中华优秀传统数学文化融入高中数学教学的若干路径

汪晓勤

摘要：将中华优秀传统数学文化融入数学教学不是“为文化而文化”，而是“为教育而文化”。中国古代数学有着悠久的历史、辉煌的成就和独特的价值取向，是中华优秀传统文化不可分割的重要组成部分。运用什么历史素材、如何运用历史素材乃是一线教师开展数学史融入数学教学实践的主要障碍。从新知引入、问题设计、公式推导、定理证明四个方面，探讨中国古代数学史上的问题、思想、方法等在高中数学教学中的具体应用。

关键词：中国古代数学史;中华优秀传统文化;数学文化;高中数学

中国古代数学有着悠久的历史、辉煌的成就和独特的价值取向，是中华优秀传统文化不可分割的重要组成部分。在提倡中华优秀传统文化进中小学课程（教材）的当下，数学教师需要将中国古代数学史料融入数学教学之中。

实践表明，运用什么历史素材、如何运用历史素材乃是一线教师开展数学史融入数学教学（HPM）实践的主要障碍。本文试从新知引入、问题设计、公式推导、定理证明四个方面，探讨中国古代数学史上的问题、思想、方法等在高中数学教学中的具体应用，既试图为高中数学教学提供参考，也希望引发更多的讨论。

一、新知引入方面

运用中国古代数学史料引入新课的方式有问题引入、法则引入、方法引入等。

以汉代的《九章算术》为代表的中国古代数学典籍基本上都采用了问题集的编写方式，其中含有丰富多彩、分门别类的数学问题，一些问题（或改编后的新问题）可以用于高中数学的新知引入。例如，《孙子算经》中的问题“金有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何”，可用于数列概念或等比数列概念的引入。

《九章算术》“方程章”中提出了世界上最早的有理数四则运算法则。其中，非零两数的加法法则为“同名相益，异名相除”，非零两数的减法法则为“同名相除，异名相益”。虽然中国古代数学家没有明确提出绝对值的概念，但这里的“相益”说的就是绝对值相加，“相除”说的就是绝对值相减。因此，这一法则表明，设非零两数为a和b，则：

|a+b|=|a|+|b|（ab>0），

|a|-|b|（ab<0，|a|≥|b|），

|b|-|a|（ab<0，|b|≥|a|），

|a-b|=|a|-|b|（ab>0，|a|≥|b|），

|b|-|a|（ab>0，|b|≥|a|），

|a|+|b|（ab<0）。

中国古代数学家尚未将数系从有理数扩充到实数，但是上述运算法则显然也适用于实数。因此，对任意非零实数a和b，均成立绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。而当a或b等于零时，上述不等式显然也成立。因此，用“正负术”来引入绝对值不等式，可谓恰如其分。

《九章算术》已经给出了多位正整数开平方和开立方的方法。到了北宋时期，数学家贾宪将开方术推广到了开高次方的情形，并给出了著名的二项式系数表。南宋数学家杨辉将其记载于《详解九章算法》中，并称之为“开方作法本原图”（如图1所示）。这一名称清楚地表明了，今天所说的“贾宪三角”最初实际上源于开方。开方是二项式定理诞生的真正动因，因而可通过开方问题和方法来引入该定理。

三国时代，数学家刘徽在推导圆的面积公式时所采用的“割圆术”也可用于导数几何意义的教学。学生在初中学过圆的切线的静态定义，即与圆有一个公共点的直线，或过圆上一点且垂直于该点与圆心连线的直线，或到圆心的距离等于半径的直线。这是切线概念的认知起点，但该定义并不适用于一般的曲线。通过割圆过程中正多边形一边的不断变化（如图2所示），可引出切线的动态定义。这一新定义适用于任意曲线。

二、问题设计方面

根据数学史料来编制数学问题的策略，有再现式、情境式、条件式、目标式、对称式、串联式和自由式七种。

再现式直接采用历史上的问题。高中数学教学中，可直接采用的中国古代数学史上的问题很多。例如，程大位的《算法统宗》中载有以下数列问题：

行程减等歌：三百八十七里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。要见每朝行里数，请公仔细算相还。（在等比数列{an}中，已知n、q、Sn，求a1）

浮屠层级歌：远望魏巍塔七层，红光点点倍加增。共灯三百八十一，请问尖头几盏灯。（在等比数列{an}中，已知n、q、Sn，求a1）

八子分绵歌：九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠。次第每人多十七，要将第八数来言。务要分明依次第，孝和休惹外人传。[在等差数列{an}中，已知n、d、Sn，求ai（i=1，2，…，8）]

