借助“截长补短法”探究三条线段间的数量关系——由2021年北京市房山区初三数学二模第27题引发的思考

■ 北京景山学校远洋分校 赵 照

1 试题呈现

如图1，已知AC是矩形ABCD的对角线，∠BAC＝30°，点M是DC延长线上一点，∠BAC的平分线与∠BCM的平分线交于点E，将线段CA绕点C逆时针旋转，得到线段CF，使点F在射线CB上，连接EF.

图1

(1)依题意补全图形；

(2)求∠AEC的度数；

(3)用等式表示线段AE，CE，EF之间的数量关系，并证明.

2 解法探究

2.1 第(2)问分析

如图2，欲求∠AEC的度数，利用三角形内角和180°，可将其放在封闭△AEC中，只须求∠ECA和∠1，即求∠2，∠3，∠1 的度数即可.由∠BAC＝30°结合AE平分∠BAC，易知∠1＝15°，由CE平分直角∠MCF，可知∠2＝45°，结合矩形ABCD可知∠3＝60°，进而∠AEC＝60°.

图2

解题后继续联想还可以获得哪些结论?观察图形，有特殊的线段或特殊的角吗?这也是几何综合题解题应该养成的习惯，在求解每问后继续联想往往会对后面的解题铺垫条件.观察图形，∠F与∠1几何直观是相等的，那能证明么?由已知AB∥CD且AE平分∠BAC.如图 3，延长AE交DC延长线于L，则会出现等腰三角形△ACL可知∠L＝15°，结合CE为角平分线易证△CEF≌△CEL.进而可得∠F＝15°，再进一步得∠AEF＝60°.

图3

由于追问出的结论并不是简单几步就能得到的，所以在下面的讨论中，我会说明其证明是否用到了追问出的结论∠AEF＝60°.

2.2 第(3)问分析

2.2.1 猜想三条线段之间的数量关系

遇到此类问题可以在测量的基础上进行猜想，借助刻度尺测量欲证线段AE，CE，EF的长度后，可猜想三条线段间的数量关系为:AE＝CE＋EF.

2.2.2 证明三条线段之间的数量关系

针对三条线段间的和差关系，可以借助“截长补短法”将CE＋EF变成一条线段，或将AE-CE或AE-EF变成一条线段，从而将证不共线的三条线段间和差关系这个陌生问题转化为证两条线段间相等关系这个熟悉的问题.那该如何作辅助线呢，突破口在哪里?

方法一:补短法

如果借助欲证结论中的短线段CE，在其延长线上补的长度(或在延长线上补CE)，再去证明构造的新线段与欲证结论中长线段AE相等即可.定哪条短线段去延长它呢?延长的方向?如何找到新线段与AE的关系?

(1)借助已有线段CE，构造新线段CE＋EF

若确定短线段CE不动，我们是延长EC方向还是延长CE方向呢?延长方向的选择还要结合第(2)问的结论∠AEC＝60°，延长EC到点N，使EN＝EA，直接构造等边△EAN.

①延长(如图4)

图4

分析:

这条辅助线还可以描述为:作∠EAN＝60°交EC的延长线于点N.

换一个角度(旋转变换)看，欲证结论中的AE所在的△AEF中，边AF绕点A逆时针旋转可得AC(由于△ACF为等边三角形)，那若边AE也绕点A逆时针旋转会怎样呢?如图4，若直接旋转得到AN，虽然有∠EAN＝60°和AE＝AN的结论，但是点E是否与点C，N共线?我们可通过三角形全等及角度计算得来说明三点共线，也可以调整一下辅助线的做法从而回避三点共线的问题.

②延长(如图5)

如图 5，延长CE到点N，使CN＝AE，连接FN，AF.结合 ∠AEC＝60°易证△CFN≌△AFE，进而可知EN＝EF进而证明结论.

图5

此条辅助线还能描述为:延长CE到点N，使得EN＝EF.或作∠EFN＝60°交CE的延长线于点N.这两种描述均需用到∠AEF＝60°这个追问出的结论方可证明△CFN≌△AFE.

从旋转变换的角度看，由于FA＝FC，可将△CFN看作由包含线段AE，EF的△AFE顺时针旋转 60°得到.

