找准认知原生节点 促进概念自然“生发”

陈娜

摘 要：“分数的初步认识”是小学阶段数概念教学中的经典一课，是学生从自然数到分数的数概念的一次重要扩展，也是学生在原有自然数认知基础上的一次重新建构的重要过程。在小学阶段，学生往往对于“分数作为一个数”的数概念建构模糊不清，常将分数的“量”与“率”概念混淆。“分数的初步认识”作为分数教学的起始课，教师在教学该课时应追本溯源，引导学生探究分数的本质，对后续教学有着重要意义。

关键词：小学数学;分数;原生节点

一、教前思考：找准“概念胚胎”的原生点

（一）知识在哪里：寻根溯源，探寻分数的本质

“分数的初步认识”是学生学习分数的起始课。从自然数到分数，是数概念的一次飞跃性的扩展。无论在形式、意义、读写及计算方法上，分数与自然数都有很大的差别。再者，在学习分数概念的过程中，学生思维方式需要由过程转向结果，这成为学生在分数概念认知中的一个难点，也是数学思维真正进入小学数学的地方。所以分数是小学生在数学学习中出现困难的实際起点。

分数和自然数一样，用来表示数量，只不过当要表示在均分过程中比“1”更小的数，最小的自然数“1”不能表示，原有的认知造成冲突时，进而产生的一种新形式的数。在分数意义拓展时，分数才被用来表示一个量与另一个量的比的关系。而人教版的教材安排则与学生的认知稍有偏差，从“率”的角度入手认识分数，并不符合学生认数的规律。再者，纵观人教版三上分数单元的所有例题和习题，没有一个分数是携带单位名称，也就是说书本中的分数表示的都不是具体的数量。在三年级下册“小数的初步认识”中，第一课时就以“米”作为单位呈现分数形式的数量，再转化成小数。且不说分数转化小数的跨越有多大，先理解从未见过的“[110]米”就足够对一部分学生造成困扰。所以，教材的安排存在一定的知识断层。

自然数可以看作是若干个计数单位“一”累积起来的，有几个“一”就是自然数几。关于这一点，学生从一年级入学就建立了根深蒂固的认知基础。那么，分数教学和之前的自然数教学就没有任何交集，属于“另起炉灶”的一种全新的数概念教学吗？答案是否定的。尽管分数的教学建立在二年级下册“平均分”的实践经验之上，但在教学中，教师如果刻意强调“分数是分出来的”，以及强化分数含义中的部分与整体关系，人为割裂分数与自然数之间一脉相承的内在联系，即分数也是“数”出来的，势必会对学生理解分数的本质含义造成困扰。在直观理解和动手操作“平均分”的基础上，继而引导学生从“分数单位累积”的角度认识分数，可以为学生理解“分数和整数一样是一个数”奠定基础。

（二）学生在哪里：聚焦数据下学生的原生态学习起点

为了解本班学生分数学习的起点，笔者对学生本班45位学生进行了前测调研。写出假分数的学生数量之多超乎笔者意外，很多学生尚未形成正确的分数认知。

笔者布置题目：请你用画一画的方式表示四分之一，并写一写你的想法。从此题的前测情况来看，除了4个完全不会的学生，其他41个学生基本上都会将一个图形或者一堆物体分成四份，基本能够准确地表示其中的一份就是“四分之一”，说明学生对于分数的产生来源于“平均分”物体具有本能的感知。但是在表述这个分数的含义时，仅有5个学生准确地点出了关键字“平均分”，也就揭露了学生最原始的知识起点，而关于分物中需要“平均分”，这需要教师在教学活动设计中让学生充分感悟和理解。

（三）教前设想：以学定教立足概念教学原生点

1. 借助自然数“1”的等分关系，建构分数模型

学生学习新知时，如果这个新知与原来的经验是吻合的，那么学生就容易接受;如果这个新知需要另起炉灶，那么学生的学习就相对较慢。在学习分数之前，“1”是学生认识的最小的自然数计数单位。通过自然数“1”的叠加产生更大的自然数。但是，比1更小的数量该如何表示呢？为了解决这个问题，于是人们就创造出了一个新的数的形式，也即是“分数”。那么，在教学中，我们是否也能站在这个历史背景下，让学生感受分数产生的必要性呢？要表示比1更小的数，可以把1再按照一定的标准进行平均分割（统一度量单位），进而引入分数，构建分数模型。

