群的结构特征.本文将以Lyapunov稳定性为基础，结合自适应控制策略，通过对响应网络实施同步控制，实现两个耦合矩阵不对称的离散网络的同步追踪.为了实现同步控制的目的，需要做如下的定义：如果满足条件limn→∞||e（im，n）||=limn→∞||y（im，n）–ϕix（im，n）||=0，那么驱动网络与响应网络之间的投影同步就能实现，其中ϕi是投影同步因子.

3 仿真计算

为了验证本文所述同步策略的有效性，建立如图1所示的复杂网络模型.该网络中共有15个节点，包含3个不等集群.节点1-4为第1集群，5-9为第2集群，10-15为第3集群，只有同一集群中的节点方程相同（初值不同），系统维数为一.选定第1个集群中节点方程为Gibbs离散时空系统[28]

图1 具有不等集群结构的离散时空网络模型Fig.1 A networks with threecommunities consisting of fifteennonidentical nodes

其中，参量xb=0.85π，A=3，ε=0.4，n表示离散化的时间，m表示空间格点坐标（m=1，2，3…，L），其最大值用L表示.当取初始条件x（i，1）=0.1，周期性边界条件x（1，n）=0，x（L，n）=0，i∈ (1，L)，L=100.其相图如图2所示，表示其随时空变化的时空演化轨迹.

图2 Gibbs时空混沌系统相图xi（m，n）（i=1，…，4）Fig.2 Phase portrait of the Gibbs laser spatiotemporal model xi（m，n）（i=1，…，4）

选定第2个集群中节点方程为Bragg离散时空系统[29]

其中，参量r=0.5，v=1.5，Vb=0.25π，β=0.4，n表示离散化的时间，m表示空间格点坐标（m=1，2，3…，L），其最大值用L表示.当取初始条件x（i，1）=0.1，周期性边界条件x（1，n）=0，x（L，n）=0，i∈ (1，L)，L=100.其相图如图3所示，表示其随时空变化的时空演化轨迹.

图3 Bragg时空混沌系统相图xi（m，n）（i=5，…，9）Fig.3 Phase portrait of the Bragg laser spatiotemporal model xi（m，n）（i=5，…，9）

选定第3个聚类中节点方程为离散后的一维对流方程[30]

其中，σ和χ均为系统参量，n表示离散化的时间，m表示空间格点坐标（m=1，2，3…，L），其最大值用L表示.当我们取σ=0.05，χ=1.75，初始条件x（i，1）=0.1，周期性边界条件x（1，n）=0，x（L，n）=0，i∈ (1，L)，L=100，其相图如图4所示，表示其随时空变化的时空演化轨迹.

图4 一维对流方程时空混沌系统相图xi（m，n）（i=10，…，15）Fig.4Phase map of one-dimensional convective equation xi（m，n）（i=10，…，15）

分别选取时空混沌系统Gibbs，Bragg，一维对流方程构建具有不等集群结构的复杂网络，其拓扑结构如图1所示.该网络中总节点数N=15，节点1-4为Gibbs时空混沌系统，节点5-9为Bragg时空混沌系统，节点10-15为一维对流方程.从图1-图4可以看出，本文以3个无论是随时间还是空间均存在较大差异时空混沌系统为网络节点，根据图1的连接方式构建不等集群的复杂网络模型.然后建立响应网络，响应网络中节点数亦为N=15，节点方程选取Gibbs时空系统（均具不同初值）.节点间以环形网络结构相连.驱动响应网络中节点方程不全相同，拓扑结构完全不相同.

按照本文介绍的同步追踪方案，响应网络中节点i=1-4，将以投影因子ϕi同步于驱动网络集群1所对应的同步目标Gibbs时空混沌系统；节点i=5-8，将以投影因子ϕi投影同步于驱动网络集群2所对应的同步目标Bragg时空混沌系统，节点i=10-15，将以投影因子ϕi投影同步于驱动网络集群3所对应的同步目标一维对流方程.根据定理1，选定同步控制器以及同步参量辨识率，驱动网络（1）和响应网络（3）间可实现投影追踪同步，具体同步情况如图7-图10所示.

考虑到网络中节点数为15，不便于逐一列举，选择来自3个不同集群的6个代表性节点为例进行讨论.分别为集群1中节点1、节点4，集群2中节点5、节点9，集群3中节点12和节点15.投影同步的比例因子分别为ϕ1＝1/2，ϕ4＝1/2，ϕ5＝1，ϕ9＝1，ϕ12＝2，ϕ15＝2以逐倍递增的方式分析其同步过程，如图5所示.图5分别展示了时空网络中节点1、4、5、9、12和15随时间以及空间演化的相图.在本文所设计的同步方法控制下，具有不同初值不同节点方程，不同耦合关联的6个节点，分属于3个不同集群，以及不同的投影比例因子.在控制器实施的最初阶段，驱动相应网络间对应节点间存在较大的误差，在经过了短暂的时间演变后误差方程迅速趋于零.

图5 具有不等集群结构的网络间对应节点误差ei（m，n）（i=1，4，5，9，12，15）的时空演化规律Fig.5 Evolution of network error ei（m，n）（i=1，4，5，9，12，15）

对比图2-4以及图6，响应网络是由15个具有不同初值的Gibbs时空混沌系统耦合而成，其状态变量随时间空间的演化规律如图2所示.在本文提出的控制器的作用下，响应网络中对应节点的相图也随之改变，节点1-节点4同步追踪以ϕi=1/2（i=1，…，4）同步于目标网络的Gibbs系统，节点1-节点4同步追踪以ϕi=1（i=5，…，9）同步于目标网络的Bragg时空混沌系统，节点10-节点15同步追踪以ϕi=-2（i=10，…，15）同步于目标网络的一维对流方程.证明了本文所述方法的有效性.考虑到网络节点数目偏多，对应节点间的同步追踪不便于一一展示，我们定义驱动响应网络对应节点间的平均误差以及总的累积误差，具体如图7和图8所示.

图6 在实施同步控制后响应网络中对应节点的系统相图Fig.6 Phase portraits of nodes yi（m，n）（i=1，4，5，9，12，15）.

图7 平均误差e（m，n）时空演化轨迹Fig.7 Evolution of network average error e（m，n）

图8 总误差时空演化轨迹Fig.8 Evolution of network error E（m，n）

从图7和图8中可以看出，驱动响应网络的平均误差和累积误差在短暂的时间演变后，迅速趋于零，进一步证明该同步方法可以有效地实现两个具有不等集群结构的复杂网络间的同步.

4 结论

本文主要讨论了具有集群结构的两个复杂时空网络间的投影同步问题.考虑到实际中的动力学系统随时空演变的动力学特性，以时空混沌系统为节点构建复杂网络模型.并以Lyapunov稳定性为基础，结合网络的集群结构特性，分区域展开同步控制，通过同步控制器以及参量的自适应识别率实现了两个网络间的投影同步.为了进一步验证该方法的有效性，选取Gibbs时空混沌系统，Bragg时空混沌系统，一维对流方程为不同集群中的节点进行仿真分析，对应的节点误差在短暂的时间演变后迅速趋于零，结果验证了同步控制方案的可行性.