例谈数学专题复习课的设计与组织——以“一元二次方程的应用”复习课为例

唐 蕾， 王罗那， 唐笑敏

(湖州师范学院，浙江 湖州 313000)

有教师形象地将习题比作树叶，将知识和方法比作树根[1].树叶会有新生和凋落的更迭，但根深蒂固，关系着整棵树的生长.教学中会出现学生明明听懂了，但做题时却依旧无从下笔的现象，这是因为学生只看见了“叶”，没有抓住“根”，局限于具体问题中对教师解法的认同而未掌握解题方法，没有形成自己分析解决问题的思维结构.专题复习课以习题作为复习的主要载体，在教师的有效引导和帮助下，学生认知层次循序渐进，最终实现对知识体系和思想方法的感悟和内化.

1 问题提出

对大多数学生而言，复习课的内容是熟知的、方法是熟悉的、过程是熟练的.缺乏新意和针对性的组织和教学，必然会使学生产生审美疲劳和倦怠情绪，失去对课堂的兴趣.虽然复习课的效果一定程度上依赖于学生“熟能生巧”，但是机械重复的练习增加了学生的学习强度和教师的工作负担，却不能取得与之相匹配的收获.问题的原因并非习题本身，而在于习题呈现的形式.

传统复习课往往采用“知识罗列—例题讲解—练习巩固—课堂小结”的模式，看似有对学生的启发引导，实则是“教师讲、学生听，给题目、做题目”的被动式教学方法[2].专题复习课通过对知识、方法、能力或学生暴露出的同类型问题进行创造性分析与整合，改变学生单向学习、被动接受的学习状态，促进学生主动探究、主动参与.数学专题复习课并不是难题、易错题简单地堆砌搭建，更关注知识的整体性和系统性，注重学生综合能力的培养与提升，以方法为指导，着力提高学生知识内化的实效.

由于理念与实践的偏差，数学专题复习课往往存在“三多三少”的问题：教师讲得多，提炼得少；学生做得多，思考得少；现成资料多，自主设计少[3].因此即便教师采用思维导图等方式强行将知识以框架体系的形式呈现，用大量同类型的题目强化共通模型的建立，在学生的认知层面依然是零散、孤立的[4].数学专题复习课的有效实施关键在于激发学生主动探究的欲望，需要教师通过巧妙的教学设计与灵活的课堂组织，调动学生的学习情感.

那么如何营造沉浸式学习情境，激发学生学习的主动性？如何挖掘知识或问题背后的共性与联系，持续推动教学进程？如何进行难点教学前的引导与衔接，实现学生思维与能力的稳步提升？此外，在课堂教学过程中，学生对知识的理解和应用不尽相同，能力水平不在同一起跑线，如何克服学生能力上存在的差异和短板，应对学生课堂表现中的不可控因素？这些都是教师必须思考和应对的问题.笔者以“一元二次方程的应用”为例，教师精心设计复习题，精准实施课堂教学，为专题复习课教学提供一些建议.

2 案例呈现

“一元二次方程的应用”是一节典型的专题复习课.教师以掌握方程思想为核心目标，以枇杷产业相关问题为主线，通过枇杷的产量来研究增长率问题，通过枇杷的包装来研究面积问题，通过枇杷的销售来研究利润问题，并在原问题的基础上增加变式训练，逐步拓宽问题的广度和深度，让学生在解决问题中体会等量关系的内涵，积累活动经验，不断提升解决实际问题的能力.具体问题如下：

问题1(增长率问题)由于科学种植，枇杷的产量不断增长.2020年枇杷的亩产是1 000千克，2022年亩产达到了1 440千克.若每年的增长率相同，求枇杷的亩产年增长率.

变式1将“若每年的增长率相同，求枇杷的亩产年增长率”改为“2022年增长率是2021年的增长率的2倍，求2021年亩产增长率”.

问题2(面积问题)果农制作枇杷的包装盒.方法如下，先用一张长90厘米、宽80厘米的长方形纸板裁去角上4个小正方形后，折成无盖长方体纸盒.若底面积为600平方厘米，求这个纸盒的高.

变式2果农改用一张长为100厘米、宽60厘米的长方形硬纸板，在角上裁去2个小正方形和2个长方形，做成一个有盖的纸箱.若底面积为600平方厘米，求裁去的小正方形的边长.

