也谈数学逻辑思维的培养

孙闽

摘要：数学逻辑思维注重的、体现的是数学内容之间的关系和数学思维展开的过程，并不一味地强调演绎具有的严谨性，而是兼顾归纳、类比带来的灵活性，为的是更好地“思考现实世界”。培养学生数学逻辑思维的基本思路有：“讲道理”，即引导学生思考数学结论背后的原因;“建联系”，即帮助学生梳理数学内容之间的关系，包括数学知识、题目条件、解题方法以及数学题目之间的关系。

关键词：逻辑思维;逻辑推理;数学教学;道理;联系

一、对数学逻辑思维的认识

数学是思维的科学。数学思维中最重要的是逻辑思维——甚至可以说，数学思维在本质上就是逻辑思维或者说逻辑推理。因此，逻辑思维（推理）是数学教学要培养的最重要的学生核心素养之一。

一般来说，逻辑思维（推理）是指“从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论”。以传统的观点看，数学逻辑思维主要是基于形式逻辑规则或方法（如命题的形式及其关系、三段论、分析与综合）的演绎思维。但以现代的观点看，数学逻辑思维不仅包括演绎思维，而且包括归纳思维、类比思维等。无论演绎还是归纳、类比，都是有逻辑的推理，即具有传递性的推理。

可见，数学逻辑思维注重的、体现的是数学内容之间的关系和数学思维展开（联系）的过程（脉络），并不一味地强调演绎具有的严谨性，而是兼顾归纳、类比带来的灵活性，为的是更好地“思考现实世界”。由此，便可理解《义务教育数学课程标准（2022年版）》为什么没有明确地给出逻辑思维（推理）的概念，而是在多处提出“建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系”“构建数学的逻辑体系”“体现数学知识之间的内在逻辑关系”和“关注数学内容之间的逻辑联系”，以及“合乎逻辑地推出结论”“合乎逻辑地解释或论证数学的基本方法与结论”“形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质（习惯）”等要求。

二、培养数学逻辑思维的基本思路

（一）“讲道理”：引导学生思考数学结论背后的原因

数学逻辑思维需要在合乎逻辑的思考过程中培养。合乎逻辑的思考通常针对的是结论（现象）背后的原因。因此，教师需要创设有悬念（蕴含认知冲突）的问题情境，激发学生主动思考“为什么”，逐步形成重论据、讲道理的思维品质。

例如，教学“3的倍数的特征”时，我请学生在黑板上随机写下一组数（如9、13、19、36、117），然后告诉学生：“我可以瞬间知道某个数能否被3整除。”学生不相信这个说法，表示：“哪怕用计算器算，也达不到瞬间知道的效果吧。”对此，我立即在每个数字的下方写下“能”或“不能”，随后要求学生现场计算验证。经过计算，学生惊讶地发现我没有说谎。此时，学生纷纷好奇地询问我是如何做到的。我没有直接给出答案，而是继续设计悬念：能被3整除的数有什么特征，可以使它不用经过计算或复杂计算，就能被识别出来吗？学生纷纷展开自主探究。巡视中，笔者发现这个问题对学生而言有一定的难度，于是提示他们把1—100各数按10行10列写下来，并圈出其中3的倍数，再斜着看寻找共性。大约过了5分钟，一名学生突然用惊讶的语气说：“我发现个位与十位上数字的和可以被3整除时，这个数也可以被3整除，如24和36。”“那么，这个猜想准确吗？如果是三位数、四位数或更多位数呢？”我追问。学生扩大范围，继续寻找3的倍数验证猜想，最终发现：“将不同数位上的数字相加，如果结果能够被3整除，那么这个数便可以被3整除。”

这里，在有悬念的问题情境的驱动下（当然，还有教师有针对性的提示），学生主动思考为什么教师可以快速判断一个数能否被3整除，最终通过具体案例发现一般规律，理解了背后的道理，从中培养了归纳思维。当然，针对部分能力较强的学生，还可以引导他们进一步思考为什么3的倍数具有这样的特征，从而带有一般性地说明背后的数学原理，从中培养演绎思维。