我们把这种添加辅助线的方法称为“补短法”，在运用“补短法”时要明确:让哪条短线段不动?延长方向?如何找到新构造的长线段与题目中的长线段的关系(可借助全等三角形或等腰三角形等).

2.2 借助已有线段，构造新线段

如果我们确定短线段EF不动，直接延长EF或延长FE，哪种能较好地利用已知条件?

③延长FE(如图6)

如图6，延长FE到点N，使FN＝EC.结合∠AEF＝60°和易证△AEC≌△FNC，进而可知AE＝FN进而证明结论.

图6

此条辅助线还能描述为:作∠ECN＝60°交EF的延长线于点N.或延长FE到点N，使FN＝AE，连接CN.这两种描述的证明同时需用到∠AEF＝60°和∠AEC＝60°.

从旋转变换的角度看，由于CF＝CA，可将△FNC看作由包含线段AE，EC的△AEC逆时针旋转 60°得到.

④延长(如图7)

如图7，延长EF到点N，使FN＝EC.结合∠AEF＝60°和∠AEC＝60°易证 △AEC≌△AFN，进而可知AE＝EN，进而证明结论.

图7

此条辅助线还能描述为:作∠ECN＝60°交EF的延长线于点N.或延长FE到点N，使FN＝AE，连接CN.这两种描述的证明同时需用到∠AEF＝60°和∠AEC＝60°.

从旋转变换的角度看，由于CF＝CA，可将△ANF看作由包含线段AE，EC的△AEC顺时针旋转 60°得到.

方法二:截长法

如果借助欲证结论中的长线段AE，能否构造AE-CE或AE-EF呢?此时，我们需考虑:以点A为端点截取还是以E为端点截取?是截取EF还是CE呢?

以E为顶点的∠AEC＝60°是与等边三角形或旋转变换相关的重要条件，因此我们可试试以点E为端点进行截取.

①从E点截长(如图8)

如图8，在EA上截取EH＝EC，连接CH.结合∠AEC＝60°易证△ACH≌△FCE，进而可知AH＝EF，进而证明结论.

图8

此条辅助线还能描述为:作∠ECH＝60°交EA于点H.或在AE上截取AH＝EF，连接CH.这两种描述的证明同时需用到 ∠AEF＝60°和 ∠AEC＝60°.

从旋转变换的角度看，由于CF＝CA，可将△ACH看作由包含线段EF，EC的△FCE顺时针旋转60°得到.

②从A点截长(如图9)

如图9，在AE上截取AH＝EC，连接FH.结合∠AEC＝60°易证△FAH≌△FCE，进而可知EH＝EF，进而证明结论.

图9

此条辅助线还能描述为:在EA上截取EH＝EF，连接FH.或作∠EFH＝60°交EA于点H.这两种描述的证明同时需用到∠AEF＝60°和∠AEC＝60°.

从旋转变换的角度看，由于FC＝FA，可将△FAH看作由包含线段EF，EC的△FCE逆时针旋转60°得到.

我们把这种添加辅助线的方法称为“截长法”，在运用“截长法”时要明确:以题目中长线段的哪个端点为端点进行截取?截取两条短线段中的哪条?如何找到新构造的短线段与题目中的另一条短线段的关系(可借助全等三角形或等腰三角形等).

3 反思与启示

题目中(条件或结论)出现三条线段有形如的数量关系时，可考虑用“截长法”或“补短法”添加辅助线来解决问题，目的都是将不共线的两条线段转化为共线的线段，再借助构造的全等三角形实现“等线段代换”从而得证三条线段间的数量关系.当然，有的题目用“截长法”作辅助线可以求解，但用“补短法”却证不出来，或反之。我们还是要根据题目的条件及图形特点进行分析，找到辅助线的添加方法。

而从旋转变换的角度看，此题背景的等边三角形是典型的旋转变换的载体，在分析问题过程中借助“旋转变换”(或其它几何变换)审视图形特点，把握在旋转变换过程中蕴含的图形不变的关系(数量关系或位置关系)，这对于解决几何综合题也是非常有帮助的。