如何依据数学大概念开展“单元—课时”教学

夏繁军 姚晖 章红

摘要：依据数学大概念开展单元教学，需要层层分解大概念（学习目标），再通过课时教学，引导学生从下位概念的学习开始，逐步融合知识，形成结构，提升认知，落实大概念。以《函数的性质》单元及其第一课时为例，说明依据数学大概念开展“单元—课时”教学的主要流程：单元教学，包括内容解析、目标分析、学情诊断、学习路径设计、课时规划等环节;课时教学，包括内容解析、目标分析、学情诊断、学习过程设计（包括课堂评价）等环节。

关键词：数学大概念;“单元—课时”教学;函数的性质;函数的单调性

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）的理念表明：指向数学大概念理解或感悟的教学应该“以学科大概念为核心，使课程内容结构化”，“从整体上把握课程”。在设计和实施层面，至少应该“关注（跨课时、跨章节的）单元、主题的教学目标”，从多个相关联的内容所形成的结构化、整体性单元或主题入手。这是一种介于课时（微观）和课程（宏观）之间的“中观教学”，既可以克服课时教学的碎片化、浅表化，又因为单元或主题划分或界定的灵活性，具有很好的可行性，能够促进各级各类大概念的学习以及课程目标的实现。

当然，概念之间存在层次结构，大概念是在其下位概念基础上的抽象概括，同时大概念的上位是相对的。而且，课是一节一节上的。因此，依据数学大概念开展单元教学，还需要层层分解大概念（学习目标），再通过课时教学引导学生从下位概念的学习开始，逐步融合知识，形成结构，提升认知，落实大概念。这是一个闭环。这样的教学可以称为“单元—课时”教学。

一、依据数学大概念开展“单元—课时”教学的流程

P.L.史密斯和T.J.雷根在《教学设计（第三版）》一书中指出，教师在设计教学时，应首先回答以下三个问题：我们要到哪里去？我们如何到达那里？我们怎样知道已经到达那里？这三个问题可以描述为以下三个环节：（1）分析教学内容，确定教学目标;（2）设计教学过程，确定教学策略和教学媒介;（3）開发评价工具，做好教学改进。

结合威金斯和麦克泰格在《追求理解的教学设计（第二版）》中提出的“逆向设计”观点，参考章建跃先生给出的“单元—课时”教学设计模板和课标附录2案例36说明的跨章节主题教学设计流程，我们给出如图1所示的依据数学大概念开展“单元—课时”教学的流程。

值得注意的是，在这一流程中，评价伴随着教学，与教学相互联系、相互促进，贯穿于整个过程中;单元或课时基本问题、课时引导性问题、课时诊断性问题、单元探究问题、单元诊断性问题等都是重要的教学及评价手段。

二、依据数学大概念开展“单元—课时”教学的案例

下面，以人教A版高中数学第一册第三章中的《函数的性质》单元及其第一课时《函数的单调性（1）》为例，具体说明如何依据数学大概念开展“单元—课时”教学。

（一）《函数的性质》单元教学

1.内容解析。

本单元的教学内容包括函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。

（1）内容的本质。

单调性和奇偶性是函数的两个重要性质，刻画了函数值随自变量变化而变化过程中呈现出的规律性和不变性。单调性是函数的“局部性质”，奇偶性是函数的“整体性质”;单调性是几乎所有函数的一般性质，奇偶性是某些函数的特殊性质。单调性、奇偶性的研究都需要把图像的几何特性转化为代数关系并用严格的符号语言表示，能沟通形与数，实现从定性到定量的转化。

（2）内容中蕴含的数学思想方法。

第一，函数和对应的思想。单调性和奇偶性都是研究函数值随自变量变化而呈现出的变化的规律性和不变性，利用函数思想正确找到事物发展变化的因变量非常重要。

第二，从整体到局部的方法。本单元的引入阶段，首先要解决为什么要研究函数的性质、什么叫函数的性质、如何发现函数的性质、函数的性质主要有哪些等问题。由此，可以回扣函数概念，得到“通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律”，“变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质”;并且得到单元学习“路线图”，将今后学习的函数的周期性、变化率（包括平均变化率和导数）等也纳入“函数的性质”这个大概念中。从认知理论来看，既有同化，也有顺应。

