求解二项式定理问题的几个“妙招”

任银

二项式定理是高中数学的重要内容，也是高考的必考内容.二项式定理问题常以填空、选择题的形式出现，难度适中，要求同学们深刻理解并掌握二项式定理及其性质.下面，笔者结合例题，对解答二项式定理问题的三个“妙招”一一介绍.

一、巧用通项分析法

二项式展开式的通项公式 Tr+1 = Cn（r）an -rbr （0≤ r ≤n， r ∈ N）呈现了二项展开式的项数、系数、次数三者之间的变化规律，是二项式定理的核心.若已知二项式展开式的项数、系数、次数三者之一，就可以根据二项式展开式的通项公式求出其余的量.

例1 .已知 f（x）=（3 +3x2）5，求展开式中系数最大的项.

解：假设第r +1项的系数最大，

则 Tr ≤ Tr+1，Tr+1 ≥Tr +2，

可得î（ì）C（C）  解得  ≤ r ≤  ，

又因为 r ∈ N，所以 r =4，

故展开式中系数最大的项是 T4+ 1= C x3（3x2）4=

二項式展开式中项的系数是离散型变值，因此在系数均为正的前提下，只需比较相邻两项系数的大小即可.于是根据二项式展开式的通项公式建立不等式组，通过解不等式组求得r 的值，便可确定系数最大的项.

二、利用组合知识

我们知道，二项式（a +b）n 是由n 个因式 a +b 相乘得到的，因此可将二项式定理问题看作从 n 个元素 a +b 中选取 m 个a 和n -m 个b 的组合问题来求解.确定组合问题中的元素和选取方式便可得到相应的组合数，求得问题的答案.对于求二项式展开式中的某项、项的系数以及与二项式系数和有关的问题，都可以利用组合知识来求解.

例2.求在（a -2b -3c）10的展开式中含有 a3b4c3的项的系数.

解析：

利用组合知识解题时，需从每个因式中选取一项作乘法运算，且对每一项的字母及其前面的系数、符号需一起选取.

三、赋值

赋值法是指将某些满足题意的值赋给某个变量，并将其代入题设中进行求解.由于二项式与其展开式是恒等关系式，它对能够使变量有意义的任意值都成立，故赋值法是研究二项展开式系数的和的常用方法.

例3.已知（2x -1）5=a0x5+a1x4+ ∙∙∙+a4x +a5，求a0+a1+∙∙∙+ a5的值.

解：

我们需先根据二项式展开式的通项公式，明确相应系数的特征，再进行赋值.解答本题的关键是得到a0+a1+∙∙∙+ a5=a0-a1+a2-a3+a4-a5，从而令 x =-1，求得系数的和.

通过对上述三个“妙招”的阐释，同学们对二项式定理问题及其解法会有更加深入的了解，相信通过练习，并不断总结经验和教训，同学们能熟练掌握求解二项式定理问题的三种方法，并能灵活应对各类二项式定理问题.

（作者单位：江苏省盐城市大冈中学）