强化整体观念 重视探究活动——“八省八校”联考平面解析几何与立体几何试题的分析与启示

郑 良

(合肥市第四中学，安徽 合肥 230000)

2021年12月27日至28日，东北育才学校等8所重点高中举行了联合考试(简称“八省八校”联考或“T8”联考)，作为高考前的重要模拟演练，此次联考社会关注度较高.总体来说，试卷比较平稳，但也不乏一些亮点试题.本文以平面解析几何与立体几何试题为载体，结合学生的答题情况，谈谈笔者对试题的理解，并给出教学建议.

图1

1 试题分析

例1如图1，抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l与C相交于点A,B，l与y轴相交于点E.已知|AF|=7，|BF|=3，记△AEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，则

( )

A.S1=2S2B.2S1=3S2

C.S1=3S2D.3S1=4S2

(2021年“八省八校”联考数学试题第5题)

参考答案抛物线C的准线方程为x=-1，分别过点A,B作y轴的垂线，垂足为A1,B1,则

从而S1=3S2.故选C.

( )

C.若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为b2

(2021年“八省八校”联考数学试题第11题)

从而

故选项B正确.又

故选项C正确.

评注对于选项B，参考答案将点P的坐标代入双曲线的方程构造函数求值域是求研究对象取值范围的通性通法，然后在一般中发现特殊，从双曲线与渐近线的整体位置关系切入，具体问题具体分析，体现了思维的敏锐性与灵活性，也是对相关问题深入理解的表现.对于选项C，套用双曲线中焦点三角形的性质，推导过程略.探究的过程与结果同等重要，必备知识的理解与记忆是后续学习的基础，反思总结探寻问题的本质是深度学习的前提.在教学中，部分教师对椭圆和抛物线强调较多，而研究双曲线的方式更加灵活.本题颇具新意，能较好地甄别出教师教学的广度和学生学习的能力、思维的深度.

例3在平面直角坐标系中，若正方形的4条边所在的直线分别经过点A(1,0)，B(2,0)，C(4,0)，D(8,0),则这个正方形的面积可能为______或______(每条横线上只填写一个可能的结果).

(2021年“八省八校”联考数学试题第16题)

解对边距离(邻边)相等的矩形为正方形，不妨设正方形的边长为a，面积为S，其4条边所在的直线分别为l1,l2,l3,l4，它们分别经过点A,B,C,D，l1的方程为Ax+By-A=0(其中A2+B2≠0).

1)若l1∥l2，则l2:Ax+By-2A=0，l3:Bx-Ay-4B=0，l4:Bx-Ay-8B=0，从而

于是

2)若l1∥l3，则l3:Ax+By-4A=0，l2:Bx-Ay-2B=0，l4:Bx-Ay-8B=0，从而

于是

3)若l1∥l4，则l4:Ax+By-8A=0，l2:Bx-Ay-2B=0，l3:Bx-Ay-4B=0,从而

于是

评注邻边相等的矩形为正方形，解题的关键是挖掘围成正方形的4条直线需要满足的条件：两组分别平行的直线相互垂直，且平行线间的距离相等.这些条件如何表示？从平行直线系、垂直直线系及平行直线的距离公式入手，聚焦于代数运算.参考答案从直线的倾斜角入手，利用直角三角形中直角边与斜边长之间的关系，依赖于几何特征.在有些题目中，几何图形形式各异，求解方式不尽相同，需要分类讨论，但用解析法可将其整合为同一形式，过程简洁.尽管学生熟知直线系方程的形式和基本功能，但由于缺乏合理表征而无法实现学以致用.以l1为参照物，本题共有3种情况，求解方式相同，只要求写出两种可能的结果可以减少学生的“劳作”，但学生的分类标准是否明确？由于求解本题的运算量不大，建议将设问改为“则满足条件的正方形的面积可能为______(请写出所有可能的结果)”.

1)求椭圆E的方程.

(2021年“八省八校”联考数学试题第20题)

链接1已知D为⊙O:x2+y2=1上一动点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，联结BA并延长至点P，使|PA|=2.点P的轨迹记为曲线C.

1)求曲线C的方程；

2)略.

