负刚度非线性黏滞阻尼器对斜拉索振动控制研究

程志鹏，汪志昊，郜 辉，岳方方

（1.华北水利水电大学土木与交通学院，河南郑州 450045；2.桥梁结构安全技术国家工程实验室，北京 100088）

引言

附加被动线性黏滞阻尼器（LVD）作为一种最常用的斜拉索减振措施，经过国内外学者的广泛研究，已形成了较为完善的成套理论与技术体系。Pacheco 等［1］采用Galerkin 方法获得了斜拉索张紧弦模型的LVD 减振通用设计曲线；Krenk［2］进一步给出了LVD 的通用设计曲线近似解析表达式；段元锋等［3］考虑了斜拉索垂度、抗弯刚度及阻尼器支撑刚度、内刚度等影响，建立了LVD 拉索减振的工程实用设计方法。但LVD 仅能实现斜拉索单模态最优控制，且减振效果受到安装高度的制约，为斜拉索提供的附加模态阻尼比有限，尤其是非目标优化模态。

随着斜拉桥跨度的逐渐增大，作为其主要承重构件的斜拉索长细比进一步增大，极易在外界环境激励下产生各种过量振动［4-6］，且超长斜拉索风致振动通常表现为多模态振动特征［7-8］。因此，有效的斜拉索多模态减振技术对保障大跨度斜拉桥安全运营至关重要［9］。研究表明［10-13］：与LVD 相比，非线性黏滞阻尼器（NVD）对斜拉索多模态减振优势明显。另一方面，基于MR 阻尼器的半主动控制技术以其优良的智能控制特性，逐渐发展成为提升斜拉索减振效果的重要手段［14-15］，且已成功应用于洞庭湖大桥［16］和滨州黄河大桥［17］等实际工程。研究表明：MR 阻尼器半主动控制效果提升主要归功于其负刚度特性实现了阻尼器耗能增效。

受半主动控制负刚度特性实现斜拉索减振增效的启发，基于负刚度控制原理的被动负刚度阻尼器对斜拉索振动控制研究得到发展。Zhou 等［18］基于预压弹簧式被动负刚度黏滞阻尼器开展了斜拉索减振理论和试验研究；Shi 等［19］基于磁致式被动负刚度阻尼器开展了斜拉索减振试验研究。研究表明［20］：并联负刚度单元的黏滞阻尼器可显著提升斜拉索减振效果，且可在一定程度上改善传统被动阻尼器因安装位置过低而引起的嵌固效应，主要不足在于当负刚度过大时可能会诱发减振系统的稳定性问题。此外，基于惯质阻尼器的斜拉索减振研究表明［21-23］：并联惯质单元的黏滞阻尼器呈现频率相关性负刚度特征，也可有效提升斜拉索减振效果。

为进一步实现斜拉索减振增效，本文融合被动负刚度控制技术和非线性黏滞阻尼特征开展了负刚度非线性黏滞阻尼器（NSNVD）对斜拉索的振动控制研究，理论研究与仿真分析了NSNVD 对斜拉索的单模态和多模态减振效果，参数分析了NSNVD负刚度系数和黏滞阻尼速度指数对斜拉索单模态和多模态减振效果的影响规律，并对比分析了NSNVD 与LVD，NVD 以及负刚度线性黏滞阻尼器（NSLVD）对斜拉索的减振效果。

1 斜拉索-NSNVD 系统复模态分析

1.1 NSNVD 线性等效力学模型

由负刚度单元和非线性黏滞阻尼单元并联而成的NSNVD 如图1所示，其作用于斜拉索的横向力可表示为：

图1 NSNVD 力学模型Fig.1 Mechanical model of NSNVD

式中u(xd，t)和分别表示斜拉索xd位置处、t时刻的位移和速度；kd，cd和α分别表示NSNVD 的负刚度系数、黏滞阻尼系数和黏滞阻尼指数；sign（·）表示符号函数。

