分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统动力学特性分析

薛 程， 夏兆旺,2， 卢志伟， 鞠福瑜， 茅凯杰

(1.江苏科技大学 能源与动力学院，江苏 镇江 212003;2.江苏海事职业技术学院 轮机电气与智能工程学院，南京 211100;3.中国船舶重工集团公司第七一一研究所，上海 201108)

颗粒阻尼作为一种结构简单、能适用于恶劣环境且几乎不影响机械结构的隔振元件，近年来在航空航天、车辆机械、海洋工程等重要领域得到了广泛应用[1-4]。其按技术类别可划分为被动颗粒阻尼技术、半主动和主动颗粒阻尼技术。主动颗粒阻尼技术成本高，在工程应用中实现较为困难；被动颗粒阻尼主要通过颗粒间的相互碰撞和摩擦耗散系统能量；而半主动颗粒阻尼通过磁场力进一步控制颗粒运动，实现调节系统耗散的功能，其减振机理在多物理场耦合下变得更加复杂，传统的线性模型无法精确描述其非线性特征。因此，构建能准确描述半主动颗粒阻尼的力学模型对于研究其隔振系统的动力学特性具有重要意义。

21世纪以来，分数阶理论在非线性振动研究领域取得了飞速的发展[5-8]。研究者们发现分数阶导数在模拟黏弹性等非线性材料的本构关系时具有良好的精度[9-12]。温少芳等[13]采用平均法研究了分数阶与时滞耦合的Duffing自治系统;杨旭等[14]基于空间分数阶微积分方法建立了分数阶非牛顿流体本构模型，为研究非牛顿流体的记忆特征提供了新的建模方法。彭海波等[15-17]采用分数阶理论对新型惯容器、动力吸振器进行参数优化，为隔振设计提供了新的思路。但针对半主动颗粒阻尼器的分数阶模型还未见相关研究。为此，建立了半主动颗粒阻尼器的分数阶模型，并通过试验验证了分数阶模型的准确性。之后，研究了含半主动颗粒阻尼装置的单层隔振系统，通过平均法求解隔振系统的解析解，并通过Grünwald-Letnikov数值方法验证了解析解的正确性。最后，研究了分数阶参数对半主动颗粒阻尼隔振系统稳态响应的影响规律。该研究为半主动颗粒阻尼器的应用与发展提供了借鉴。

1 半主动颗粒阻尼器分数阶模型及试验验证

1.1 半主动颗粒阻尼器分数阶数学模型

半主动颗粒阻尼试验模型如图1所示。采用PP材质的柱状容器作为半主动颗粒阻尼的容纳装置；容纳装置上下端均安置轻质塑料挡板，装置外壁则均匀缠绕1 700匝铜导线。装置中填充的颗粒为直径2 mm的钢球，如图2所示。

图1 半主动颗粒阻尼装置Fig.1 Semi-active particle damping equipment

改变半主动颗粒阻尼器力学性能的物理参数主要为颗粒填充率和外线圈电流。适当增加颗粒填充率会提高半主动颗粒阻尼器的质量并使得颗粒间摩擦和碰撞机率提升；改变半主动颗粒阻尼器的外圈电流可改变颗粒阻尼器的内部磁场，通过控制颗粒的运动状态来改变颗粒阻尼器的内损耗能力。基于分数阶理论建立半主动颗粒阻尼器的动力学模型，如式(1)所示

(1)

图2 填充颗粒Fig.2 Filled particle materials

设方程在简谐激励下有如下形式的解

(2)

式中，θ为加速度信号与力信号的相位差。将式(2)代入式(1)，并采用简谐函数分数阶求导法则可得

m2(2πf)2acos(2πft+θ)+kpa(2πf)α×

(3)

将简谐函数展开并根据待定系数法整理得到以下方程组

(4)

解此方程组得

(5)

1.2 分数阶模型参数识别

半主动颗粒阻尼器试验测试系统如图3和图4所示，阻抗头安装在激振器顶杆的末端并通过转接头与半主动颗粒阻尼器刚性连接。将阻抗头上产生的信号反馈给信号源控制仪，通过信号源控制仪和功率放大器调节激振力以保证恒定的激励。同时，采集颗粒阻尼器上端的加速度信号。通过改变颗粒填充率和线圈电流，分别研究这两个物理参数与分数阶参数之间的定量关系。