问题3(利润问题)果农与超市合作，当售价为每箱70元时，平均每天可售出100箱，每箱的毛利润为24元，果农每个纸箱的成本为2元，每天还要支付摊位费300元.调查发现每降价1元，可多售10箱，要使每天利润达2 220元，售价应为多少？

变式3果农开展枇杷采摘互动，门票为120元/人.按原价售出，平均每天有160个顾客，这样会使得有枇杷囤积，因此果农准备降价推销.门票价格每降5元，可增加20人，但门票不能低于80元/人，判断果农的收入能达到25 600元吗？

教师通过对题目的改编与组织，在“讲练结合”的教学结构中注入了创新的灵魂.学生不是为了做题而做题，而是在运用他们的知识和经验，解决生活中的数学问题.在课堂教学中，学生表现积极，气氛活跃，上台板书、师生交流等多种教学情境频繁呈现，充分实现了有效教学.

3 案例分析及建议

3.1 以生活和教材为出发点，精心创设问题情境

学生所在地区以枇杷种植而闻名，教师带领学生“走进”枇杷园，一起解决枇杷种植、生产、销售过程中所遇到的问题.这不仅打破了单调紧张的课堂氛围，更将学以致用的理念传递给学生，让学生在课堂教学中逐步学会“用数学的眼光看世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”.在浙教版《数学》八年级下册教材中，一元二次方程的应用包含增长率问题、面积问题和利润问题.因此在专题复习课上，教师紧紧围绕这3类问题，通过枇杷生产、包装和销售的产业链，将问题自然而然地串联起来.学生能够得心应手地发现并理解生活问题中的数学关系，为进一步深入研究做好充分准备.

教学开展的前提是让学生“跳一跳、够得着”.一方面需要结合教材和学生的生活经验，搭建合适的起跳平台，另一方面需要设置合理的问题，拓展发展的空间.专题复习课的初始也应该根据学生的知识与经验设置问题.教材作为课程的重要载体，是师生进行教学活动的依据，要使学生在复习课上能够“想得到”，就要以教材为源头，精心设计习题，确保习题形式与难度的科学性.同时，生活化的场景可以有效调动学生的学习积极性，在一定程度上避免学生产生非知识性的理解障碍.

3.2 以问题和变式为驱动力，着力提高解题能力

利用一元二次方程解决问题的一般步骤为：设未知数、列方程(找等量关系)、解方程和作答.复习课的重点是帮助学生领悟问题中的等量关系，将文字语言转化为数学语言.例如，在增长率问题中，先研究每年枇杷产量增长率相同的情况，再在此基础上进行变式，添加增长率的变化关系，使等量关系式也发生相应变化.解决这两个问题后，再进行比较，学生更容易理解等式中每一项的意义.同样，面积问题和利润问题中也蕴涵着“变”与“不变”的奥秘，通过问题和变式引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，从而对“列方程”这一步骤有更深刻的感悟.

问题和变式在教学过程中起到驱动作用，好的问题串能够有效推动课堂发展，最终实现教学目标.相比于学生的问题意识，教师的问题意识更为重要.教师应当发挥“引路人”的作用，引导学生剖析问题本质，打破思维局限，总结通性通法[5].具体而言，一是根据教学目标合理创设问题，要确保学生深入研究问题“不偏航”，从而避免学生思维“走弯路”“绕远路”；二是注重问题设计的难度梯度，要体现知识的迁移，在“求变”中发现“不变”，为学生搭建问题解决的阶梯，保证学生“跟得上”“不掉队”.

3.3 以拓展和延伸为突破口，实现学生思维突破

对能力较强的学生，通过新授课的学习足以熟练掌握相关知识，能够自行构建知识网络.因此，在复习课上他们会达到一种能解决任何问题的平衡状态，会感觉意犹未尽，还有余力解决更深层次的问题.专题复习课的目的不仅是深化和巩固必修内容，更在于进一步提升学生的学习能力和数学素养.这需要教师的教学设计能够使学生产生已知和未知之间的“压力差”，适当拓展和延伸就是帮助学生打破这种平衡状态的突破口.