值得说明的是，当α=1.0 时，NSNVD 退化为负刚度线性黏滞阻尼器（NSLVD）；当k=0 时，NSNVD 退化为非线性黏滞阻尼器（NVD）；当α=1.0 且k=0 时，NSNVD 退化为线性黏滞阻尼器（LVD）。

采用能量等效线性化方法［11］，式（1）可进一步表示为：

式中ceq表示NSNVD 的等效线性阻尼系数，其计算式为［11］：

NSNVD 在振幅和频率分别为Ud和ω的位移ud=Udeiωt激励下的出力幅值可表示为：

式中 系数函数g（α）的表达式为［11］：

式中 Γ（·）表示伽马函数。

由式（2）和（4）可知，NSNVD 的等效阻尼系数可由下式计算：

1.2 系统特征方程

斜拉索-NSNVD 系统分析模型如图2所示。l，T与m分别表示斜拉索的长度、索力与单位长度质量，x和x′分别表示从斜拉索左端和右端开始并分别指向另一端的坐标轴，xd表示阻尼器安装位置距斜拉索左侧锚固端的距离，x′d=l-xd表示阻尼器安装位置距斜拉索右侧锚固端的距离。忽略斜拉索垂度、抗弯刚度的影响，斜拉索-NSNVD 系统的自由振动微分方程可表示为［11］：

图2 斜拉索-NSNVD 系统分析模型Fig.2 Analysis model of the cable-NSNVD system

式中u（x，t）表示斜拉索x位置处、t时刻的横向位移；Fd（t）表示NSNVD 作用于斜拉索的横向力；δ（·）表示Dirac-Delta 函数。

方程（7）应满足斜拉索边界条件：

且斜拉索在阻尼器安装位置处满足力的平衡条件［11］：

设斜拉索自由振动时的横向位移和NSNVD 作用于斜拉索的横向力可分别表示为：

式中U（x）和分别表示斜拉索的振型坐标和阻尼器作用于斜拉索的横向力幅值；ω为斜拉索-阻尼器系统的复特征频率。

将式（10）代入方程（7）得：

方程（11）的解可表示为：

将式（4）和（12）代入式（9），斜拉索-NSNVD 系统的特征方程可表示为：

式（13）特征方程的复波数解记为βn（n为模态阶次，即n=1，2，…），与之对应的复特征频率记为ωn，斜拉索的附加模态阻尼比ζn与复特征频率ωn之间的关系为［11］：

由式（14）可知，斜拉索附加模态阻尼比可由下式计算：

1.3 斜拉索附加模态阻尼比的近似解

假定NSNVD 的安装位置远小于斜拉索长度，且NSNVD 仅会引起斜拉索自振频率的微小摄动［11］，即：

根据上述假定，可以得到下列近似式：

将式（17）代入式（13）可得：

联立式（15）和式（18），斜拉索第n阶附加模态阻尼比的近似解可表示为：

综合式（6）和（20）可知，斜拉索附加模态阻尼比不仅与NSNVD 的负刚度系数与黏滞阻尼系数密切相关，还体现出明显的位移相关性特征。

1.4 斜拉索附加模态阻尼比的迭代解

方程（13）可采用固定点迭代法进行求解，迭代方程可由下式表示：

其中，

式中j表示迭代次数，且j=1，2，…。

迭代初值取无阻尼波数β0n，将迭代方程求解得到的复波数βn值代入式（15），即可获得斜拉索第n阶附加模态阻尼比的迭代解。

2 NSNVD 对斜拉索减振数值仿真分析方法

2.1 系统状态空间方程

根据图2所示的斜拉索-NSNVD 系统分析模型，系统运动微分方程可表示为［9］：

式中 斜拉索的抗弯刚度、垂度参数和单位长度阻尼分别记为EI，λ2和c；f（x，t）表示施加于斜拉索的分布荷载。

斜拉索两端的边界条件：

采用有限差分法，选取N个内节点将斜拉索均匀划分为N+1 个单元，斜拉索-NSNVD 系统的振动微分方程的矩阵形式可表示为：

式中M，C和K分别表示斜拉索-NSNVD 系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；u和f分别表示斜拉索的位移向量和外荷载向量；γ表示阻尼器作用位置向量。根据文献［24］，上述矩阵或向量可分别表示为：