第三，数形结合的研究方法。本单元主要用代数运算和几何直观研究函数的性质。先画出函数的图像，通过观察分析图像的特征，可以得到函数的一些性质;但是不能止步于此，因为一些函数的图像不容易画，手工描点作图的精确度不高，而且不能穷尽所有点，所以还需要通过代数运算给予严格论证。这种研究函数性质的方法贯穿于整个中学到大学的数学学习，体现了定性到定量的过程。

第四，从特殊到一般的研究方法。主要是在得出单调性和奇偶性定义的过程中，先通过几个特殊函数的性质，归纳一类函数的共性;然后抽象出函数性质的内涵，再用严格的数学符号语言表示，与图形语言、自然语言表示相互对照、相互补充、相互转化。

（3）内容的育人价值。

第一，形成正确的人生观和世界观。建立客观世界中运动变化现象的函数模型，目的是利用数学知识和方法分析函数模型的性态，由此发现和认识事物的变化规律，进而精确地“预测未来”，改造世界，造福人类。今天研究的是函数的运动变化规律，明天研究的就是客观世界的发展变化规律。

第二，发展严密的思维能力。数学问题起源于直观，终止于逻辑。生活中，分析问题时，也要学会从直观猜想到严格论证。

第三，学会做事的技能。奇偶性把研究函数问题的工作减少了一半，节省资源，降低消耗。从中要学会用全局、对称性思维分析和解决问题，把复杂问题简单化。

第四，发展数学学科核心素养。在函数单调性、奇偶性概念的形成过程中，经历由具体到抽象、由图形语言和自然语言到符号语言的过程，发展数学抽象和几何直观素养。在把握函数单调性、奇偶性定义时，体会全称量词、存在量词等逻辑用语的作用，发展逻辑推理素养。在函数单调性、奇偶性结论的证明过程中，发展数学运算和逻辑推理素养。在建构问题应用中，发展数学建模素养。

（4）知识的上、下位关系。

进一步分析高中数学“函数的性质”的上、下位知识（概念），可以得到图2（暂不考虑变化率的有关内容）。

上述分析中蕴含着《函数的性质》单元的很多大概念。

2.目标分析。

（1）单元目标（来源于课标）。

第一，借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。

第二，结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。

（2）目标评估（达成目标的标志）。

第一，能够根据函数图像直观判断函数在某些区间上的单调性，利用准确的数学语言刻画增函数、减函数;能够利用增函数、减函数的定义证明函数的单调性，掌握并利用作差变形的方向、方法。

第二，能够根据函数单调性的三个相互推出关系[①x1与x2的大小关系;②f（x1）与f（x2）的大小关系;③f（x）在D上的单调性]中的任意两个推出第三个。

第三，理解函数的最大值M的两个限制条件[①?x∈D，f（x）≤M;②?x0∈D，f（x0）=M]，能够根据函数的单调性求函数在给定区间上的最值;能够把生活中具体的情境问题抽象成数学问题，然后求函数的最值并解释其在生活中的实际意义。

第四，能够结合函数图像直观理解奇函数、偶函数、函数的奇偶性定义;能够根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性。

第五，能够根据函数的奇偶性、单调性解决比较函数值的大小、解不等式、求函数的最值等问题。

3.学情诊断。

（1）学生已有基础。

第一，知识准备。学生在初中学习了函数概念的“变量说”，结合一次函数、二次函数、反比例函数这三种具体函数，知道函数值随自变量增大而增大（减小）与函数图像之间的关系、二次函数的对称性;进入高中后，学习了函数概念的“对应说”，明确函数刻画的是两个集合之间的对应关系。

