一次从三角问题到建模应用的发散型探究*

南京师范大学附属中学(210003)孙风建 管慧慧

实际教学中我们发现不少学生疲于做题却难做到对问题深入理解,遇到复杂情境容易重新陷入困境.如果能见“树木”而想到“森林”,形成发散性探究,则容易帮助学生从知识综合认知的高度推进对多个子问题的深入思考,建立数学整体观,达成“一通”则“百通”的学习成果.

一、问题提出

二、问题驱动,形成初次探究

(一)以“形”示“数”,平几视角——用几何知识解决代数问题

(二)静中有动,“轨迹”视角——对原问题几何意义的探究

三、形成变题,进一步发散思考

(一)问题延展,“一般化”视角

(二)自主建构,“创造性”视角

四、联系实际经验,形成立体理解

学生沿着这个思维路径继续深入思考,最终抽象出了这个问题的潜在数学模型,由此发现最值问题、轨迹问题,对问题的理解再上一个新台阶.

(一)情境激活,链接“最短路径”问题

情境链接如图7,某城市有一块半径为1(单位:百米)的圆形景观,圆心为C,有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地,后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路,便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议,决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问:A,B两点应选在何处可使得小道AB最短?

本解法充分利用几何背景,选择角作为变量,建立了相对简单的基本不等式模型,如果没有几何背景,利用解析法,读者可以自行尝试,从而更好地体会几何法的优点.

(二)数学模型建构,实现高阶应用

五、结束语

发展学生的数学学科素养不能依靠繁琐、割裂和杂乱堆砌的知识,更不能依靠那些追求细枝末节、训练解题技巧的题库,而是要引导学生理解核心思想,这些核心思想不仅对后续数学学习是关键的,对形成理性思维、科学精神等也至关重要[1].探究教学应始终坚持学生的主体地位,教师的作用在于“引领”, 应少“告知”, 尽量将“表现”的机会让给学生[2],让学生充分经历知识“生长”的过程,自主将已有概念与探究主题建立联系.

本次探究,教师通过问题引导学生思考,学生从三角知识的运用入手,沿着“角边关系的转化、几何背景、点的轨迹、最值问题、解析几何链接、实际模型构建”这一核心路径,让学生充分体会了归纳、推理、抽象和建模的核心方法, 注重“发现与已知关联紧密的本质模型”这一核心思想,完成了一次发散性探究,对问题形成了立体认知,有利于直观想象、逻辑推理、数学抽象和数学建模等核心素养的发展.