九儿问甲歌：一个公公九个儿，若问生年总不知。自长排来争三岁，共年二百七岁期。借问长儿多少岁，各儿岁数要详推。[在等差数列{an}中，已知n、d、Sn，求ai（i=1，2，…，9）]

除了再现，还可以采用多种方式改编中国古代数学史上的问题。例如，《九章算术》“均输章”中载有三个数列问题，其中一个为“竹筒容积”问题：

今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问：中间二节欲均容，各多少？ [在等差数列{an}中，已知S4，a7+a8+a9，求ai（i=1，2，…，9）]

程大位通過条件式（改变已知条件），将这一问题改编为“竹筒量米歌”③：

家有九节竹一茎，为因盛米不均平。下头三节三升九，上稍四节贮三升。惟有中间二节竹，要将米数次第盛。若是先生能算法，教君只算到天明。

类似地，我们可以通过条件式设计更多的数列问题：

1.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。已知最下一节的容积为2升，最上一节的容积为半升，求各节的容积。[已知a1=12，a9=2，求ai（i∈N*，2≤i≤8） ]

2.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。已知总容积为9升，最下一节的容积是最上一节的两倍，求各节的容积。[已知S9=9，a9=2a1，求ai（i∈N*，1≤i≤8） ]

3.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。已知最下一节的容积为2升，最上四节的容积为3升，求各节的容积。[已知S4=3，a9=2，求ai（i∈N*，1≤i≤8） ]

4.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。已知最下三节的容积为4升，最上三节的容积为2升，求各节的容积。[已知S3=2，a7+a8+a9=4，求ai（i∈N*，1≤i≤9） ]

5.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。最下四节的容积为5升，最上五节的容积为4升，求各节的容积。[已知S5=4，a6+a7+a8+a9=5，求ai（i∈N*，1≤i≤9） ]

6.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。已知总容积为9升，最上五节的容积与最下四节的容积相等，求各节的容积。[已知S9=9，S5=a6+a7+a8+a9，求ai（i∈N*，1≤i≤9） ]

上述问题中，若将所求项改为节数、各节的总容积、公差等，就成为自由式问题了：

1.今有竹若干节，各节的容积构成等差数列。已知最下四节的容积为5升，最上四节的容积为3升，其余各节的容积是总容积的311，求竹的节数。（已知S4=3，an-3+an-2+an-1+an=5，a5+a6+…+an-4=311Sn，求n ）

2.今有竹五节，各节的容积构成等比数列。已知最上二节的容积是最下二节的2764，中间一节比最上一节多了23升，求五节的总容积。[已知S2=2764（a4+a5），a3-a1=23，求S5]

3.《九章算术》给出“竹筒容积”问题中的公差d=43-349-32+42。请你用今天的数列知识来检验上述结果。若在等差数列{an}中，已知a1+a2+…+am=p，al+al+1+…+an=q，其中m、l、n为正整数，1≤m

再如，《九章算术》“盈不足章”载有“蒲莞同长”的问题：

今有蒲生一日，长三尺;莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。问：几何日而长相等？

据此，可编制以下问题：

1.（目标式）已知蒲第一天长3尺，莞第一天长1尺。以后每一天，蒲生长的长度是前一天的一半，莞生长的长度是前一天的2倍。问：10天后莞的总长度是蒲的几倍？

2.（条件式）已知蒲第一天长4尺，莞第一天长14尺。以后每一天，蒲生长的长度是前一天的一半，莞生长的长度是前一天的2倍。问：经过几天后，两者总长度相等？

3.（条件式）已知蒲第一天长5尺，莞第一天长15尺。以后每一天，蒲生长的长度是前一天的15，莞生长的长度是前一天的5倍。问：经过几天后，两者总长度相等？

4.（自由式）设蒲、莞的生长规律分别为f（x）=61-12x，g（x）=2x-1，其中x表示时间（单位：日），求蒲、莞同长时经过的时间。

5.（自由式）已知蒲第一天长3尺，莞第一天长1尺。从第二天起，蒲生长的长度是前一天的23，莞生长的长度是前一天的1.5倍。设蒲、莞经过n天生长后总长度之比为an，求数列{an}的通项公式和前n项和。