图3 试验测试流程图Fig.3 Experimental flow chart

图4 试验装置图Fig.4 Experimental setup

半主动颗粒阻尼器初始质量m2为0.72 kg；文献[18]通过扫频试验得知，该系统在激励频率20 Hz附近相角变化稳定，此时颗粒充分运动，能达到较好的阻尼效果。故在本试验中将激励频率f设为定频20 Hz；初始电流为0.3 A；试验中的颗粒填充率为一种质量占比填充率，即填充的颗粒质量占颗粒阻尼器空间所能容纳的最大质量比例；其中每填充10%的颗粒，质量增加约10 g。试验过程中，颗粒填充率的工况为0～80%，间隔10%；外圈电流工况为0.3～2.4 A，间隔0.3 A。之后，以试验数据为基准，采用最小二乘法求得使理论值与试验值平均误差最小的参数解。文中误差E的表达式为

(6)

在所建立的分数阶力学模型中，存在两个未确定参数(分数阶阶次和分数阶系数)。为判断未确定参数与已知物理量(颗粒填充率和外圈电流)之间的对应关系，先假设分数阶阶次与颗粒填充率相关；通过参数识别可发现:当分数阶阶次值在限定范围内变化时，对颗粒填充率的影响很小，甚至可以忽略不计，为此可认为分数阶阶次是颗粒填充率变化的非敏感性因素。

半主动颗粒阻尼器模型的分数阶系数与激振力幅值、颗粒填充率的关系如表1所示(其他电流下也具有相似规律)；从表1中的数据可知：当颗粒填充率为0%时，令kp=0，则半主动颗粒阻尼器的分数阶模型退化为传统整数阶模型，此时试验值与理论值的误差为10.33%；在引入分数阶参数后，试验值与理论值误差明显降低，说明分数阶模型比整数阶模型具有更好的精度。从表1的第3～4行数据可知：保持分数阶系数和阶次不变而改变激振力的幅值对分数阶模型的精度影响很小。

表1 激振力幅值及颗粒填充率对分数阶系数的影响规律(电流0.6 A)

根据曲线拟合，便可确定分数阶系数kp与颗粒填充率D之间的定量关系，拟合曲线如图5所示。从图5中可以看出：分数阶系数kp与颗粒填充率D满足线性关系，具体表现为颗粒填充率每增加20%，kp的值降低5。

根据上述定量识别过程，可得到分数阶系数kp关于颗粒填充率D的表达式

kp=-25D+32.5

(7)

半主动颗粒阻尼器的分数阶阶次与外圈电流的关系如表2所示(其他颗粒填充率下也有相似规律)；从表2中数据可知：分数阶阶次随外圈电流的增大而增大；加速度响应幅值随外圈电流的增大而减小，这主要是因为电流的增大提高了半主动颗粒阻尼器的内损耗能力。

图5 试验参数拟合曲线Fig.5 Fitting curve of experimental parameter

表2 电流对分数阶阶次的影响规律(颗粒填充率 50%，激励幅值13 N)

根据曲线拟合，便可确定分数阶阶次α与外圈电流I之间的定量关系，拟合曲线如图6所示。

图6 试验参数拟合曲线Fig.6 Fitting curve of experimental parameter

根据上述定量识别过程，可得到分数阶阶次α关于外圈电流I的表达式

α=-0.008 4I3+0.013 6I2+0.232 6I+0.933

(8)

2 分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统力学模型

研究如图7所示分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统，隔振系统由橡胶隔振器、带有空腔的海洋桁架平台子结构、半主动颗粒阻尼器组成，半主动颗粒阻尼器置于空腔内并与子结构刚性链接。建立分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统动力学方程，如式(9)所示。

图7 分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统Fig.7 Fractional-order semi-active particle damping vibrationisolation system

(9)

式中:m1表示海洋桁架平台子结构的质量;m2表示未填充颗粒时半主动颗粒阻尼器的质量，令m=m1+m2；F表示系统的激振力，令F=F0cosωt;kp、α分别表示分数阶系数和分数阶阶次；k、c分别为橡胶隔振器的刚度系数和阻尼系数。

引入无量纲位移y=kx/F0，无量纲时间τ=ωt，对式(9)进行归一化处理可得

(10)

(11)

其中

(12)

(13)

综上，分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统稳态响应的一次近似解为

y=Ycos(τ-θ)

(14)