式中a=l/（N+1）表示斜拉索单元长度；IN为N阶单位矩阵；BN×N中每个元素都等于1；ε=EIT-1l-2表示斜拉索的抗弯刚度参数：

其中，

式中ui和fi分别表示斜拉索第i个节点的位移和外荷载；γi由NSNVD 的安装位置决定，若NSNVD 安装在斜拉索第φ个节点：

式（25）状态空间方程形式可表示为：

其中，

其中，

2.2 数值仿真方法

以表1 某实桥斜拉索为例，开展NSNVD 对斜拉索减振效果的数值仿真分析。斜拉索被离散为200 个相同单元，NSNVD 安装在距离斜拉索下锚固端的2% 斜拉索长度位置。仿真分析基于MATLAB/Simulink 工具箱，采用变步长的四阶龙格-库塔算法进行数值仿真计算。仿真计算时首先进行斜拉索目标模态的稳态激励，然后去除外激励，使斜拉索做自由衰减振动。斜拉索激励荷载取为［12］：

表1 某斜拉索参数Tab.1 Parameters of a stay cable

式中n表示斜拉索-阻尼器系统的模态阶次；ωn表示斜拉索-阻尼器系统的第n阶模态振动圆频率；ti表示激励持续时间；H（ti-t）表示单位阶跃函数。

鉴于非线性阻尼器斜拉索减振系统的附加模态阻尼比与斜拉索振幅相关，特定义如下：

式中 自由衰减初始周期位移振幅峰值An=0.08 m，终止周期位移振幅峰值An+τ=0.02 m。

3 斜拉索单模态减振效果

3.1 附加模态阻尼比近似解、迭代解和仿真解对比

为了便于对比分析NSNVD 提供的斜拉索各阶最大附加模态阻尼比及对应的阻尼器最优参数，引入下列无量纲参数：

式中表示NSNVD 无量纲负刚度系数，表示斜拉索第n阶模态NSNVD 无量纲阻尼系数。

由于斜拉索-NSNVD 系统复模态分析求得的斜拉索附加模态阻尼比的近似解和迭代解与阻尼器安装位置处的斜拉索振幅密切相关，为便于对比分析斜拉索附加模态阻尼比的近似解、迭代解和仿真解，统一取仿真解识别对应的斜拉索自由衰减区段初始周期和终止周期的位移振幅峰值的平均值作为计算近似解和迭代解时的阻尼器安装位置处的斜拉索振幅。图3 和4 分别对比了斜拉索前2 阶附加模态阻尼比随NSNVD（α=0.5）阻尼系数的变化关系，可见：

图3 斜拉索第1 阶附加模态阻尼比随NSNVD（α=0.5）无量纲阻尼系数的变化关系Fig.3 Variations of the first supplemental modal damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of the NSNVD（α=0.5）

图4 斜拉索第2 阶附加模态阻尼比随NSNVD（α=0.5）无量纲阻尼系数的变化关系Fig.4 Variations of the second supplemental modal damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of NSNVD（α=0.5）

（2）若考虑斜拉索垂度和抗弯刚度的影响，NSNVD 为斜拉索前2 阶附加模态阻尼比显著降低。

鉴于阻尼器对斜拉索减振效果受斜拉索垂度和抗弯刚度的影响［25］，且考虑斜拉索垂度和抗弯刚度更符合实际，本文后续开展NSNVD 对斜拉索单模态减振效果参数分析和多模态减振效果优化研究均依据考虑斜拉索垂度和抗弯刚度时的仿真解。