第二，思维准备。能够结合函数图像，利用自然语言说出函数的变化规律、对称性;能够通过具体函数解析式，找到自变量和函数值之间的变化关系。

（2）教学难点及突破关键。

第一，增（减）函数的定义。从具体到抽象，结合二次函数f（x）=x2理解“y随x的增大而增大（减小）”的数学符号表示，体会利用“任意”刻画“无限”的数学方法的威力和魅力。具体可以经历如下认识过程：在y轴右侧，从左向右函数图像是上升的;当自变量x≥0时，函数值y随自变量x的增大而增大;自变量x增大即x→x+Δx（Δx>0），令x=x1，x+Δx=x2，则x1

第二，利用增（减）函数的定义证明函数的单调性。通过实例，规范证明函数单调性的五个步骤：①取值;②作差;③变形;④判断;⑤定论。典型的函数有f（x）=kx+b（k≠0）、f（x）=ax2+bx+c（a≠0）、f（x）=1/（x-2）、f（x）=√x、f（x）=x3、f（x）=x+1/x等。取值的要求是在單调区间内任取两个不相等的值x1、x2;作差后变形的方向是几个因式的乘积或乘方形式;变形的方法有通分、提取公因式、因式分解、配方、有理化。

第三，函数单调性和奇偶性的综合运用。结合函数图像直观分析，把握两个性质之间的关系。比如，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反。

在上述难点的突破过程中，利用GeoGebra或几何画板软件可以方便地作出函数图像，便于学生直观观察，获取函数性质的深刻印象。

4.学习路径设计。

结合上述分析及其中大概念的提取，设计基本问题和引导性问题，呈现单元学习路径（如下页图3所示）。

5.课时规划。

根据上述学习路径设计，本单元新授课可以分为4个课时，具体内容依次是：函数单调性的定义和简单函数单调性的证明;复杂函数单调性的证明和应用;函数奇偶性的定义和证明;函数单调性、奇偶性的综合应用。

（二）《函数的单调性（1）》课时教学

1.内容解析。

本课时的教学内容是函数单调性的定义和简单函数单调性的证明。

函数的单调性是函数最基本、最重要的性质之一，它刻画函数的增减变化规律，有利于学生进一步巩固理解函数对应关系;它还是刻画现实世界中很多事物增、减趋势的重要模型;它在方程、不等式、最值问题的研究中发挥着重要作用;而刻画函数单调性的平均变化率为导数学习奠定基础。

正如康德所言，“人类的一切知识都是从直观开始的，从那里进到概念，而以理念结束”，函数单调性定义的获得一般要经过以下两次抽象过程：

一是从实际问题（记忆曲线、函数图像等）到数学问题（单调性），从图形语言（函数图像上升或下降）到自然语言（函数值y随自变量x增大而增大或减小）。这次抽象是从现实世界到数学世界、从感性具体到理性具体的思维过程。抽象方法是分析数量关系和图形关系，明确数学概念（递增、递减）和原理（y随x增大而增大或减小）。

二是从自然语言到符号语言[对定义域D的某个子区间I，x1、x2∈I，当x1）f（x2）]。这次抽象是从理性具体到理性一般的思维过程。抽象方法是对问题进行符号化、形式化，对第一次抽象作出严谨的解释和表达。

本节课体现了数学学科的发展规律：把现实世界中的实际问题通过数学抽象变成数学问题，在数学内部按照逻辑推理得到一些概念和结论;然后利用这些概念和结论来解决其他数学问题和生活实际问题。即：从生活中来，经过数学加工，再到生活中去，“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”。

2.目标分析。

（1）课时目标（服务于单元目标）。

第一，详见“单元目标”的第一条。

第二，在函数单调性概念的形成过程中，经历由具体到抽象、由图形语言和自然语言到符号语言的过程，发展数学抽象和几何直观素养。在把握函数单调性定义时，体会全称量词、存在量词等逻辑用语的作用，发展逻辑推理素养。在函数单调性结论的证明过程中，发展数学运算和逻辑推理素养。在知识的探究过程中，培养细心观察、直观猜想、严格论证的思维习惯。

