几何直观，数学思维的“助推剂”

吕梦婵

【摘  要】几何直观作为新课标提出的小学数学核心素养之一，贯穿四大数学学习领域，其重要地位是毋庸置疑的。在新课改的理念引领下，教师在课堂教学中应该注重潜移默化地渗透几何直观思想，培养学生的几何直观能力，在寓学于趣中实现数学思维进阶，进而提升学生的数学核心素养。

【关键词】小学数学;几何直观;数学思维

本文以笔者执教的小学数学五年级基于几何直观的教学片段为例，对几何直观数学思维进行探讨，为一线教师提供参考，为自己今后的几何直观教学指明方向，进一步拓宽学生的思维广度，在直观体验中提升学生的综合能力与素养。

一、潜移默化，渗透几何直观思想

（一）几何直观的内涵

何为几何直观？数学课程标准中的解释：几何直观主要指利用图形描述和分析问题，借助几何手段把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。国内外学者对几何直观的概念界定各不相同，大致分为两种：一种观点认为它是侧重于“直观”的方法手段，另一种则更倾向于把它定义为能力素养。二者虽不同，但彼此又有相通之处，从数学教育的角度，参照数学课程标准中对几何直观的说明，基本可以归结为利用实物、图形等直观语言描述和分析问题，对研究的数学对象进行直观感知和整体把握。

（二）小学生运用几何直观的现状

在当前家长和社会都高度关注学生考试成绩的背景下，许多教师的教学方法会或多或少地受到这种风潮的影响，再加上一些教师自身素养的局限，导致课堂教学流于表面，一味地灌输知识点，不断地疯狂刷题，试图让学生通过“死记硬背”和“题海战术”来提高分数，在这种形势下的几何直观教学是欠缺的，是不受重视的。

大部分数学教师对教材和课标的把握还是准确到位的，他们在课堂教学过程中或多或少地都会渗透几何直观的思想，教授通过直观图形来辅助解题的具体方法。从笔者的课堂教学和作业反馈中不难发现一个问题，少部分学生见到稍复杂的题目都懒得画图来帮助解题，他们宁愿盯着题目看半天也不愿意动手操作，实在想不出来了就随意写几道算式。

细思原因，我归结为以下三点：第一，这类孩子大都习惯于上课走神开小差，老师介绍方法时根本没听;第二，思想上不重视画图助解的方法，觉得把算式写出来才能得分;第三，写作业只图速度快，敷衍了事。小学数学作为整个数学教育的起始，是夯实基础的重要时期，对以后的数学学习有深远的影响，如果学生在这一阶段敷衍应付，忽视了几何直观的重要性，那必将对今后的理科学习产生不利影响。

（三）渗透几何直观思想的必要性

当今社会信息网络技术发达，知识的获取变得轻而易举，学生的知识储备也非常丰富，因此，学校教育的重点不应局限于学生知识获取的多少，而应该关注学生的知识是怎么得来的，关注学生学习的过程，更应该助力学生的思维发展。

例如，在教学“圆的面积”时，教师应善用教材，带领学生探索实践，丰富学生的几何直观意识，在动手操作中逐步推导出圆的面积公式。在动手操作之前，教师应明确活动要求：把一个圆剪下来，按16等份剪开，再按照书上的示范拼一拼，看看你能得到一个什么样的图形。在交流讨论之后，大家达成共识：拼成了一个近似的平行四边形。此时教师应提问：“这个平行四边形的面积和圆的面积相等吗？”紧接着追问：“那我们先求出这个平行四边形的面积，需要哪些数据？这些数据都是已知的吗？”学生立刻就能从图形中看出平行四边形的高是未知的。在此处教师应顺势激发学生继续转化的需求，接着把圆平均分成32份，学生在操作观察之后不难发现这个图形更接近长方形了，教师借机提问：“如果继续把圆平均分成64份、128份、256份……拼成的图形会怎么样呢？”学生借助图形直观加以联想就能得出：平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。

转化之后，长方形的长和宽的推导更需要借助几何直观来观察发现，大多数学生能够通过图形直观地发现：长方形的宽是圆的半径r，长方形的长是圆周长的一半πr。少部分学生仍然没明白，这时就需要教师借助实物直观来帮助学生理解，把一个可以平均分成多个扇形的圆形磁性教具粘在黑板上，一步步展示拼成长方形的过程，最后通过求长方形的面积推导出圆的面积。图形直观加上实物直观，这两种几何直观的方法相辅相成，使学生更透彻地掌握了圆的面积公式是怎么得出的，也更清楚地掌握了数学知识的本质，利用几何直观达到知其然也知其所以然的效果。

学生通过转化图形的实践操作，在教师的逐步引导下，依托几何直观来分析推理，更深层次地掌握了圆的面积的算法和由来，进而可以把这种思维方式迁移到其他的数学问题中去。教师在以教材为基础的教学过程中渗透几何直观思想，不仅丰富了学生的数学知识框架体系，提高了学生对数学知识的应用能力，还发展了学生的逻辑思维能力。

二、探索实践，锻炼几何直观能力

心理学视角下，几何直观是一种思维形式，几何直观能力则被认为是一种数学思维能力，是将数学对象运用几何语言进行表达的能力。几何直观能力可以直接帮助学生表征问题从而推动问题的解决，几何直观能力的发展也是其他学习能力发展的“桥梁”，更是助推数学思维发展的“跳板”。

