数学小课题研究的“三项注意”

王雪晶

摘要：数学小课题研究，主要是在综合与实践理念的指导下，综合运用数学知识与方法，多维探索，展开猜测、验证、推理、计算、观察、操作、调查、交流等活动，解决现实问题。在教学内容、教学活动、教学评价三个方面，需要注意以下三点：研究内容要兼顾现实性与数学性，突出趣味性与开放性;以学生为主体，促进学生经历完整的研究过程;引导学生反思研究过程，发展元认知能力。

关键词：数学小课题研究;综合与实践;“脚长与身高的关系”

数学小课题研究，就是在综合与实践理念的指导下，直面现实生活中的各种综合性问题，运用已有数学知识与方法，通过查阅资料、调查分析、实验操作与观察、推理与计算等手段，经历探索、研究、实践、发现等过程，处理信息、解决问题，并运用数学的语言表达见解、得出个性化结论的活动，可以帮助学生增强应用意识、创新意识，积累数学活动经验，提升数学核心素养。本文结合笔者的教学实践与思考，以“脚长与身高的关系”（安排在四年级的“统计与概率”内容后）为例，谈谈带领学生开展数学小课题研究需要注意些什么。

一、研究内容要兼顾现实性与数学性，突出趣味性与开放性

数学小课题研究，主要是运用数学知识与方法解决现实问题。因此，课题（研究内容）选择应该兼顾现实性与数学性，引导学生用数学的眼光观察现实世界（生活现象），提出有关问题;同时，突出趣味性与开放性，能引起学生的研究兴趣，具有一定的研究空间。

【片段1】

师老师前一段时间看了一个综艺节目，有一个片段很有意思，想分享给大家，我们一起看一看。（播放综艺节目片段视频，内容是一位足迹专家通过测量脚印长度准确地推断出留下脚印的嘉宾的身高、年龄等个人信息）同学们，视频中的警官是怎么推测出嘉宾身高的？

生测量脚印长度。

师哦，知道脚长就能知道身高。你有什么想说的吗？

生为什么知道脚长就能知道身高呢？

生我觉得，脚长和身高之间可能存在一些关系。

生我想知道，脚长和身高之間究竟存在什么样的关系。

师同学们都很善于思考！没错，脚长和身高之间确实存在一定的关系。今天，我们就来研究“脚长与身高的关系”。

这里，教师利用“足迹专家通过测量脚印长度推断出留下脚印的嘉宾的身高”这一现实行为，激起学生的好奇，引发学生的思考，让学生自己提炼出“脚长与身高的关系”的课题。这一课题不仅真实、有趣，而且与数学有关，可利用统计的知识与方法研究，同时研究方法与结论具有一定的开放性，小学生可利用平均数的知识初步解决，高中生则可利用相关性分析和线性回归（拟合）的知识尝试解决。

二、以学生为主体，促进学生经历完整的研究过程

学生主动参与、亲身经历是数学小课题研究的主要特征。学生要在综合运用数学知识与方法解决现实问题的过程中，多维探索，展开猜测、验证、推理、计算、观察、操作、调查、交流等活动。这些活动不仅是解决问题所必需的，而且是重要的过程性目标。在教学中，教师要以学生为主体，引导学生经历数学小课题研究的完整过程。

【片段2】

师在研究之前，你们大胆地猜想一下：脚长和身高之间可能存在什么样的关系？

生身高越高，脚长越长。

生身高和脚长可能存在倍数关系。

师我们做数学研究光有猜想可不行，有了猜想还得怎么样？

生（齐）验证。

师要验证“身高和脚长存在一定的倍数关系”这个猜想，你想怎么做？小组内交流，设计出你们的研究方案。

生我们小组的方案是，先搜集一些身高和脚长的信息，然后计算出它们的商，看是不是有倍数关系。

……

[教师结合学生的回答，相机板贴：收集数据、计算（身高÷脚长）、分析数据。]

师对，收集数据、整理数据、分析数据是统计的基本方法，我们学过的统计知识都是围绕这一方法展开的，而统计可以帮助我们解决很多现实问题。那么，收集多少身高和脚长的数据合适呢？一个人的身高和脚长行吗？

生太少了，越多越好。

师是的。数据越多，越能看出有没有规律，得到的结论也越符合实际的情况。但是，世界上有那么多人，有那么多的身高和脚长数据，我们能把这些数据都收集到吗？

生太难了！

生办不到。

师是的，办不到，但其实，也不需要。根据一些客观规律，可以随机抽取一部分数据，用来代表所有的数据。这就是统计中的抽样方法，同学们到中学会进一步学习，这里不细说。回到我们的问题，今天我们大家坐在一起学习，怎么利用集体的力量获得尽可能多的数据呢？

生把我们每个人的身高和脚长数据汇总到一起。

师很好！除了我们自己的数据，还可以加上我们熟悉的人（比如家人）的数据哦。昨天，老师请同学们做了一份自己的家庭档案，其中有你需要的数据吗？

生有，有我爸爸、妈妈、爷爷、奶奶的身高和脚长数据。

师那我们就来汇总一下吧。全班直接汇总到老师这儿要用很多时间，那就各个小组先汇总到组长那儿吧。老师给每个小组发了一张表，请组长将组员和家人的身高和脚长数据填在表中，填完表的格子为止，并分别计算出它们的商。

（学生小组统计、计算。）

师（投影展示各个小组完成的表格）全班的数据都在这里，观察“商”这一栏，有什么感觉吗？

生商都很接近。

生有几个商与其他的差距大一点。

师这样的商多吗？

生很少。

师这是一个很重要的发现。由此，抛开测量误差以及各种导致个体差异的因素不谈，我们可以认为，身高和脚长确实存在一定的倍数关系。但是，这些商毕竟还是有一些差异的，那么，取什么数据来表示身高和脚长的倍数关系最合理呢？