（2）目标评估（达成目标的标志）。

第一，详见“单元目标评估”的第一条。

第二，详见“单元目标评估”的第二条。

第三，经历从图形语言展示到自然语言描述再到符号语言刻画的过程，感悟引入符号“x1、x2∈D”，把“无限”问题转化为“有限”表达的方法及其优越性。

3.学情诊断。

学生在初中阶段学习了一次函数、二次函数、反比例函数这三种具体的函数，知道函数图像从左向右上升（下降）与函数值随自变量增大而增大（减小）之间的关系。到了高中阶段，需要在此基础上进一步利用符号语言“x1、x2∈D，当x1）f（x2）”来表述函数的单调性，对函数的单调性进行定量刻画。

据此分析，本节课的教学难点是：符号语言表示中，对“任意”“都有”等涉及无限取值的语言的理解和运用;利用定义证明函数的单调性。突破难点的关键是：从具体到抽象，结合具体函数理解“y随x的增大而增大（减小）”的数学符号表示，体会利用“任意”刻画“无限”的数学方法;通过实例，规范证明函数单调性的五个步骤。可以利用GeoGebra或几何画板软件作出函数图像，便于学生直观观察，获取函数性质的深刻印象，也为取值的任意性创造可能。

4.学习过程设计。

（1）引入。

谈话：为什么要研究函数的性质？函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识。那么，什么是函數的性质？怎样研究函数的性质？函数有哪些性质？这些是我们这一单元学习要解决的问题。

[设计意图：开篇提出本单元学习要研究的问题，给学生一个整体意识;同时，明确为什么要研究函数的性质，体现大概念“研究函数的性质是为了更好地认识客观世界的变化规律”。]

出示问题1：观察图4中的函数图像，你从中发现哪些特征？你觉得反映了函数的哪些性质？

预设：学生会给出函数图像的升降、“在不同区间上y随x增大而增大（减小）”、对称性、最高点、最低点、周期性等特征。

谈话：什么是函数的性质？根据函数的定义，函数是研究函数值与自变量之间的对应关系的，函数的性质就是刻画函数值在随自变量变化的过程中呈现出的不变性、规律性。函数图像所反映的这些特点就是函数的性质。本节课，我们先研究如何利用定量的方法刻画函数值y随自变量x增大而增大（减小）的规律。

[设计意图：让学生对函数的性质有整体的认识，明确什么是函数的性质、怎样研究函数的性质、函数的性质一般有哪些，落实大概念“函数的性质是函数变化中的不变性和规律性”。]

（2）函数单调性的定量刻画。

谈话：我们以函数f（x）=x2（x∈R）为例来分析。观察图5，不难得到：函数f（x）=x2在区间（-∞，0）上，从左向右函数图像是下降的，即y随x的增大而减小，我们就说（不是定义），函数f（x）=x2在区间（-∞，0）上是减函数。也可以说，在区间（-∞，0）上单调递减。类似地，函数f（x）=x2在区间（0，+∞）上的情况怎么说？（学生表达）一般地，若函数f（x）在区间I上是增函数（减函数），我们就说函数f（x）在区间I上具有单调性，称区间I为函数f（x）的单调增区间（减区间）。

出示问题2：请根据下页图6中的函数图像，写出函数f（x）在哪个区间上是增函数、在哪个区间上是减函数，并写出函数的增区间、减区间。

学生回答后，教师注意强调区间端点的处理方式。

[设计意图：增函数、减函数的本质是刻画函数值随自变量增大而增大或减小。首先从几何直观的角度给出增函数、减函数的自然语言描述，让学生学会根据函数图像直观判断，完成从图形语言到自然语言的转化。]