又如，中国古代多面体体积理论在世界数学史上可谓一枝独秀。《九章算术》中给出了三种最基本的立体模型：堑堵、阳马和鳖臑。如图3所示，正方体的对角面将正方体分割成两部分，每一部分称为“堑堵”;堑堵的对角面将堑堵分割成两部分，一为阳马，一为鳖臑。刘徽利用无穷分割求和的方法证明阳马和鳖臑的体积之比为2∶1，从而解决了棱锥的体积问题。

其中，鳖臑是一个三棱锥，其底面为直角三角形，一条侧棱经过底面的一个锐角顶点且垂直于底面。鳖臑是“三垂线”最简单的立体模型，利用该模型，可编制许多自由式问题：

如图4，在鳖臑ABCD中，底面BCD为直角三角形，∠BCD为直角，侧棱AB与底面BCD垂直，AB=BC=CD=1，E为侧棱AD的中点。

（1）试证明：点A、B、C、D位于同一个球面;

（2）求∠BEC的大小;

（3）求异面直线AD和BC之间的距离;

（4）分别求二面角BACD和BADC的大小;

（5）分别求二面角ABCE和BECD的大小;

（6）分别求点A和点D到平面BCE的距离;

（7）求AE与平面BEC所成的角的大小;

（8）设P为AD上的一个动点，求PB+PC的最小值。

类似地，也可编制许多“阳马中的问题”。

另外，中国古代的测量问题，如刘徽的《海岛算经》中的海岛测量问题，也可用于解三角形的教学：教师让学生用所学的解三角形的知识来测量海岛的高度，并将学生的解决方案与古代的方法作比较。

三、公式推导方面

高中数学中的某些公式可以利用中国古代数学家的方法加以推导。

例如，利用祖暅原理，可以证明等底等高的三棱锥体积相等，进而从三棱柱出发推导棱锥体积公式，还可以推导圆锥体积公式。近年来，由于技术的运用，祖暅推导球体积的方法不再被视若畏途，两个底面半径相同的直交圆柱公共部分——“牟合方蓋”也渐渐走进高中数学课堂，为学生所知。

再如，杨辉在解决《九章算术》中的“二马相遇”问题时，采用几何方法来求等差数列之和。已知良马第一天行193里，以后每天都比前一天多行13里。为求良马15天的行程，构造如图5所示的“良马图”：每一长方形的宽均为1，长分别为各天的行程193、193+13、193+2×13……193+14×13，于是，阶梯形的面积即为良马的15天行程。由此，将等差数列求和问题转化为几何图形的面积问题。在此基础上，利用图6和图7，分别可得等差数列求和公式Sn=na1+12n（n-1）d，Sn=na1+an2。

又如，刘徽在《九章算术注》中用两种方法推导了正四棱台（方亭）的体积公式。设正四棱台的上、下底面的边长分别为a和b，高为h，如图8所示，将正四棱台分割成1个长方体（体积为a2h）、4个堑堵（每一个的体积为12×b-a2×ah）和4个阳马（每一个的体积为13×b-a22×h），则正四棱台的体积V=a2h+4×14（b-a）ah+4×13×b-a22×h=13（a2+ab+b2）h。或者分别考察a2h、abh和b2h中所含长方体、堑堵和阳马的个数，得到表1，从而得知a2h+abh+b2h中共含3个正四棱台，于是得到每一个正四棱台的体积V=13（a2+ab+b2）h。

此外，还可以借鉴中国古代数学家的方法来推导数学公式。

例如，赵爽将四个同样的直角三角形和一个以直角三角形两条直角边之差为边长的小正方形拼成一个阶梯形（如图9所示，可以分割成分别以两条直角边为边的两个正方形），然后移动两个直角三角形，得到以直角三角形斜边为边的正方形（如图10所示），从而证明了勾股定理。

借鉴上述方法，我们可以将斜边为1、一个锐角分别为α和β的两对直角三角形拼成一个菱形（如图11所示），算出其面积为sin（α+β）;然后移动两个直角三角形，得到一个阶梯形（如图12所示），算出其面积为sin αcos α+sin βcos β+（sin α-sin β）（cos β-cos α）=sin αcos β+cos αsin β，从而得两角和的正弦公式。面积技巧（两数相乘之几何意义）是中国古代数学中重要的解题方法，是数形结合思想的重要体现。张景中院士基于教育数学思想把面积技巧发展为一般性方法并建立了以面积关系为逻辑主线的几何新体系（不同于欧氏几何的体系）。