（二）“找联系”：帮助学生梳理数学内容之间的关系

数学是一个有关联、结构化的整体。数学逻辑思维體现的是数学内容之间的关系。为了发展学生的数学逻辑思维，教师需要多维度地帮助学生梳理关系，建立联系。

第一，数学基础知识之间的关系（知识结构）不仅要通过数学逻辑思维来梳理，而且是进一步展开数学逻辑思维的基础。因此，知识（概念、命题）教学不能过于碎片化，不能过分针对知识点强调“节节清、堂堂清”，而要重视帮助学生梳理数学知识之间的关系。

例如，教完小学数学中的三种统计图（条形统计图、折线统计图、扇形统计图）后，可以结合案例，设计问题，引导学生比较辨析它们各自的特征、优缺点、适用范围、注意事项，得到结论：条形统计图中，各项数据的大小清晰可见;折线统计图中，各项数据的变化直观显示;扇形统计图中，各项数据在总体数据中的占比一目了然……由此便可帮助学生梳理出三种统计图之间的关系，并以思维导图的形式呈现。

第二，数学题目条件（包括求解对象或求证结论）之间的关系也需要通过数学逻辑思维来梳理，而且是进一步解题的基础。因此，解题教学首先要帮助学生梳理有关条件之间的关系。

例1已知某服装厂原来做一件裙子需要使用3.2米布匹，后来改进了制作的方法，目前每件裙子只需要使用2.8米布匹。那么，原来做791件裙子所使用的布匹现在可以做多少件裙子？

解决此题的关键是利用逻辑思维理清“原来做一件裙子需要使用3.2米布匹”“目前每件裙子需要使用2.8米布匹”“原来做791件裙子所使用的布匹”“现在可以做多少件裙子”等条件和问题之间的关系。显然，第一个条件和第三个条件有关，由此可以得到原来做791件裙子所使用的布匹米数为791×3.2;而这一结论又和第二个条件以及最后的问题有关，由此可以得到现在可以做的裙子件数为791×3.2÷2.8。

第三，同一道题目常常可以用不同的方法解决，利用数学逻辑思维梳理不同方法之间的关系，可以提升学生对知识运用、方法关联和问题本质的认识。因此，解题教学也要帮助学生梳理解题方法之间的关系。

例如，在利用上述算术方法解决例1后，可以引导学生思考其他解题方法，比如方程方法：791×3.2=2.8x。由此，便可引导学生比较辨析两种方法的异同，得到结论：它们都是基于题目条件中蕴含的数量关系来列式解题的，算术方法的每一步计算在方程方法的解方程过程中都有体现;算术方法以要求的量为中心，逐步考虑数量关系，必要时逆用数量关系;方程方法以数量关系为中心，整体考虑正向列式，把求未知数的过程放在解方程的机械操作中。

这里需要指出的是，例1比较简单，可能的解法也比较少，且在两种方法的比较中，算术方法的繁难和方程方法的简便还得不到充分的体现。因此，教师在教学中，可以逐渐提升题目难度，引导学生思考更多的方法，并在方法比较中感受方程方法的优越性。比如：

例2A地和B地的铁路长为357公里，快车从A地驶往B地，慢车从B地驶往A地。两车同时相向出发，3小时后相遇。已知快车每小时行驶79公里，则慢车每小时行驶多少公里？

例2的难度便稍微大了一些，用算术方法求解时，可以基于路程和，先求慢车的路程，再求其速度;也可以基于路程和，先求速度和，再求慢车的速度。用方程方法求解时，两种算术方法的差异便体现在解方程过程中分配律的使用上。

第四，数学内容之间的关系还体现在数学题目之间的关系上。因此，解题教学还要在变式探究（一题多变）的基础上，帮助学生梳理数学题目之间的关系。

例如，在利用多种方法解决例1、例2后，可以引导学生比较辨析它们本质（数学模型）上的异同，得到结论：它们都蕴含两个“单个量×个数=总量”的数量关系，但例1中两个数量关系中的总量相等，例2中两个数量关系中的总量和为定值。因此，例2可以看作例1的变式。