基于刚体模型的粉笔落地力学探究

王 悦，方碧绿，孙大鹏，张 鹏，董晓舟，陈世文，刘 宇

基于刚体模型的粉笔落地力学探究

王 悦，方碧绿，孙大鹏，张 鹏，董晓舟，陈世文，刘 宇

（铜陵学院 电气工程学院，安徽 铜陵 244000）

将粉笔抽象成刚体模型，对粉笔落地情况进行了受力分析，总结了落地断裂结果的力学规律，揭示了粉笔断裂结果的力学原因。

刚体模型；粉笔；受力分析

探究粉笔落地断裂的规律，对机械制造[1]、工程建设[2]、医疗设备[3]等工程实践都具有启示作用。Rod Cross[4]教授利用Casio Ex-F1高精度摄像机，对78 mm长、直径为11 mm的粉笔落地瞬间数据进行了采集，如图1所示。研究发现：当粉笔从30 cm高度下落时，粉笔先一头与地面发生碰撞，然后发生旋转，另一头以大约两倍落地速度旋转，并与地面发生碰撞后断裂为两段；当粉笔从40 cm高度下落时，先着地的一头速度足够大，所以直接断成2段，不发生旋转；当粉笔从45 cm高度下落时，先着地的一头速度很大，所以断裂处更加靠近与地面接触的一端，另一端将发生旋转，然后断成两段，最后一共断成3段；当粉笔从大于50 cm高度下落时，可能断成长度不等的3段或者4段。对于以上的实验结果的内在力学原因，Rod Cross教授并未说明，国内外也未见有相关报道。本文采用刚体模型进行分析，从力学角度揭示粉笔落地后断裂情形的力学规律。

图1 每秒1 200帧拍摄粉笔落地的不同结果

1 力学分析

设粉笔的质量为，长度为，粉笔落地高度为，粉笔落地与地面发生碰撞前的瞬间速度为1，与地面发生碰撞后，粉笔受到作用力而断裂，断裂瞬间末端的速度记为，粉笔碰前与地面的夹角记为，与地面的作用时间记为Δ，粉笔断裂瞬间把粉笔仍然当作一个整体分析。以第一种断裂结果为例进行力学分析，如图2所示。

图2 粉笔与地面发生碰撞的受力分析

当粉笔从高度落地，与地面发生碰撞前的瞬时速度为1，此过程为自由落体运动，可知

假设落地时，左端先着地，碰撞后左端速度为零，右端速度总速度为vʹ2，如图3所示。

碰撞后粉笔断裂，断裂瞬间可以认为粉笔还是以点为支点做整体转动，看成一个刚性杆绕过端点固定轴的转动来分析，如图3所示，由角动量定理可以得出

其中，

代入（3）式可得

(4)式化简可得

由(5)和(2)式可得

(6)式化简可得

从(7)分析可知，对于角度一样的情况速度随高度增大而增大；当高度一定时，角度在0°～90°范围变化时，角度越大速度越小，当=0°时

2 结果与讨论

图4 h=30 cm高度下落断裂分析

图5 h=40 cm高度下落断裂分析

图6 h=45 cm高度下落断裂分析

图7 h>50 cmcm高度下落断裂分析

当高度>50 cm之后1>3 m·s-1，开始阶段和=45 cm的高度一样，左右两段先后与地面发生碰撞，断成3段。但由于高度增大了，粉笔落地时速度也增大，这样右半截粉笔可能在发生断裂后，仍然具有比临界速度大的速度，所以中间小段还会与地面发生第三次碰撞产生断裂，最终出现断成4段的结果（如图7所示）。

当然，如果剩下的小段粉笔仍然具有比临界速度大的速度，它就会与地面发生第四次碰撞。但由于每次与地面发生碰撞都会有能量损失，且断裂后的粉笔越来越短，不能视为刚性杆，此时，要更多考虑构成粉笔材料的物质内部产生的剪切力。所以，粉笔从一定高度从静止水平释放，一般最多能看到断裂为4段。

3 结语

将粉笔视为刚体模型，对粉笔落地的力学过程进行了分析，得到不同情形的断裂规律。工程实践中，可以利用上述规律对物体进行加固：如对于圆柱形物体可以在中点、三分之一点、四分之一点进行加固，这样可以起到延长材料寿命和节省材料的效果；对于物体安放如果需要加强承受力，则应该尽量避免让工件承受垂直轴线方向的压力[5]；在医疗方面，石膏定型过程要考虑对关键位置进行加固，拆卸时可以先进行关键位置刻痕，这样既省力，又可以得到截面光滑的断面，避免碎片飞溅。

[1] 李红娟,冶存良.机器设计中机构的位置误差与位置度公差分析[J].科技风,2018,31(9):72-73.

[2] 张艳军,陈岩武,等.钻孔爆破炮孔堵塞长度分析[J].爆破,2021,38(3):45-49.

[3] 雷东辉.四种超硬石膏模型物理机械性能的比较[D].青岛:青岛大学,2011:28-30.

[4] Rod Cross. Why chalk breaks into three pieces when dropped[J]. The Physics Teacher, 2015, 53(1): 13-14.

[5] 龙虎.数控车工大赛工件加工难点的工艺改进分析[J].机械管理开发,2019,34(1):57-58.

Research on Chalk Landing Mechanics Based on Rigid Body Model

WANG Yue, FANG Bi-lv, SUN Da-peng, ZHANG Peng, DONG Xiao-zhou, CHEN Shi-wen, LIU Yu

(School of Electrical Engineering, Tongling University, Tongling 244000, China)

Based on the rigid body model the regularity of chalk drop to the ground was explored.The force analysis of chalks can provide a good basis of theoretical analysis for the blasting, the workpiece machining and the medical orthopaedics. The force analysis of the objects of shape like chalkswhen they fall to the ground can be carried out by studying the chalk drop to the ground.

rigid body model; chalk; force analysis

O4-33

A

1009-9115(2022)03-0038-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2022.03.011

安徽高校自然科学基金项目（KJ2020A0695），安徽省教学示范课项目（2020SJJXSFK2400），建筑电气与智能化专业卓越工程师培养创新项目（2020zyrc153），安徽省一流教材项目（2020yljc127），铜陵学院大学生创新性训练计划项目（tlxy202010381316，tlxy202010381380，tlxy202010381574）

2022-03-10

2022-03-25

王悦（1980-），女，安徽肥东人，硕士，副教授，研究方向为大学物理教学。

（责任编辑、校对：侯 宇）