四、定理证明方面

高中数学中的一些定理可以利用中国古代数学家的方法加以证明。

例如，尽管赵爽用“弦图”来证明勾股定理，我们也可以用它来证明基本不等式。其实，赵爽在为《周髀算经》做的注中还充分利用如图13所示的“大方图”（“弦图”的直角三角形外翻图），得到“倍弦实，满外大方而多黄实，黄实之多，即勾股差实”。设直角三角形的两条直角边长和斜边长分别为a、b、c，则这一结论就是2c2=（a+b）2+（b-a）2 。后来，北宋数学家刘益、南宋数学家杨辉等又利用这个“大方图”，求解一类“直田”问题，即“已知a+b和ab，求a、b”或“已知a-b和ab，求a、b”的问题。

利用赵爽的“大方图”，很容易得到不等式（a+b）2≥4ab，即a+b22≥ab，即a+b2≥ab（a，b≥0），当且仅当a=b时，等式成立。

从“大方图”中，还可以获得启示：通过长方形的等积变换推导出基本不等式。在宽和长分别为a和b的矩形的左边截去一个直角边长为a的等腰直角三角形，将该三角形补到矩形的右边，得到一个等腰梯形;延长梯形两腰，得到一个等腰直角三角形（如图14所示）;比较矩形的面积和等腰直角三角形的面积，即得不等式ab≤a+b22。

不仅赵爽的“弦图”，刘徽的“勾股容方图”也有丰富的代数内涵，可以用于证明基本不等式。《九章算术》“勾股章”中記载了勾股容方公式：若设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，则与直角三角形具有公共直角的内接正方形边长d=aba+b，即两条直角边长的调和中项之半。

如图15，宽和长分别为a和b的矩形ACBR中，FCED、URVS分别为两个直角三角形的内接正方形，延长VS，交FD于点T。显然a≤b，则TD≤ST，即2aba+b-a≤b-2aba+b，整理可得不等式ab≤a+b22。

如图16，宽和长分别为a和b的矩形ACBR中，利用杨辉的“勾中容横、股中容直”原理，可以得到两个直角三角形内接正方形的等积长方形。移动两个等积长方形，可以发现，矩形ACBR由一对内接正方形、一对等积长方形和中间的一个“小洞”（当a=b时，这个小“洞”消失）构成，于是有4aba+b2≤ab，整理可得不等式ab≤a+b22。

如下页图17，以直角三角形ABC内接正方形的顶点D为中心，将直角三角形ABC顺时针旋转180°。旋转前后两个直角三角形共含有四个内接正方形，当a>b时，多余两个小直角三角形;当a=b时，两个小直角三角形消失。同样可得不等式4aba+b2≤ab。

五、结语

将中华优秀传统数学文化融入数学教学，不是“为文化而文化”，而是“为教育而文化”。教师不应以狭隘地宣扬“中国第一”为旨趣，而应以优化教学目标、促进数学学习、落实立德树人为己任。

以上我们看到，中国古代数学史料融入高中数学教学的主要方式为复制式和顺应式。在有关概念和命题的教学中，教师可将中国古代数学史上的问题直接用于新知引入与应用环节、课堂练习和课外作业设计，也可对中国古代数学史上的问题进行适当改编，形成问题串，实施变式教学。在有关公式的教学中，中国古代数学家的推导方法可以直接用于公式的推导。在有关定理的教学中，则可将中国古代数学史上的问题、思想、方法间接地用于定理的证明——这种间接用法，颇有“无心插柳”的意味。

当然，教师也可以采用附加式。例如，在球体积公式的教学中，教师可以讲述中国古代数学家的故事：刘徽孜孜以求，发现牟合方盖与内切球体积之间的关系，但未能求出牟合方盖的体积，从而与球体积公式失之交臂，刘徽的“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”体现了数学家实事求是的科学态度;祖暅的“诣微之时，雷霆不能入”反映了数学家执着专注的探究精神。

人们曾经以为，中国古代数学史作为一个学术研究领域已成了“贫矿”，但当代数学史学者的研究纠正了这一误解。今天，当我们带着HPM的眼光走进中国古代数学史时，可以更加深刻地感受到，该研究领域是一座巨大的“富矿”，本文所呈现的不过是其中几片带有光泽的“砾石”而已。我们有理由相信，中国古代数学史与数学教学之间的关系必将成为国内HPM研究的重要课题。