3 分数阶隔振系统振动特性分析

3.1 数值仿真与理论解析

运用分数阶微分的性质对式(9)进行降维处理，将其变形为

(15)

式(16)给出了Grünwald-Letnikov形式[19]的分数阶定义。

(16)

将式(15)代入式(16)即可得到系统的离散方程

(17)

分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统的主要参数设为：半主动颗粒阻尼器初始质量(m2=720 g)与海洋桁架子结构质量(m1=10 kg)的总和m=10.72 kg，橡胶隔振器的阻尼系数c=100 N·s/m，刚度系数k=4 000 N/m；激振力幅值F0=100 N。数值解计算步长h选取0.05。

G-L分数阶定义具有明确的物理含义，适用于多种工程应用背景，其数值解的计算效率和准确性都有良好的保障[20]。图8给出了解析解与G-L数值解的对比结果(激励角频率ω=2 rad/s,分数阶系数kp=25，分数阶阶次α=1.1)；从图中可看出：分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统的解析解与数值解具有较好的一致性，这验证了解析解的正确性。

图8 解析解和数值解Fig.8 Analytical and numerical solutions

3.2 分数阶参数对隔振系统动力学响应的影响

为研究分数阶参数对分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统振动特性的影响，采用无量纲位移振幅来评估半主动颗粒阻尼隔振系统的隔振效果。分数阶阶次α对隔振系统稳态响应振幅的影响规律如图9所示(分数阶系数kp=25)，从图中可以看出：随着分数阶阶次α的增大，隔振系统稳态响应振幅Y逐渐减小。前述半主动颗粒阻尼分数阶模型试验已表明，分数阶阶次α随外圈电流的提高而增大。因此，系统稳态响应振幅减小主要是因为外圈电流的提高，使得颗粒在主共振区域摩擦碰撞活动更剧烈，增大了半主动颗粒阻尼器的内损耗能力。从图9中可以进一步看出：各分数阶阶次下的幅频响应曲线均经过一个共同点(Y=2.3处)，相关文献将其称之为固定点[21]。根据固定点理论，无论分数阶阶次α如何变化，半主动颗粒阻尼隔振系统的幅频响应曲线始终经过固定点，该固定点即为隔振系统的最优参数点。同时也可以发现，系统稳态幅频响应曲线随阶次α的增大出现了“频移”现象，这主要是因为分数阶阶次α的值逐渐向上限值2靠近，即提高了系统的惯性力。

取各阶次下的共振幅值点，采用曲线拟合推导出响应幅值Y与分数阶阶次α的关系式，拟合曲线如图10所示。

图9 分数阶阶次α对系统稳态响应振幅的影响

图10 响应幅值Y与分数阶阶次α的关系曲线Fig.10 The relation curve of Y and α

响应幅值Y与分数阶阶次α的关系式为

Y=6.157α2-19.71α+17.97

(18)

将Y=2.3代入式(18)，即可得分数阶系统的最优阶次值为：α=1.47。

分数阶系数kp对系统稳态响应振幅的影响规律如图11所示(分数阶阶次α=1.1)。从图中可以看出，随着分数阶系数kp的减小，稳态响应振幅Y逐渐减小。前述半主动颗粒阻尼分数阶模型试验已表明，分数阶系数kp随着颗粒填充率的增大而减小。因此，系统稳态响应振幅减小主要是因为填充的颗粒越多，颗粒之间摩擦碰撞的几率就越高，在发生共振时，消耗的系统能量就越多。

4 结 论

针对半主动颗粒阻尼器建立分数阶模型，通过参数识别分别研究了分数阶系数和阶次与实际物理量之间的定量关系。研究结果表明：分数阶系数与颗粒填充率存在线性关系，而分数阶阶次与外圈电流满足三次插值多项式。随后建立了分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统的动力学模型，通过平均法求解了该隔振系统的解析解；之后基于Grünwald-Letnikov分数阶定义得到了系统的数值解，并与解析解的结果进行对比，验证了解析解的正确性。

图11 分数阶系数对系统稳态响应振幅的影响

最后，分别研究了分数阶系数和阶次对系统稳态幅频响应的影响。研究结果表明：随着分数阶阶次的提高或分数阶系数的降低，系统的稳态响应振幅逐渐减小；通过观察幅频响应曲线得知随阶次值的变化会出现“频移”现象，同时可根据固定点推断出分数阶系统的最优阶次值。