3.2 NSNVD 参数分析

图5 和6 进一步对比分析了NSNVD 无量纲负刚度系数和黏滞阻尼指数对斜拉索前2 阶最大附加模态阻尼比和相应最优无量纲阻尼系数的影响规律。由图可知：

图5 NSNVD 无量纲负刚度系数和黏滞阻尼指数对斜拉索第1 阶最大附加模态阻尼比和对应最优无量纲阻尼系数的影响规律Fig.5 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the first maximum supplemental modal damping ratio of the cable and corresponding optimal dimensionless damping coefficient

（1）对应相同黏滞阻尼指数且NSNVD 无量纲负刚度系数小于1 时，斜拉索前2 阶最大附加模态阻尼比随NSNVD 无量纲负刚度系数的增大而提高，而斜拉索最大附加模态阻尼比对应的NSNVD 最优无量纲阻尼系数则随NSNVD 无量纲负刚度系数的增大而降低。

图6 NSNVD 无量纲负刚度系数和黏滞阻尼指数对斜拉索第2 阶最大附加模态阻尼比和对应最优无量纲阻尼系数的影响规律Fig.6 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the second maximum supplemental modal damping ratio of the cable and corresponding optimal dimensionless damping coefficient

（2）对应相同的无量纲负刚度系数，斜拉索前2阶最大附加模态阻尼比受NSNVD 黏滞阻尼指数的变化影响较小，但斜拉索前2 阶最大附加模态阻尼比对应的NSNVD 最优无量纲阻尼系数随NSNVD黏滞阻尼指数的减小而显著下降。

4 斜拉索多模态减振效果

4.1 多模态优化方法

图7 给出了斜拉索前4 阶附加模态阻尼比随NSNVD（α=0.5）无量纲阻尼系数的变化关系。由图可知：斜拉索各阶模态对应的NSNVD 最优无量纲阻尼系数随无量纲负刚度系数的增大而降低，且斜拉索第1 阶模态由于垂度降低效应其最大附加模态阻尼比要明显小于高阶模态。此外，结合图5 和6可知，与NSLVD 相比，NSNVD（α=0.5）大幅度降低了斜拉索各阶模态的最优无量纲阻尼系数，且显著缩小了各阶模态最优无量纲阻尼系数之间的差异。

图7 斜拉索前4 阶附加模态阻尼比随NSNVD（α=0.5）无量纲阻尼系数的变化关系Fig.7 Variations of the first four supplemental model damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of the NSNVD（α=0.5）

为精准评估NSNVD 对斜拉索的多模态减振效果，本文采用文献［25］提出的基于斜拉索各阶模态阻尼比均值和标准差的斜拉索多模态减振参数优化方法。即：当斜拉索各阶附加模态阻尼比的均值和标准差的差值最大时，斜拉索多模态减振效果达到最优。斜拉索附加模态阻尼比的均值、标准差以及二者的差值最大值的计算式分别为：

式中n为考虑的斜拉索控制模态阶次。

图8 为考虑斜拉索前4 阶模态控制相应优化指标随NSNVD（α=0.5）无量纲阻尼系数的变化关系。由图可知：斜拉索前4 阶附加模态阻尼比的均值、标准差以及均值与标准差二者的差值均随NSNVD（α=0.5）无量纲阻尼系数的增大，先逐渐增大到最大值后再减小，即斜拉索前4 阶附加模态阻尼比的均值和标准差二者的差值存在最大值，此时斜拉索多模态减振效果达到最优。

图8 考虑斜拉索前4 阶模态控制相应优化指标随NSNVD（α=0.5）无量纲阻尼系数的变化关系Fig.8 Variations of the multi-mode damping ratio optimization index considering the first four supplemental modal damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of the NSNVD（α=0.5）

