画龙需点睛 度量要寻根

李淑民，姜永春

摘   要：度量的本质是要计算所要度量的图形包含多少个度量单位，但度量单位的使用只有长方形和平行四边形的面积教学有所涉及，在其他圖形面积教学中被淡化了。通过对长方形的面积、平行四边形的面积、圆形的面积、不规则图形面积的估算的课例进行剖析诊断，从度量本质的角度，提出对二维图形面积教学的建议。

关键词：小学数学;二维图形;度量

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2022）07-0022-04

关于度量，史宁中教授在《小学数学教学中的若干问题》一书中指出：要度量就必须确定度量单位，而度量就是计算所要度量的图形包含多少个度量单位。张奠宙先生在《小学数学教材中的大道理》一书中也指出：数学意义上的面积测量，其实质是要对某些平面图形指定一个合适的数，并使之满足“有限可加性”“运动不变性”“正则性”的特性。

一、教学现状分析

回顾小学阶段对二维图形大小的测量，在教学伊始，用不同数量的面积单位拼成不同图形来数出面积，渗透了面积的大小与面积单位的个数有关。

在长方形面积教学时，学生用1平方厘米的面积单位去密铺，通过观察与思考，学生已经知道长方形的长=长边摆面积单位的个数，长方形的宽=宽边摆面积单位的个数，长方形的面积=一共摆面积单位的总个数，并推导出了长方形的面积公式。但后来图形的求面积，又变成了用一把尺子去量长和宽，量面积又变成了量长度，造成了学生在做题时，周长和面积经常搞混。在小学数学课堂教学中，教师如何让学生深切体会度量的本质，培养他们的度量意识呢？下面尝试把二维图形面积的种子课“长方形的面积”“平行四边形的面积”“圆形的面积”“不规则图形的面积”教学进行串联，来阐述应该如何让学生体会二维图形度量之本质。

二、教学实践探索

案例一：“长方形的面积”教学片段

《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《课标》）在第一学段要求结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。这种要求对面积单位和体积单位也同样适用。数学意义上的测量是要计算所要度量的图形包含多少个度量单位，是要对图形指定一个合适的数。为了更好地让学生体会度量的本质，体会度量单位的重要性，我们不妨对长方形各元素与面积单位的联系进行深一步的挖掘。

师：我们知道了长×宽=长方形的面积，回顾今天所学，谁能再说说这里的长、宽和面积分别表示什么呢？

生1：长表示长边能摆多少个小方块，宽表示宽边能摆多少个小方块，相乘就是总块数，也就是长方形的面积。

生1：也可以说长是一行摆多少个小方块，宽表示一共多少行，然后用一行多少个方块乘一共多少行，就等于一共多少个小方块，就是长方形的面积。

师：说的真清楚！大家看，这里有个长方形，它的面积怎么求呢？

生2：6×4=24平方厘米

师：看到6和4，你想到了什么？

生2：我想到了长这里一行摆了6个小方块，宽这里摆了4个，也就是一共摆了4行，相乘就求出了小方块的总个数，也就是长方形的面积。

师：说得真好，虽然长方形的面积是用长度相乘，但它们表示的是“一行多少个小正方形×一共多少行”，也就是想办法求出长方形一共有多少个小面积单位。

在以往课堂教学中，学生根据长方形长、宽与面积单位个数的关系推理得出长方形的面积公式进行间接测量即为完结。本教学片段在此基础上通过学生思考和讨论，让他们进一步体会到虽然长方形的面积计算用的是长度相乘，但它们的本质是“一行多少个面积单位×一共多少行”，也就是想办法求出长方形一共有多少个面积单位。这样对二维图形中最基础图形长方形面积的“画龙点睛”，让学生从“根”部体会了度量单位的重要性，又加深了对“面积单位的累加”度量本质的感知，同时为今后学习其他平面图形的面积奠定了扎实的基础。

案例二：“平行四边形的面积”教学片段

关于对规则图形的度量，《课标》在第二学段指出：探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题。如何探索呢？联系在三年级教学长方形的面积时，把重点放在对度量单位的摆放和寻找规律数出度量单位的个数上，而平行四边形作为对二维图形面积的第二次探索，笔者认为，度量单位的使用是不可或缺的。

（教师发放给学生画有平行四边形的边长为1厘米的方格纸）

师：请同学们看平行四边形的面积能否数方格得到呢？

生1：没办法数，因为两边不是整格。

生2：可以把左右两边的小格拼成整格来数。

生3：也可以把平行四边形左边剪掉一部分补到另一边，变成能数的长方形。

师：你们真棒！请同学们想办法把平行四边形变成能数的图形，并想办法得到它的面积吧

生4：我们通过图很清晰地看出，长方形的长和平行四边形的底同样是6厘米，长方形的宽和平行四边形的高都是4厘米。又因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高，也就是6×4=24平方厘米。

生5：我们还从转化的过程中体会到平行四边形只是把剪下的一部分挪个位置，面积大小没变，同样能得到平行四边形的面积=底×高。

师：现在同学们推导出了平行四边形的面积，谁能说说公式中的底、高和面积在方格中分别表示什么吗？

生6：底表示一行多少个小方格，高表示一共多少行，面积就是用一行多少个小方格乘一共多少行，求出多少个小方格，平行四边形的面积就是多少平方厘米。

师：看来平行四边形的面积也是计算它一共包含多少个面积单位。

本教学片段，把小方格也就是面积的度量单位贯穿教学始终。首先让学生在方格纸上数平行四边形的面积，数不出来就要想办法转化成能数的图形，这也是解决面积测量的基本方法。在方格纸上，学生把平行四边形转化成长方形，位置不管怎么变化，但是面积单位的总和是不变的，运用了面积的运动不变性;一个单位方格的面积是1，它就是一个标准，即正则性;数方格的过程就蕴含了面积的有限可加性，最后得出平行四边形的面积公式，即求面积单位总个数的简便方法，同时也设法给了面积一个确定的数与之相对应。之后，又通过对平行四边形的底、高、面积本质的梳理，体会到平行四边形的面积同样是计算它一共包含多少个面积单位的度量本质。