直观能力是否与生俱来还有待商榷，但值得肯定的是，但凡能力都是可以通过后天的学习培养出来的。教师不仅要在新知教学中渗透几何直观思想，还要在后续的巩固练习中实现学生几何直观能力的有效锻炼，进而提高学生应用几何直观解决问题的能力。

（一）运用多媒体激发几何直觀的应用兴趣

如今信息技术高度发达，在各行各业中的应用都十分广泛，教师也应该通过学习来提高自己运用信息技术的水平，从而将信息技术应用到日常教学活动中，提升课堂教学的效果。PPT、几何画板、图形计算器等多媒体技术都是教师需要努力精进的，生动的课件展示能够迎合小学生的年龄特点，迅速吸引学生的注意力，激发学生对运用图形助解的兴趣。教师应从学生的喜好出发，激起学生主动应用几何直观的意识，为学生主动应用和知识内化打下基础。

（二）巧妙设计环节体会几何直观的应用价值

很多学生的几何直观应用意识非常薄弱，遇到难以解决的问题宁愿选择逃避也不愿意画图分析，一个重要的原因是他们从思想上根本没有意识到几何直观的价值，没有感受过应用几何直观带来的便捷。所以教师应该思考如何巧妙设计教学过程，让学生从方法的运用中尝到甜头，这样学生才会选择慢慢接受和尝试。比如教师可以设计一个需要运用几何直观来解决的环节，先让学生自主尝试各自不同的解法，思考未果之后教师适时出示相关的图式，先运用正向思维从图中找数学信息，说说与原题的异同，接着用逆向思维整理原题中的信息，形成对应的图式来完善自己的思路。一正一逆思维的训练会让学生形成对比印象，更加深刻具体地感受几何直观的应用价值。

（三）丰富应用领域创造几何直观应用时机

笔者教学分数内容时遇到这样的题目：“把3个橙子平均分成4份，每份是1个橙子的几分之几？”这个题目学生解答时几乎是全军覆没，很多同学都思维定式先看问题没有单位，就直接想成：把3个橙子看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，每份就是。可是这道题的关鍵在于第二小句问题的单位“1”变了，不再是3个橙子，而是1个橙子。我理清了这道题的易错点后，便向理解了的同学继续讲解：“1个橙子的几分之几就是问我们每份有多少个橙子，就是用3个橙子除以4得个橙子，也就是1个橙子的。”话音落下，很多同学都流露出似懂非懂的表情，我借机说道：“回忆一下我们是如何探究分数与除法的关系的？能不能尝试画图来解决这个问题呢？”立即有同学抢答道：“哦，画那个圆饼图。”学生各自画完后，请学生投影展示：“把3个橙子一个一个地分，把每个橙子画作一个圆，每个橙子都平均分成4份，都取其中的一份涂上阴影，把这三小块涂阴影的放到一个橙子里，就可以得出就是1个橙子的。”此时大家纷纷点头，从学生的表情就可以看出他们借助图形之后立刻就弄明白了。一些复杂抽象的数学知识对小学生来说确实晦涩难懂，这就需要教师的适时点拨，引入几何直观来打开学生的思维，打破数学知识领域之间的隔膜，促进学生对数学知识的融会贯通。

（四）设置专门课程训练几何直观应用方法

数学学科的知识点较多，很多作业难题也都需要教师利用课堂时间讲解，然而数学课堂上的时间十分宝贵，因此，许多教师只能一味地抓紧时间上课讲练习，即使遇到需要几何直观来解决的问题，也大都是就题讲题，缺乏拓展延伸与系统讲解。教师应该意识到，“质”比“量”更重要，教师更需要优化课程设计而非泛泛而讲，挑重点讲难点可以节约许多课堂时间，这样教师就可以利用抽离出来的时间对一些重点内容进行单独训练。学生几何直观能力的养成并不是一蹴而就的，需要教师重视起来并长期进行规范训练，利用整节课或是在常规课中设计一个环节来专门教学几何直观的方法与技巧，进而真正提升学生灵活运用几何直观来解决问题的能力。

三、经验内化，发展提升数学思维

几何直观方法与技巧需要在教师的引导下不断地训练，在此过程中学生在原有的知识基础上逐渐建构生成，把习得的经验揣摩内化，完善自己的知识体系。在学生借助实物或图形进行思考和推理的过程中，数形结合带来的直观感受丰富了形象思维，帮助学生从冗杂的问题情境中剥离出数学本质，让学生聚焦于思维碰撞过程。

“把握数学本质，优化思维表达”是几何直观教育价值的体现，灵活运用几何直观表征数学问题，学生能更好地体会几何直观在数学知识建构中的作用，进而拓宽思维路径，锻炼探索实践能力。随学段螺旋上升的几何直观能力会让学生思维产生进阶，学生的几何直观能力也会随着思维水平的提高而得到进一步发展，在二者的相互促进下，形成一个良性循环，助推彼此的发展，提高学生分析和解决问题的综合能力，进而提升学生的数学核心素养。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：5.

[2]钱珮玲.几何课程教学设计应注意的问题[J].数学通报，2009，48（5）：11.

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