评注对于例4第1)小题，参考答案从整体角度根据点O为线段F1F2的中点得到椭圆的两个焦点F1,F2关于直线l的对称点M,N构成的线段为⊙C的直径，实现未知向已知转化.绝大多数学生先求直线l的方程，并将点M,N的坐标代入⊙C的方程，部分学生出现了计算错误.若按部就班求解，则可能会遭遇繁杂的计算，难以通达，如链接1的第1)小题，条件和结论不易构建联系，可根据“矩形DAOB的对角线”相等(|BA|=|OD|=1)实现化归与转化.第2)小题联立椭圆E的方程与直线l的方程并消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理要确保直线l与椭圆E相交，树立前提条件意识，考查学生思维的有序性与严谨性.本题突出轴对称的本质，能较好地甄别学生思维的深度与广度.试题中对椭圆E的性质的叙述比较零散，建议尽可能一次性表达到位，无须重复强调“点C为圆心”.

图2

例5如图2，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为平行四边形，E,F,G分别为棱AA1,CC1,C1D1的中点，则

( )

A.直线BC1与平面EFG平行，直线BD1与平面EFG相交

B.直线BC1与平面EFG相交，直线BD1与平面EFG平行

C.直线BC1，BD1都与平面EFG平行

D.直线BC1，BD1都与平面EFG相交

(2021年“八省八校”联考数学试题第7题)

解取AB,BC,D1A1的中点H,K,L，则平面EFG即为平面EHKFGL.故选A.

评注利用局部与整体的关系将平面EFG“还原”(补形)得到四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面EHKFGL，位置关系一目了然，结果水到渠成.参考答案结合求解目标具体问题具体分析.本题为选择题，可利用特殊与一般的逻辑关系，将四棱柱特殊化为正方体进行判定.命题时往往会对基本数学模型进行调整，如给出研究事物的局部使对象间的关系由外显变得内隐，又如对常规问题不断改造使问题由近及远，这就需要学生深刻理解模型，找准问题的切入点，对问题进行还原.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《新课标》)的教学与评价案例11为“正方体截面的探究”，截面问题是教材探究的重要内容，确定空间简单几何体的截面的依据是基本事实(公理)和直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直的判定与性质定理，学生出现错误表明他们没有深刻理解相关内容.

( )

A.四面体ABCD外接球的表面积为16π

D.异面直线AC与BD所成的角为45°

(2021年“八省八校”联考数学试题第12题)

图3

OA=OB=OC=OD=2.

四面体ABCD外接球的表面积为16π.故选项A正确.

故选项B错误.

由AC∥BG，得∠GBD为异面直线AC与BD所成的角(或补角)，从而∠GBD=45°.故选项D正确.

例7如图4，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=AB，E为BC的中点.

1)若∠PBA=60°，证明：AE⊥PD；

2)求直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围.

(2021年“八省八校”联考数学试题第19题)

图4 图5

1)略.

2)解设AB=a(其中a>0)，如图5，平面PAD即为平面PADR，取FQ(PD)的中点H，联结EH，AH，则直线AE与平面PAD所成角为∠EAH，于是

因为FQ∈(0,2a)，所以

评注对于第2)小题，由“ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD”得BC⊥平面PAB，由“PB=AB”可联想到圆.上述解答将四棱锥补成圆柱(或直三棱柱ABP-DCR)，几何关系清楚直观.在矩形ADRP中,

图3与图5大同小异，以退为进，从整体看局部，尽收眼底，一览无余，处理动态问题优势明显.综合法思维含量高，运算量较小.一般只能研究“距离”较近的对象之间的关系，当两个对象相距较远时需要经历传递的过程.若用坐标法，则只需将研究对象代数化即可直接构建联系.

2 教学建议

2.1 夯实“四基”“四能”，注重全局意识

于漪老师说：“现在的教师缺乏两样东西，一是独立思考，二是学科知识，本领不扎实，都是‘一课一练’培养出来的.我们的教师最缺少对自己所教学科知识的整体构架，这样他们对课堂就兜不转.”作为几何学分支的解析几何或立体几何，问题的解决都离不开平面几何的基础知识.现行教材将平面几何内容主要安排在义务教育阶段，高中学生对相关内容出现了遗忘，教师的理解与运用也不够系统.缺乏知识何谈能力，师生复习回顾、深化知识的理解首当其冲.《新课标》的课程目标指出：通过……课程的学习……获得……数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验…….知识线索是课程的外在表现形式，数学学科核心素养的内涵之一是“必备知识”，高考对能力的考查也将是以知识及其应用为载体.离开知识，一切无从谈起.因而高考复习教学的首要任务就是夯实知识基础，并突出知识之间的纵横联系，构建知识的立体网络[1].