案例三：“圆形的面积”教学片段

圆形的面积作为小学数学“图形与几何”版块中最后教学的一种平面图形面积，如何让学生能把学到的知识进行串联，体会面积的度量就是面积单位个数累加结果的度量本质，从而把面积测量的数学意义进行知识和方法的迁移成为本课的教学重点。

师：同学们，今天我们学习了最后一个平面图形圆形的面积，请同学们看屏幕，想想我们明明求的是这些图形的面积，但公式为什么却都是长度的乘积呢？这些长度各表示什么呢？

生： 长方形的长表示一行多少个小单位，宽表示一共多少行，乘积就表示一共多少个面积单位，也就是长方形的面积。

师：说的真好，想一想别的图形呢？

生：平行四边形转化成长方形来计算面积的，它的底等于长方形的长，所以底也表示一行多少个小方格，高表示一共多少行，乘积就表示平行四边形的面积。

生：三角形是用两个完全一样的三角形转化成平行四边形或长方形来计算的，三角形的底也表示一行多少个小正方形，高表示一共多少行，乘积就表示三角形面积的2倍，然后除以2，就得到三角形的面积了。

生：梯形是转化成平行四边形或长方形来求面积的，（上底+下底）表示一行多少个小单位，高表示一共多少行，乘积就表示梯形面积的2倍，然后除以2，就得到梯形的面积了。

师：说的真好，圆形的面积能用面积单位来说明吗？

生：圆形是转化成长方形来计算的，πr就是长方形的长，也就是表示一行多少个面积单位，r表示一共多少行，乘积πr2就表示圆形的面积了。

师：同学们说的真好，现在可以看出，所有图形面积的相同点是想办法计算出它一共包含多少个面积单位就可以了，这些图形都可以用每行有多少个面积单位乘行数来算出总数。

此教学片段，让学生理解了对于图形面积的度量，最基础的图形长方形是用面积单位“小正方形”直接累加，后推导出“长×宽”公式对面积进行间接测量的，平行四边形的面积无法直接测量，是通过剪拼、拼摆等方式，转化为成长方形的面积后用“底×高”间接测量得到的（三角形、梯形也由此解决），圆形的面积是把曲线图形化曲为直后归结于长方形的面积“πr×r=πr2”得到的。但无论是长×宽、底×高、底×高÷2、（上底+下底）×高÷2，还是πr×r，它们本质都指向：一行多少个面积单位×一共多少行=面积，也就是面积单位个数累加的数值就是图形面积的大小。整个梳理的过程，把面积测量的基本思想和方法贯通起来，使学生体会到不管测量什么图形的面积，其本质皆为“度量单位个数的累加的结果”，度量单位是一切图形测量的本源，而这种思想和方法将为今后学习三维图形体积的测量奠定研究的基础。

案例四：“不规则图形面积的估算”教学片段

《课标》在第二学段课程内容中指出：会用方格纸估计不规则图形的面积。在以往教学中，解决这个问题做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合，最后累加起来，用此方法估计不规则图形的面积。但这种估算方法并没有体现估算的意义，只是把估算当成了一个操作技能数方格去教了。

（出示画有树叶的方格纸）

师：同学们仔细观察这里的不规则的图形，你认为这个图形的面积结果可能会在哪个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？试一试。

生1：我先数出叶子包含18个整格，然后数出叶子边缘接触到的所有的小方格数是36个，说明这片叶子的面积在18～36个格子之间。

师：很好，我们用叶子包含多少个整格来估计出叶子面积的最小值，又用叶子所接触到的所有整格估计出面积的最大值，就可以确定叶子面积的范围。大家再想一想，还有没有什么方法能使估计的结果更接近实际面积的大小吗？

生2：能不能把方格变得更小些呢？

（师多媒体出示把一個方格等分为4份的方格树叶图）

师：同学们现在发现了什么？

生2：现在树叶的不规则的边缘部分整格的多了，树叶的面积范围的数值更精确了。

师：如果我把方格再接着变小，这时数出的小方格面积会怎么样？（并出示相应的图）

生2：越来越接近树叶的面积了。

师：对了，有时面积单位不合适了，可以把方格等分成更小的方格，使估算的值更逼近准确的值，这种方法在同学们今后学习更深奥的数学知识时将会用到的。

此教学片段，“寻找范围”的设计注重了对学生估算意识和方法的培养，特别是选择合适的面积单位是引导学生进行有效估算的关键，同时渗透了逐步逼近的极限思想。通过最大和最小范围的确定，帮助学生找到合适的区间，而这个最大和最小的范围才是真正意义上的估算价值的体现。同时，用面积单位去覆盖所要测量的图形，如果找的单位太大了，就要找更小的单位，这样的安排，就把整个测量的基本思想和方法贯通了，也让学生领会到了测量的本质。

总之，在教学中我们要紧紧围绕度量核心，借助方格纸并通过对不同图形面积本质的沟通联系，让学生深刻体会到度量的本质，即求面积就是求面积单位的总个数，总个数可以用每行面积单位个数乘行数算出。在教学过程中教师要适时进行点拨提升，加强沟通联系，总之度量寻根的过程犹如画龙点睛之笔，不可或缺。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]全国中小学教师继续教育网.义务教育数学课程标准解读（2011年版）[M].北京：中国轻工业出版社，2012.

[3]张奠宙，巩子坤，任敏龙，张   园，殷文娣.小学数学教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018.