思维型课堂引领下的教学尝试与探索*——以“二次函数零点的分布问题”为例

华南师范大学附属中学(510620) 许 健

1 思维型课堂

《普通高中数学课程标准2017年版》特别提出:“注重提高学生的数学思维能力, 它是数学教育的基本目标之一,在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程,而这些过程是数学思维能力的具体体现,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断,数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用.”

数学思维能力主要指四个方面的内容: 会观察、实验、比较、猜想、分析、抽象和概括;会用归纳、演绎、类比进行推理;会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点;运用数学概念、思想和方法,辨明数学关系.可见,数学的教育不再只是停留在基本知识的学习、基本技能的掌握上,还应发展学生的基本思想、丰富学生的基本经验,培养其严谨的数学思维能力,创新意识和终生学习能力,而数学思维能力的养成可以形成很大的助力.

林崇德认为:“教师和学生的核心活动是思维,要着眼于课堂教学中的思维活动,在聚焦思维结构的智力理论的基础上构建思维型课堂.思维型课堂教学理论包括认知冲突、自主建构、自我监控和应用迁移四个方面的基本原理;明确课堂教学目标,突出知识形成过程,联系已有知识经验,重视非智力因素培养,训练思维品质以提高智力能力,创设良好的教学情境,分层教学因材施教七个方面是课堂的基本要求.”笔者认为思维型的课堂是具有“数学味”的课堂,思维型的课堂不是教会学生玩技巧,而是在探索中找到冲突,在师生交互、生生交流中迸发出新的火花的课堂;思维型课堂是满是“逻辑味”的课堂,思维的活动是课堂的关键,而这些活动离不开严密的逻辑作为支撑,所以一条清晰的逻辑线索是思维型课堂必备的;思维型课堂是“反思与精进”的课堂,新事物、新思维的形成总是难以避开——猜想、尝试、发现漏洞、完善系统这一步骤,在课堂上引导学生不停地反思、不断地精进,着力形成一套完整、完备的知识系统.

2 思维型课堂指引下的教学实践与思考

2.1 构建认知冲突,激发自主思考

认知冲突是指认知主体已有认知结构与新知识或新情境之间不能包容,或不同认知主体对某一问题存在不同看法时心理上所产生的矛盾或冲突.认知冲突最早出现在皮亚杰的认知发展理论中的“认知不平衡”,皮亚杰认为:“个体的认知发展是在认知不平衡时通过同化或顺应两种方式来达到认知平衡的,认知不平衡有助于学生建构自己的知识体系”.心理学家费斯廷格的认知不协调理论认为人类需要内在的一致性.认知的冲突应是知识学习的开端,内心的需求更能激发学生自主调整、学习的意识和思维层面的思索与探究.

问题1.1已知二次函数y =x2+(m-3)x+m 有两个零点,求m 的取值范围;

问题1.2已知二次函数y =x2+(m-3)x+m 在区间(0,+∞)有两个零点,求m 的取值范围;

问题1.3已知二次函数y =x2+(m-3)x+m 在区间(1,+∞)有两个零点,求m 的取值范围;

问题1.4已知二次函数y =x2+(m-3)x+m 在区间(0,1)、(1,2)内各有一个零点,求m 的取值范围;

设计意图1、问题1.1、1.2、1.3 学生可以借助已有的数学知识和学习经验求解,通过这三个问题唤醒学生已有的知识和方法;2、通过前三个问题让学生意识到二次函数的零点问题实际上与一元二次方程的根的分布一致,且不能仅靠判别式得出结论;3、在处理问题1.3 时,学生会采用根与系数关系进行求解,在这里强调两个根大于1 的正确等价形式;4、问题1.4 是在前3 个问题的基础上自然而然产生的,但其产生让学生发现再用已有的方法和经验解决问题存在计算和表达上的繁琐与阻碍,借此引起认知上的冲突,激发对新方法、新思路的思考与探寻;

2.2 回顾新获知识,形成自我建构

《论语》中的“不愤不启,不悱不发”则指出了在认知冲突下的学习者的困境——“心求通而未能,口言语而不得”,同时指导教师重视教育教学的“适时性”——学生遇到困难想要努力解决时,此时的点播才是最有力的,也更能激起自主建构新知识的强烈意识, 认知建构在这样的情况下悄然发生.维果斯基在说明教学与发展之间的关系时,提出了“最近发展区”理论,也即找到学生的知识生长点,而生长点不是凭空产生的,应建立在已有的知识、经验、能力之上.教材的编写具有科学且严密地逻辑关系,教学中教师应该更重视教材的前后知识的内在逻辑,以帮助学生进行更系统的知识建构和能力成长.

二次函数的零点分布问题出现在函数与方程的习题中,这不仅是一个简单的题型联系,应该还存在知识方法与思考方式的内在联系,带领学生回顾最新获取的知识,并将其特殊化,寻求新问题的突破方法.

师: 我们一起来回顾零点判断的一个定理——零点存在性定理: 如果函数y = f(x) 在区间[a,b] 上的图像是一条连续的曲线,且有f(a)f(b) < 0,那么函数y = f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c ∈(a,b),使得f(c) = 0.关于零点存在性定理需辩析两个关键问题: 一是连续的函数与闭区间的意义;二是该定理的运用的限制,即函数值异号可判断有零点,零点的个数的确定还不够充分,同时函数值同号难以成为判断零点有无的条件.当我们把这个定理放在特殊的函数背景下,又会产生什么样的变化呢? 现在请大家一起思考和讨论: 在二次函数f(x) = ax2+bx+c 下,如果f(m)f(n)<0 时,在区间(m,n)内的零点个数能否确定?

生: 零点只有一个.