由于试题考查了双曲线，部分教师认为试题“属于偏题怪题”，命题人“不按常规套路出题”…….笔者认为命题看似意料之外，实乃情理之中.因为试题对双曲线的要求没有超出《新课标》：了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单性质.平心而论，例2在应知应会的水平上进行考查，但学生还是出现了基础不牢等诸多问题，如弄不清“等轴双曲线”的概念，不会由已知双曲线方程求渐近线方程等.对于多选题，答案设置往往多层次、多角度，要求学生对问题的认识务必全面、精准，才能选出正确的答案.

模型是问题转化的目标，是问题解决的基础，通过比较要解决的问题与“原型”之间的差异，探寻解决问题的方式方法.俯瞰全局，可能会使各对象之间的关系更加清楚直观；聚焦局部，往往能突出目标，明察秋毫.学生学习时，囿于知识理解的零碎与肤浅，往往“只见树木，不见森林”.因此，解题时要根据具体情况，在前进与后退、整体与局部之间灵活转换.如例4从整体角度发现椭圆E的两个焦点关于直线l的对称点构成的线段为⊙C的直径，例5可还原出四棱柱的截面，例6与例7可通过补形构造圆柱，使问题的求解更简单.例6与例7形式(载体、设问方式、静态与动态等)不同，本质(视为矩形的旋转)相同.

2.2 重视探究活动，引领思维发展

数学的本质是思维.数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.教育部考试中心研制的《中国高考评价体系》强调：“高考命题，应有一定数量的探究性问题，适度增加试题的思维量，考查思维方法.”徐利治先生认为，数学探索性思维是左右脑并用的，是兼顾直观与抽象、直觉与逻辑、归纳与演绎、类比与联想等思维方式的[2].左右脑并用的数学探索性思维，往往集中表现在猜想与证明的有机统一.在解题教学中，教师不能就题论题，而要引导学生类比发散、归纳推广，猜想更多的结论，并尝试给出证明，从而既调动学生的积极性，又培养学生思维的灵活性、批判性[2].如以例2为契机，重温探究椭圆、双曲线中焦点三角形性质的过程；又如以例5为契机，开展空间简单几何体截面的专题探究活动；再如以例4为切入点，探究圆锥曲线中的定点、定值、定曲线等问题.

解析几何是用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支.解题过程的过度套路化可能将学生的学习演变为体力劳作，缺乏思维的深度参与，导致把解析几何异化为计算的学科，导致学生学习的“对而无趣”.问题解决后不能浅尝辄止，还要揭示问题的背景，发现问题的特征并根据特性寻找更巧妙的方法；还要从不同的问题中，探寻各问题的共性，探究一般性的结论.立体几何问题亦是如此.在教与学过程中，师生要善于独立思考和思维展示，做好学生思维的示范与引领，同时让学生说出自己的思维过程，教师辅助学生做好思维的顺应与转化，让学生在真实的探究活动中积累经验，提升思维能力.

2.3 落实精讲精练，促进多变善思

当前高三复习课往往存在着大容量、快节奏、简单重复的现象，导致学生没有足够的时间和空间去深入思考，机械地劳作无疑会扼杀学生的创造力，消退学生学习的兴趣.很多时候学生想到一个可用的知识或方法就展开计算，而不去深入分析题目的结构特征，思索解题的路径选择，这往往导致解题烦琐或做不下去.从关注比较机械的计算到关注比较灵活的思考，是探索性思维的重要特征之一.

如例1，体现了“多考一点想，少考一点算”的数学命题指导思想.又如例3，如何表示过某一点(x0,y0)的直线的方向？可从角度考虑用直线的倾斜角；也可从代数的角度，若用一个量(如斜率)表示则需要分类讨论，若用两个量(该直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0)表示则无须分类讨论.

通过典型问题的教学，让学生掌握解决一类问题的基本“套路”.通过一题多解，拓展学生的视野，激活学生的思维；通过多题一解，让学生在不同问题中发现它们的共性，进而透过现象看到问题的本质；通过一题多变，让学生经历问题演变发展的过程，感悟常见变化的模式，体会运动变化中的不变性.归结解题的通性通法，揭示出问题的本质.一切活动都要在学生认知的基础上设计，在循序渐进中实施.以线段长等量代换为例，发生的主要过程是线段的平移与旋转.平移往往表现为共线的长度相等的线段或不共线的长度相等的线段(平行四边形的对边)；旋转表现为等腰三角形的两腰与圆的各条半径；平移与旋转常常表现为矩形的两条对角线等，如例4的链接1与例7.