生用平均数。

师没错，我们刚刚学习了平均数，平均数是一个重要的统计量，可以代表一组数的水平。不过，我们也知道，平均数代表一组数的水平也有一定的局限性，主要是一组数中，如果有一个（些）数特别大或特别小，那么平均数受其影响，就不能很好地代表一组数的水平。这时，可以怎么办？

生去掉最大值和最小值。

师很好！既然异常的值可能影响平均数的代表性，我们就把它们去掉。去掉最大值和最小值是一个好方法。这样，我们能不能算一算全班数据的平均数？

（学生迟疑。）

师有什么困难吗？

生有一百多个数据，算起来太麻烦了！

师有什么好办法吗？

生可以先算出各小组数据的平均数，再算出全班数据的平均数。

师同意吗？（稍停）这里有一个问题：怎么由各小组数据的平均数得到全班数据的平均数？

生对各小组数据的平均数再求平均数？

师为什么各小组数据平均数的平均数等于全班数据的平均数？

（学生迟疑。）

师这个问题有一点难度，和同学们今后会学到的加权平均数有关。老师来举一个例子，一组数是1、2，一组数是3、4、5，它们的平均数分别是多少？它们合在一起的平均数是多少？

生它们的平均数分别是1.5和4，它们合在一起的平均数是3。

师1.5和4的平均数是多少？等于3吗？

生2.75，不等于3。

（学生惊奇。）

师为什么会这样？（稍停）其实，是因为这两组数据的个数不等。只要各组数的个数相等，它们平均数的平均数就等于合在一起的平均数了。有兴趣的同学课后可以仔细想一想为什么。那么，我们可以用这个方法算全班数据的平均数吗？为什么？

生可以。因为每组的表格中都只有10个数据。

师那我们就来算一下吧。

（学生分组计算，汇总再算。）

師最终结果是多少？

生6.72。

师这说明身高大约是脚长的6.72倍。为什么是大约？

生因为我们用平均数代表了一组数，而一组数中的每个数其实都不一样，也就是说，具体到每个人，身高不一定是脚长的6.72倍，但差不多是脚长的6.72倍。

生还因为我们用一个班同学和家人的数据代表了所有人的数据，而其他人群的数据可能和我们班的不一样。

师同学们很厉害，已经知道平均数和抽样方法的意义和局限性了。其实，通过更多数据的分析，人们发现了身高与脚长有一定的倍数关系，这个倍数关系因为地区、种族、性别、年龄等因素，会有一些差别。而我们只是通过脚长推断大约的身高，为了方便计算，通常说身高大约是脚长的7倍。

这里，教师引导学生直面问题，展开自然、深入的思考和探究，先根据经验提出猜想，再联系实际制订验证方案，然后经历收集数据、整理数据、计算以及分析数据的验证过程，最终得出结论，经历课题研究的全过程。这一过程中，教师以学生为主体，充分尊重学生的想法，让学生相互交流，只在学生认识不够到位之处介入讲解;特别是，在制订验证方案、选择统计量及其计算方法、认识验证结果时，教师不断追问，引发学生的认知冲突，促进学生展开合情推理以及统计推断，完善想法，加深理解。

三、引导学生反思研究过程，发展元认知能力

“成长=经验+反思”，这是波斯纳的成长公式。评价具有促进反思、激励与改进教学的功能。学生经历了数学小课题研究的完整过程后，教师可以通过评价，引导学生反思研究过程，以感悟研究方法，发展元认知能力（学习迁移能力），并找到不足之处，明确改进的方向。

【片段3】

师回顾一下刚刚的研究，看看我们做得怎么样，有哪些经验与教训值得总结。首先，我们经历了哪些过程？

生我们经历了猜想，收集数据，整理数据，计算、分析数据和得出结论的过程。

生我们经历了猜想、验证和得出结论的过程。

师没错，收集数据、整理数据、计算和分析数据就是验证猜想的过程。如果换一个课题，可能验证的方法会不同，但依然要经历猜想、验证、得出结论的过程。（稍停）那么，在今天的研究过程中，我们用到了哪些数学知识和方法呢？

生统计的方法，平均数的知识。

师你觉得自己本节课的表现如何？（出示自我评价卡，如图1所示）根据自己的表现完成自我评价卡。

师我来采访几位同学，每一项给自己打了几颗星，有什么需要改进的地方。

生第一项5颗星，第二项3颗星，第三项4颗星;我觉得我需要改进的地方是在小组合作方面不够积极。

生第一项5颗星，第二项4颗星，第三项3颗星;我觉得我需要改进的地方是不知道怎么反思。

……

师同学们的自我评价基本上比较客观，既看到了优点，也看到了不足，很了不起！只要改进自己的不足，就能成为更好的自己，加油！

师最后，老师想请一些同学谈谈上完这节课的收获以及感受。

生我知道了身高和脚长之间的关系，我也能根据脚印判断身高了。

生小课题研究很有意思，我还想研究脚长和年龄有什么关系。

生只要用心去观察，用数学的眼光去发现，用数学的方法去研究，就可能得出一些有趣的结论，帮助我们解决难题。

生原来我们身边处处都有数学，学好数学真的很有用！

……

这里，教师引导学生带着评价的目的反思研究过程，体会研究思路与方法，然后利用评价的工具评价研究过程，找到自己的不足之处，最后进一步提升认识，感悟数学的价值。这样的做法，有助于学生提升活动经验，实现从知识、经验向能力、素养的转化。