2. 通过平均分自然数“1”，创造计数单位

“分数单位”是分数的基本组成部分，也是分数运算的基础。但是与自然数不同的是，分数的计数单位是人为地等分“1”创造出来的，分法的不同，分数单位及其个数也不相同。正是这种分数有别于自然数的“多变”的特性，也使得学生在学习分数中困难重重。因此，教学中重视分数单位的理解和运用，让学生在实际操作比较过程中，感受到分数单位是组成分数最小的元素，为进一步学习分数奠定良好基础。

3. 延续“自然数”观念，让数系扩充自然发生

分数尽管在产生、形式、读法等方面都有别于自然数，但它仍然是数，前期学生在自然数学习中形成的“数”的观念在分数教学中应该延续，这样有利于对分数是数的认可，有利于对分数的意义的理解，也有利于建构起分数与数之间关系的结构体系，还有利于建构起分数内部的结构体系。

4.“量”“率”并行，有效缓解知识断层

现行的大部分小学教材中，都是通过部分与整体的关系，引入分数教学。这与学生之前的认识自然数的逻辑规律（先量再率）相违背，也一定程度上增加了学生学习分数的难度。以“量”引入分数，携“率”并行，力求突破分数教学两大难点。

二、教学实践：让数概念构建“自然”发生

基于前述对分数概念体系的整体把握和学情分析，笔者以及团队成员们对本节课进行了多次的实践，最终呈现了如下的教学过程。

【片段一】复习旧知，“自然”引入

师：如果左图代表一个正方形，那么右边这个图形代表几个？你是怎么想的？（2个一是2，2里面有2个一）

怎样表示3个呢？（3个一）

想一想这个图形表示几，说说理由？（一个一个去摆摆看，看有几个一）

引导：是的，我们学过的数都可以看作是由若干个1累加起来的。数一数，有几个1就是自然数几。

【片段二】造成冲突，迁移认知

提出疑问：这是1个大正方形，数一数，这个阴影部分有几个？你想用一个怎样的数来表示这个阴影部分的数量呢？

过程一：探究比“1”更小的数的表达方法

1. 思考：这个小正方形与原来的大正方形有什么关系？（用折一折、分一分、画一画等方法证明）

2. 你会用一个怎样的数表示这个小正方形？

3. 和同桌说一说你的想法。

学生出现如下表示方法：1、4、[41]、[14]、0.25……

集体探讨，排除不可能的1、4，感受这是一个比1更小的数。其中小数0.25暂不研究。

过程二：认识[14]个

1. 提出“分数”的名称。

2. 请表示了[41]个、[14]个的两位学生分别阐述自己的想法，教师总结归纳：当要表示一个比1个更小的数量时，可以把这个1个再进行分割，按一定标准分割，每份分得同样多，也就是平均分。

3. 揭示分数含义。

4. 教学四分之一的读法、写法、各部分名称。根据分的过程理解分子、分母的含义，深化对分数的认识。

在分数的教学中，我们改编教材原本的安排，以具体的带单位名称的数量引入分数概念，和自然数教学有效衔接，有利于学生的理解。另外，在这个环节的教学中，要强调分数的产生是建立在等分的基础上，“按照一定标准分割”就是要统一度量单位去测量，这和自然数用统一的计量单位是一个道理。

