证明等边三角形的三种思路

聂玉成

等边三角形是一类特殊的三角形，具有许多特殊的性质.这些性质可以为我们解答几何问题提供条件和依据，所以找出等边三角形是解一些几何题的关键.那么如何证明三角形为等边三角形呢？对此，笔者归纳了几种证明方法，现举例说明.

思路一：证明三条边都相等

在数学中，三边都相等的三角形为等边三角形，这是等边三角形的定义、性质，也是判定方法.在解题中可以直接利用这一性质与判定，证明三角形为等边三角形.

例1如图1，在等边△ABC的三条边AB，BC，CA上，分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF，连接DE，EF，FD，求证：△DEF是等边三角形.

说明：若要证的三角形的三边在三个形状相同的三角形中，通常先去证明这三个三角形全等，由此得出三边相等.

思路二：证明三个内角都相等

等边三角形是一个锐角三角形，它的三个角都相等，且均为60°，所以要证明三角形是否为等边三角形，同学们不妨利用等边三角形的这一性质，去证明三角形的三个角都相等或都为60°.

例2如图2，在△ABC中，D是AB上任意点，DE⊥AC于点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD=BF，∠ABC=∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由.

分析：由角的互余关系、等腰三角形的性质以及对顶角相等证出∠A=∠C，再由∠ABC=∠A，得出∠ABC=∠A=∠C，即可得出结论.

解：△ABC是等边三角形，理由如下：

∵DE⊥AC，∴∠AED=∠CEF=90°，

∴∠A+∠ADE=90°，∠C+∠F=90°，

∵BD=BF，∴∠BDF=∠F，

∵∠ADE=∠BDF，∴∠ADE=∠F，

∴∠A=∠C，

又∵∠ABC=∠A，

∴∠ABC=∠A=∠C，

∴△ABC是等边三角形.

说明：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、对顶角相等、直角三角形的性质.熟练掌握等边三角形的判定方法，沟通角之间的关系是解题的关键.

思路三：证明两条边相等且有一个角等于60°

证明三角形中两条边相等且有一个角等于60°，就是证明有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，所以，在证明三角形为等边三角形时，同学们还可以通过证明两条边相等且有一个角等于60°，达到求证目的.

例3如图3，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上.

（1）求证：AD=BE.

（2）连接MN，试判断△MNC的形状并说明理由.

分析：（1）AD与BE相等，理由为：由△ABC和△CDE为等边三角形，利用等边三角形的性质得到一对角相等，两对边相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△ACD与△BCE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；

（2）由（1）得出的全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由∠MCD=∠NCE=60°，以及夹边DC=EC，利用ASA得到三角形DMC与三角形ENC全等，利用全等三角形对应边相等得到MC=NC，即可得到△MNC為等边三角形.

（1）∵△ABC和△DCE都为等边三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，

AC=BC，DC=CE，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∵∠MCD=60°，

∴△MNC为等边三角形.

说明：本题利用“两条边相等且有一个角等于60°的三角形是等边三角形”这一判定定理予以证明.在证明过程中，充分运用了全等三角形与等边三角形的性质与判定.

等边三边角形的证明方法较多，除了上述提及的三种，还可以利用“两个内角都等于60°的三角形是等边三角形”这一判定定理进行证明.在平时解题中，同学们应仔细审题，留意题中的边相等、角相等关系，挖掘出关键的证明条件.