一类比率型Holling-Leslie 趋化模型的分支结构

张 望, 李艳玲, 周 浩

(陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710119)

1 引言

本文考虑如下带有食饵趋化项的Holling-Leslie 捕食-食饵模型

与模型(1)相关的常微分模型最早由Leslie[1,2]提出，Leslie 捕食模型主要强调了捕食者的环境容纳量和食饵的数量成正比，后来Li 和Xiao[3]、Wang 等[4]在Leslie 模型的基础上研究了比率依赖的Leslie 捕食-食饵模型，讨论了平衡态和分歧解的存在，并进行了数值模拟相应的结果.对于模型(1)的常微分模型，即Holling-Tanner 模型[5]，在文献[6,7]中主要讨论了Holling-II 型功能反应的Leslie 模型，主要研究了正平衡点的全局渐近稳定条件，系统的局部稳定性，全局稳定性，以及稳定的极限环和半稳定的极限环等问题.文献[8]讨论了Holling-III 型的Leslie 模型，得到了局部分支解的存在性条件，并给出了一维情况下整体分支解的性态.

在生态环境中，物种间的相互作用和物种的进化非常重要.通常通过交叉扩散模型来描述，模型(1)中的χ∇(u∇v)项就是一种趋化作用的交叉扩散项，在生态学背景下，由于一些化学信号的作用，物种会向特定的方向运动，我们依据生物对化学信号的靠近和远离，将趋化作用分为趋化吸引和趋化排斥.最早的趋化模型由Keller 和Segel[9]提出，在文献[10-12]中提出了相关的吸引-排斥趋化模型，用来描述物种的群体效应和细胞的聚集现象.因此趋化在生物控制和生态平衡中起着重要的作用.

本文主要对模型(1)的线性稳定性进行分析，得到唯一正常数平衡解(u⋆,v⋆)，应用Crandall-Rabinowitz 分支理论，以趋化敏感性系数χ为分支参数，讨论了二维空间区域上非常数正解的结构和分支方向，从而刻画了时空斑图的结构.

2 稳定性分析

则当a ＞a0时，(u⋆,v⋆)是渐近稳定的.

证明 系统(2) 在(u⋆,v⋆)处的Jacobi 矩阵为

其中f2＜0, g1＞0, g2＜0，考虑该算子的特征方程为μ2-T(a)μ+D(a)=0.

经计算可得

假设(h(x),k(x))是L对应于特征值μ的特征函数，则有

注1 注意到此时算子L是退化的，定理1 中g1＞0.得到下面的推论.

推论1 若对所有的i ≥1, Pi(λi,0)＜0, Qi(λi,0)＞0 均成立，则当χ ＞0 时，(u⋆,v⋆)作为系统(3)的唯一正常数平衡点是局部渐近稳定的.这表明当捕食者对食饵是趋化吸引时，并不影响无趋化时正常数平衡点的稳定性.

推论2 若Pi(λi,0)＜0 总成立，记集合k ={i|i ≥1,Qi(λi,0)＜0}表示存在一些i ≥1，使得Qi(λi,0)＜0 的集合.此时χi ＞0，则对所有的χ ＞maxi∈kχi，(u⋆,v⋆)在系统(3)中是局部渐近稳定的.这说明在没有趋化现象时，由于系统扩散项导致的不稳定性，会因为趋化吸引的出现而将这种不稳定变得稳定，从而抑制斑图的生成.

推论3 若Pi(λi,0)＜0, Qi(λi,0)＞0 总成立，此时χi ＜0，则对所有的χ ＜max1≤i＜+∞χi，系统(3)的唯一正常数平衡点(u⋆,v⋆)是不稳定的.这意味着当出现趋化排斥时，会将系统(2)和只有扩散项的系统(3)(χ= 0)中常数平衡点的稳定性变得不稳定，从而造成斑图出现.

3 局部分支

在这一节主要来验证推论3，由前面分析可知，当f1＜0 时，Pi(λi,0)＜0, Qi(λi,0)＞0 总成立.下面将在f1＜0 的条件下，以趋化敏感性系数χ ＜0 为分支参数，在二维空间区域上应用分支理论，讨论非常数正解的结构，进而说明趋化排斥确实能够造成时空斑图的生成.

方便起见，给出下面一些记号，定义二维空间区域

Hilbert 空间

根据隐函数定理可知，当χ=χ(i,j)时，算子L(u,v)(χ;u⋆,v⋆)是退化的，(χ(i,j);u⋆,v⋆)才可能是分支点.注意到局部分支定理要求线性化算子的核空间维数是一维的，由于

而(i,j)和χ(i,j)之间不是一一对应的关系.例χ(1,1)=χ(2,0), χ(1,3)=χ(4,2)，所以仅考虑χ(1,0)和χ(0,1)的情况.

定理2 假设f1＜0 成立，如果dimKerL(u,v)(χ(i,j);u⋆,v⋆) = 1，则存在一个正常数δ，使得系统(3)在点(χ(i,j);u⋆,v⋆)邻域中的非常数正解可以表示为

至此，由局部分歧定理知，系统(3)存在唯一一条由(χ(i,j);u⋆,v⋆)分支出的非平凡解曲线(χ(i,j);us,vs)，其中

4 分支方向

本小节的主要内容是给出～χ(0)的具体表达式，因为它决定定理2 中所得到的局部分支解的分支方向，若～χ(0)＞0，则称分支式(6)是超临界的；若～χ(0)＜0，则称分支式(6)是次临界的；所得结果表明～χ(0)的具体表达式由四个L2内积组成

定理3 (A,B,C,D)满足如下代数方程

证明 由分部积分公式可以计算得到

将(χ(s);us,vs)代入系统(3)第二个方程，并关于s求导两次后令s=0，得到

整理得

类似计算可以得到

结合(10)-(13)，定理3 得证.

定理4 分支式(6)中的～χ(s)满足下面表达式

证明 对(8)式关于s求导，并令s=0，计算得

定理4 得证.

5 例子和数值模拟

图1 a=0.3 时，系统(2)的相图

图2 a=0.02 时，系统(2)的相图

图3 系统(1)不含趋化项时，(u(x,t),v(x,t))的数值解

图4 系统(1)出现趋化排斥时，u(x,t)的数值解

图5 系统(1)出现趋化排斥时，v(x,t)的数值解

图6 系统(1)出现趋化吸引时，u(x,t)的数值解

图7 系统(1)出现趋化吸引时，v(x,t)的数值解