4.2 NSNVD 参数分析

图9 对比分析了NSNVD 无量纲负刚度系数和黏滞阻尼指数对斜拉索前4 阶附加模态阻尼比的均值与标准差二者的差值最大值的影响规律。由图可知：对应相同黏滞阻尼指数且NSNVD 无量纲负刚度系数小于1 时，斜拉索前4 阶附加模态阻尼比的均值与标准差二者的差值最大值随NSNVD 无量纲负刚度系数的增大而提高，即NSNVD 对斜拉索多模态减振效果随NSNVD 无量纲负刚度系数的增大而提升；对应相同无量纲负刚度系数，斜拉索前4 阶附加模态阻尼比的均值与标准差二者的差值最大值随NSNVD 黏滞阻尼指数的减小而提高，即NSNVD对斜拉索多模态减振效果随NSNVD 黏滞阻尼指数的减小而提升。

图9 NSNVD 无量纲负刚度系数和黏滞阻尼指数对斜拉索前4 阶附加模态阻尼比的均值与标准差二者的差值最大值的影响规律Fig.9 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the maximum difference between the mean and standard deviation of the first four supplemental modal damping ratios of the cable

图10 进一步对比分析了NSNVD 无量纲负刚度系数和黏滞阻尼指数对斜拉索前4 阶模态最优控制对应的NSNVD 无量纲最优阻尼系数的影响规律。由图可知：对应相同黏滞阻尼指数且NSNVD无量纲负刚度系数小于1 时，NSNVD 最优阻尼系数随NSNVD 无量纲负刚度系数的增大而降低，即NSNVD 实现斜拉索多模态减振效果（随NSNVD无量纲负刚度系数的增大而提升）的阻尼成本随NSNVD 无量纲负刚度系数的增大而降低；对应相同无量纲负刚度系数，NSNVD 最优无量纲阻尼系数随NSNVD 黏滞阻尼指数的减小而降低，即NSNVD 实现斜拉索多模态减振效果（随NSNVD 黏滞阻尼指数的减小而提升）的阻尼成本随NSNVD 黏滞阻尼指数的减小而降低。

图10 NSNVD 无量纲负刚度系数和黏滞阻尼指数对NSNVD 多模态最优无量纲阻尼系数的影响规律Fig.10 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the optimal dimensionless multi-modal damping coefficient of the NSNVD

图11（a）和（b）分别对比研究了斜拉索多模态优化后前4 阶附加模态阻尼比随NSNVD（α=0.8）无量纲负刚度系数与黏滞阻尼指数的变化关系。由图可知：斜拉索各阶附加模态阻尼比随NSNVD（α=0.8）无量纲负刚度系数的增大而提高；斜拉索第1 阶附加模态阻尼比随NSNVD黏滞阻尼系数的减小而有所下降，而其余各阶附加模态阻尼比均随黏滞阻尼系数的减小而提高。可见：NSNVD 的被动负刚度效应和非线性黏滞阻尼特征均有助于提升斜拉索多模态减振效果，且基于斜拉索各阶模态阻尼比的均值和标准差的多模态减振参数优化方法同样适用于斜拉索-NSNVD 系统。

图11 斜拉索多模态优化后的前4 阶附加模态阻尼比Fig.11 The first four supplemental modal damping ratio of the cable after multi-mode optimization

5 结论

（1）能量等效线性化方法对NSNVD 斜拉索减振系统基本适用，但当阻尼系数超过最优值时，相应结果存在一定偏差。

（2）被动负刚度效应有助于提升NSNVD 对斜拉索的单模态和多模态减振效果，且相应的NSNVD 最优阻尼系数随其负刚度系数的增大而降低。

（3）黏滞阻尼非线性特征有助于实现NSNVD对斜拉索的多模态减振增效，其可有效提高斜拉索各阶模态阻尼比的均值与标准差二者的差值最大值，且可显著降低相应NSNVD 的最优阻尼系数。

（4）基于斜拉索各阶模态阻尼比的均值和标准差的多模态减振参数优化方法同样适用于斜拉索-NSNVD 系统。

（5）当NSNVD 的负刚度系数和黏滞阻尼指数匹配合理时，可以实现斜拉索减振双重增效。