【片段三】類推迁移，整合认识

过程一：认识几分之一，建立几分之一的分数模型

1. 出示[12]个，[15]个，[18]个的图形或实物，说一说这些阴影部分又可以表示多少个呢？说一说每个分数表示的含义。

2. 学生举例分子是1的分数

教师追问：把1张纸平均分成6份，每份是（  ）张。

[110]米是什么意思？你来说说看。

3. 寻找几分之一这种分数的共同点。

生：都是平均分成几份，取了其中的1份。

师：是的。我们把平均分的份数写在分数线的下面，把取的1份写在分数线的上面，就写出了像[1（        ）]这样的分数。

过程二：关联本质，认识几分之几

1. 认识几分之几

师：这是[14]个，如果再取一份，现在是几个呢？你是怎么想的？

生：把一个图形平均分成四份，取其中的2份，就是[24]个。

师：也就是2个这样的[14]。（板书：2个[14]就是[24]）

师：那3个[14]呢？再增加1个[14]呢？

一起来数一数。1个[14]、2个[14]……4个[14]是[44]。

师：请你仔细观察，[44]也就是什么？就是我们以前学习过的“1”个。我们把“1”个正方形平均分成了4份，这里的每一份都是[14]个正方形。

此环节中进行了两次的迁移。第一次，由“[14]个”迁移到任何图形、任何物体的“几分之一”，其表示的含义是一样的，顺利构建起几分之一的分数模型。第二次迁移是在认识几分之几。尽管三年级下册初次接触分数，不宜直接提出分数单位的概念。但是，借鉴数整数的经验，让学生感受到分数也是可以数的，沟通自然数和分数的内在联系，深化分数的本质含义，即分数是由分数单位累加而来的。

再者，几分之几的素材选取也是经过笔者深思熟虑的。课始以“1个”正方形为切入点，通过等分引入分数，再通过取不同个数的分数单位认识几分之几，最终又通过计数单位的累加回到自然数“1”。这样一个首尾呼应的过程，让整数和分数的内在联系更为密切。

过程三：内在构建，贯通内含

1. 寻找联系

师：因为分数是平均分后产生的，所以也有人说分数是先分后数，你觉得有没有道理？

2. 建立模型

师：这些都是分数，观察一下，你认为分数是一个怎样的数？

师：不管是几分之一，还是几分之几，都是将平均分成（  ）份，取了其中的（  ）份，写作[（        ）（ ;       ）]。这就是我们今天要认识的分数。

寻找联系环节，打破分数教学另起炉灶的教法，将自然数和分数内部打通，使得数学知识一脉相承，与课前提出的“数起源于数”相呼应。最后，将分数构建模型化，深化认知。

【片段四】自主创造，初步领悟双重含义

1. 创造分数

活动要求：

（1）折一折，分一分，取出的部分画斜线。

（2）说一说阴影部分可以用哪个分数来表示。

2. 对比感悟

选取各种图形的四分之一作品。

师：这些阴影部分的形状、大小都不一样，为什么都可以用“[14]个”表示呢？

生：因为都是把一个图形平均分成4份，其中的每一份都可以用“[14]个”表示。

生：因为阴影部分都表示的是各自图形4份里面的1份。

师：说得很好。分数可以表示一个具体数量，把1个图形平均分成4份，其中的1份就是[14]个。同时，分数也可以表示一种关系，把1个图形平均分成4份，其中的1份我们也可以说它是整个图形的[14]。我们会在后续的学习中，继续研究分数的两种含义。

“量”和“率”的区分，需要学生在实际操作中内化感悟。教师有意识地引导学生初步感受“[14]”这个分数，它既可以表示数量，同时也能表示部分与整体的一种关系，只要浅尝辄止即可。深入的研究，在第一课时肯定无法完成，需要在后面的课时中，继续加深学生理解和感悟。

三、结语

由于分数在数学教学中的特殊地位，以及其完全有别于自然数教学的特性，教育者们从未停止过对分数教学的研究与探讨。笔者通过前期的解读和后续的实践，对三年级分数教学的初始阶段，稍有感悟，但自知研究尚未完全，还有很多疑惑亟须解决。文章实践的仅是本单元的第一课时，在大观念统领下，笔者也对本单元“分数的初步认识”教学章节进行了整合安排。本课题的研究未完待续，对于分数教学相关内容的研究，也需要在更多的实践中加以积累和提升。