出示问题3：①请说出函数f（x）=x/x2-1的增区间、减区间。②图7所示的函数其解析式为f（x）=2sinx/10在区间[-2，2]上单调递增吗？

谈话：从函数图像上可以很直观看出函数的单调性，但是有些函数的图像不容易画出来，而且手工画出来的图像往往不够精确。因此，我们需要精确刻画什么是增函数、什么是减函数，即利用数学符号来刻画函数值y随自变量x增大而增大（减小）。我们还是以函数f（x）=x2为例，填写取值对应情况表，由此你能具体描述函数值随自变量增大而变化的情况吗？

预设：当-3<-2<0时，有f（-3）=9>f（-2）=4;当-2<-1<0时，有f（-2）=4>f（-1）=1;当-1<0时，有f（-1）=1>f（0）=0……

[设计意图：引导学生填表、用表，通过表格数据感知函数的单调性，完成对函数单调性的第二次认识。]

追问1：这样的变化过程能写完吗？

预设：写不完，原因是区间（-∞，0）上有无穷多个实数。

追问2：对于一般的函数g（x），若在区间（-∞，0）上取几个特殊值，比如-3<-2<-1<0，有g（-3）>g（-2）>g（-1）>g（0），能不能说函数g（x）在区间（-∞，0）上是减函数？

预设：不可以，因为能画出图8所示的反例。

追问3：若在区间（-∞，0）上取无数多组数来说明，是否可以？

预设：不可以，因为能画出图9所示的反例。

追问4：要说明函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，应该取区间上怎样的值？

预设：应该取区间（-∞，0）上任意两个实数。

追问5：怎么实现任意两个实数的对比呢？你能借助字母符号归纳出以上想法吗？

预设：用x1、x2代表任意的两个自变量，它们对应的函数值分别是f（x1）、f（x2）。

追问6：那么，自变量的增大用什么关系来表示？

预设：用不等关系，在区间（-∞，0）上任取x1

追问7：接下来应该研究什么？

预设：应该比较f（x1）和f（x2）的大小。

追问8：如果f（x1）>f（x2），能得出什么样的结论？

预设：f（x）在（-∞，0）上单调递减。

追问9：类似地，如何说明f（x）=x2在[0，+∞）上为增函数？

预设：任取x1、x2∈[0，+∞），且x1

对于学生的错误回答，引导学生分别利用图形语言和自然语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举。通过一步步的追问，把“在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2”的想法给“逼”出来，即用“任意”代替“无限”。

[设计意图：把学生对单调性的认识由定性描述上升到定量刻画，是对概念的第三次认识。完成了概念的抽象过程，也落实了大概念“数学抽象”“归纳方法”，同时回应为什么要利用符号语言刻画，为证明函数的单调性做好铺垫。]

出示问题4：你能利用准确的数学符号语言表述增函数的定义吗？

师生共同探究，得出教材中增函数的定义。然后，学生类比得出教材中减函数的定义。

谈话：这里，我们利用数学符号语言“?x1、x2∈D”，就把区间D内无穷的问题转化为可以操作的有限的过程。这就是数学抽象和形式化的力量。

[设计意图：突破本节课的难点，点出数学符号的抽象带给人们观念上的变化，落实大概念“数学语言的简洁性”“利用有限把握无限”。这是观念的提升。]

出示诊断性问题：判断以下命题是否为真命题。①因为函数f（x）=1/x在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，所以f（x）=1/x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数;②如果?x∈D，都有f（x+1）>f（x），那么就称f（x）在D上单调递增;③“f（x）在D上单调递增”是“?x1、x2∈D，x1≤x2，则y1≤y2”的充要条件。

追问：若都有f（x+0.1）>f（x），f（x+0.0001）>f（x），能否称f（x）在D上单调递增？

总结：①单调性是对定义域内的某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性;②对于某个具体函数，它的单调区间可以是整个定义域（如一次函数），可以是定义域内的某个区间（如二次函数），也可以根本不单调（如常函数）;③函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数，因为A∪B是一个集合，既代表运算结果，也代表运算过程;④在区间D上，若从左向右函数图像是上升的，则函数值y随自变量x增大而增大，自变量x增大即x→x+Δx（Δx>0），可令x=x1，x2=x+Δx，得到x1