本节课中面积问题研究的是如何裁剪长方形纸板、制作枇杷的包装纸盒(箱).首先，在规定裁剪方式(裁去长方形纸板4个角上的小正方形，如图1)的情况下，求纸盒的高(纸板大小与纸盒底面积已知).变式问题不限制具体裁剪方法(在纸板4个角上裁去两个小正方形和两个长方形即可，如图2)，设计出满足条件(纸板大小与纸箱底面积已知)的有盖纸箱.此变式未脱离有关纸板面积的等量关系，并能激发学生的创造力和动手能力，还可以强化学生分类讨论的思想.但是课堂反馈并不理想，长方体展开图种类繁多，假定不同的底面会列出不同的等式，学生毫无头绪也在情理之中.教师在这里只是将题目难度进行延伸，而缺少相应知识的拓展.因此，在解决这个变式问题前，教师应加入有关长方体展开图原理的介绍，根据题目条件与学生共同讨论，确定出可能的情况(裁剪两个长方形和两个正方形的位置)，再让学生独立完成.设计难题并不是为了让学生望而却步，而是能够让他们真正从中有所获.

图1 图2

3.4 以互动和交流为主基调，营造良好的课堂氛围

在课堂教学中，教师常常会请学生解题板演或阐述解题思路.这是及时有效检验学生掌握知识的有效方式，同时学生也会在展示中暴露一些问题，有利于教师及时纠正学生的错误.但是，教师通常遵循自愿的原则选择学生，这导致在大多数情况下，都是准备充分或能力较强的学生有机会得到展示，而真正在讲解中有困难的学生却没有机会也不愿意将自己的问题表现出来.

在本节课中，容易出现将学生回答代替教师讲解的现象.如果学生的板演或回答是正确的，就自然而然进入下一个环节.虽然学生的回答是正确的，但表述的逻辑性和规范性还不能达到教师的水平，并且思维过程和方式存在一定的约束性和主观判断.教师明白学生的意思，而能力较弱的学生还云里雾里，无法跟上节奏，知其然而不知所以然，听了一节课，依旧没听懂，在独立解题时仍然不会做.

复习课的最佳效果就是让不同层次的学生都能有所收获，要考虑到学生的差异性，让不同能力层次的学生都能在课堂上获得话语权.一方面教师要重视自身的课堂表达，反复斟酌讲解思路和表达方式，对每一道具有代表性的题目需及时总结；另一方面教师要营造平等交流的课堂氛围，鼓励、引导学生勇于表达自我、敢于暴露自身问题.

3.5 以创造和生成为生长点，提升数学的教学价值

学生提出超出课堂预设的问题或想法时，应该怎么办？这是许多教师都会面临的两难抉择.深入探讨，可能会打乱教学节奏，面临无法完成教学任务的困境；简单敷衍，必然会挫伤学生的积极性，错失发展学生创造性思维的机会.在本节课利润问题的变式创新中，果农开展枇杷采摘互动，门票为120元/人，平均每天有160个顾客；门票价格每降5元，可增加20人，但门票不能低于80元/人，判断果农的收入能否达到25 600元.在完成此题目后，有学生提出，应不应该考虑果园有没有足够的枇杷供游客采摘的问题.教师稍加思考，表扬了该学生考虑全面，在完成解答后能够及时反思结果是否符合实情，这是做应用题的良好习惯，并引导学生思考“门票不低于80元/人的限定条件是否也代表了果园最大容纳游客的人数”，该学生恍然大悟.

复习课本身就是一个再创造的过程，对学生“奇思妙想”的尊重与肯定也为学生思维的“生长”提供了一片沃土.教师要留给学生发挥的空间，并且充分利用学生的生成资源进行再设计、再创造和再利用，这不仅能够培养学生的数学素养，激发学生的学习效能，发展学生的心理品质，更是对教学的促进和升华，实现教学相长.

复习课以“知新”为目的，以解题作为承载学生思维发展的手段.教师在进行教学设计和课堂组织时，要利用层层推进的问题，帮助学生掌握知识层面和思想层面的精髓.同时，也要关注不同层次学生的需求，发挥课堂教学本身对所有学生的教育教学价值.

即便有大量理论指导，在实际教学过程中，教师和学生依旧会面临各种问题和突发状况.在专题复习课上，教师的讲解引导和学生的主动探究需要一个相互磨合的过程.只有教师秉着以学生发展为本的教育理念，调动自身教学的创造性，才能激发学生探索的热情，逐步构建“高效型”专题复习课堂.