[设计意图：对学生概念理解的程度进行诊断评估。进一步辨析概念，明确函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，是函数的局部性质。引入Δx，为后面学习平均变化率打基础，同时，进一步落实大概念“无限”。]

（3）函数单调性定义的简单应用。

出示问题5：根据定义，研究函数f（x）=kx+b（k≠0）的单调性。

教師引导学生先从图像的角度分析，再给出基于单调性定义的证明。

[设计意图：学生利用函数图像能够直观得到结论。教师引导学生通过严格推理和运算得到一次函数的单调性，实现由形到数的转变，加深对单调性定义的理解。同时，落实大概念“数学运算”“几何直观”。]

出示问题6：研究函数y=x+1/x（x>0）的单调性，能说出这个函数分别在哪个区间上为增函数和减函数吗？可以取一些特殊值试试看。

[设计意图：解决此题的困难在于确定单调区间分界点的确切位置。 借此，可以让学生体会到利用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。]

追问1：你能想办法猜出函数单调性改变的分界位置吗？

预设：能，由均值不等式可知，当x>0时，当且仅当x=1时，函数取得最小值2。

追问2：研究函数f（x）=x+1/x在区间（0，+∞）上的单调性，说清楚证明步骤。

预设：①取值。任取x1、x2∈（0，+∞），且设x10。

追问3：三项乘积中只剩x1x2-1的符号要确定了，如何判断？若想得出函数在某个区间上是增函数，你认为应该让x1、x2取在哪个区间上？

预设：让x2>x1≥1，则对任意x1、x2，都有x1x2>1。

追问4：我感觉不是的，比如让x1=1/10，x2=100，则x1x2=10>1。

预设：不可以。若让x1=1/10，则x2就不能取区间（0，+∞）上的任意值，而只有当x2>10时，才有x1x2>1，这违背了单调性定义中的“任意两个值”。所以得到：当x2>x1≥1时，x1x2>1，所以（x1-x2）（x1x2-1）x1x2<0，所以f（x1）0，所以f（x1）>f（x2）。⑤定论。函数f（x）=x+1x在区间[1，+∞）或（1，+∞）上是增函数，在区间（0，1）或（0，1]上是减函数。

追问5：你能给出函数f（x）=x+1/x在区间（-∞，0）上的单调性吗？能根据单调性和最值画出函数的简图吗？

[设计意图：引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、判号、定论。同时，回扣定义中的关键词“任意”“都有”，再次落实大概念“无限”。]

（4）课堂小结。

出示问题7：①什么是函数的单调性、增函数、减函数？定义中的关键词是什么？②判断函数单调性的步骤是什么？③什么是函数的性质？我们研究了函数的哪些性质？④我们是怎样研究函数的性质的？

[设计意图： 引导学生回顾全课内容，进一步提炼研究函数性质的方法：几何直观和代数运算，从直观到抽象，从定性到定量，从粗略到精确;从特殊到一般。这些也是重要的大概念。]

5.课后作业。

基础作业：略。

探究作业：要证明函数f（x）在区间（a，b）上是增函数，可以利用“对任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x2）-f（x1）/（x2-x1）>0”吗？

[设计意图：等价形式的进一步发展可以引向导数，为学习利用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。]

参考文献：

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[2] 章建跃.《普通高中教科書·数学（人教A版）》“单元—课时教学设计”体例与要求[J].中学数学教学参考，2019（22）.

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[5] 章建跃.第三章“函数的概念与性质”教材介绍与教学建议[J].中学数学教学参考，2019（28）.

[6] 史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

*本文系北京市教育科学规划2021年度一般课题“大概念和学习进阶视角下高中数学单元教学实施策略研究”（编号：CDDB21315）的阶段性研究成果。