师: 为什么在二次函数的背景下,可以得到确定的零点个数呢?

设计意图引导学生利用最近学过的知识对二次函数的零点问题进行探究,学以致用,增强知识的连贯性和逻辑性,同时,通过该问题的探究强化运用零点存在性定理不可确定零点的个数,但结合单调性可以解决一些简单函数的零点个数,为以后研究更难一些的零点问题埋下方法和思想的伏笔.

师: 反过来,若二次函数在区间(m,n)内有一个零点,是否可以得到f(m)f(n)<0,为什么?

生: 如果该二次函数有且仅有一个零点,则f(m)f(n)>0.

师: 在这里请大家注意一元二次方程有两个相等的实数根, 则其对应的二次函数的图象与x 轴有且仅有一个交点,则此时其只有一个零点.还能不能找出其他的反例呢?

生: 如果边界值恰好为零点,另一个零点在区间(m,n)内,此时f(m)f(n)=0,但其仍满足区间(m,n)内有一个零点.

师: 二次函数在区间(m,n) 内有一个零点是f(m)f(n) < 0 的必要不充分条件, 那么可否通过添加某些条件,使其为充要条件?

生: 若该二次函数有两个零点,且零点不在边界值取到,则结论成立.

师: 非常好! 总结一下: 若二次函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点,则在区间(m,n)内的有一个零点且m,n 不为零点⇔f(m)f(n)<0;

设计意图在数学知识的应用之前,应有严谨的数理逻辑作为支撑,未建立严谨的逻辑之前不可乱用关系;通过对零点存在性定理在二次函数下的应用,明确其具体的条件和用法,为下一步的表达打下逻辑基础;数学知识的系统性和逻辑性在教学中一定要着重体现,数学体系的形成不是一蹴而就,而是经过了一系列严谨的逻辑推理而来;提醒学生在形成自主建构时,必须先有严密的推理,理清楚每一部的逻辑是否科学,才能保证自主建构的正确与稳定.

2.3 辨析完善新知,实现自我监控

数学学习的思维自我监控,是为了保证数学学习的高效和成功,而在整个数学学习过程中,对学习对象积极主动的计划、检验、调节和管理,自我监控是自我意识在思维中的体现,是思维结构的顶点或最高形式;自我监控是知识内化的过程,是对对象的认识和深入理解、辨析,特别是检验与调节环节,强调了学生主体,是学生在学、在体会,也反映了学生数学思维中的批判意识.杜威认为:“反思思维的功能是把含糊的、可疑的、矛盾的、某种失调的情境变成清晰的、有条理的、安定的及和谐的情境”.学生学习时,应注意对新的知识保持足够的好奇、思考和完善,最终准确和灵活地运用所学的知识.

问题2.1: 请利用总结出的结论,解决问题1.4: 已知二次函数y = x2+(m-3)x+m 在区间(0,1)、(1,2)内各有一个零点,求m 的取值范围;

追问因为该二次函数有两个零点,其判别式应为正数,以上列出的不等式组能否体现出该要求? 能不能结合其他的信息,进一步的确定各个函数值的符号呢?

设计意图运用知识、熟悉知识是认知建构的基础,但建构的新方法、新知识也应注意与之前的知识保持一致协调,追问则出于此,呈现了自我监控时的过程;让学生意识到二次函数只要出现了两个函数值异号的情况则必有两个零点.

小结根据问题1.4 的求解过程发现: 如果二次函数有两个零点,只需确定两个有解区间,进而求出参数的范围,即二次函数f(x)=ax2+bx+c 的两个零点位于区间(m,n),(p,q)内,则即可求出参数的取值范围.

问题2.2回到“问题1.3: 已知二次函数f(x) =x2+(m-3)x+m 在区间(1,+∞)有两个零点,求m 的取值范围”.该题条件给出的是在一个区间内有两个零点,大家能否将其转化为两个有解区间?

生: 二次函数的零点一定位于对称轴的两边,则我们可以把区间拆分成两个有解区间,即为(1,对),(对,+∞)两个有解区间;

师: 非常好,那么按照总结出的方法可得: f(1)f(对) <0,f(对)f(+∞) < 0; 是否有这两个条件就够了? 怎么理解f(对),f(+∞)?

师: 转化的结果非常有意思,这体现了数学的严谨和统一.大家可以尝试运用该方法求解问题1.1 和问题1.2,分享一下你的收获?

设计意图确定了处理该问题的一般逻辑思路后,抛出问题2.2.这个的看上去不严格吻合的问题,引导学生利用已学的知识将问题转化,培养学生思维的灵活性;在转变的过程中遇到了对称轴的位置的判断和无穷大处的函数值问题,需要同学对这些问题进行思考和辨析; 感悟数学的统一性,通法不是解决某一个题目、某一个问题的方法,而是解决某一类问题的办法,学生学习过程中要研究通性通法,学会触类旁通、举一反三.

2.4 知识迁移应用,助力知识内化

数学学习中经常会出现“懂而不会”的情况,“懂”指得是“知道”和“了解”,这是学习的浅层阶段;而“会”在懂得前提下,要求的是“理解、领悟”与“应用”,学生需要达到会说、会认和会做,它建立在熟练地操作和不断地反思之上.实际上,其对应了学习中智力和能力,智力是认识,是保证有效地认识客观事务的稳固的心理特征的综合;能力偏于活动,保证顺利地进行实际活动的稳固的心理特征的综合.课堂的目标应该定位在“会”上,达成的是学生能力的提升,方法的理解、知识的应用、解题的体验是课堂不可或缺的部分.

练习1已知二次函数f(x)=x2+(m-3)x+m 的两个零点一个大于1,一个小于1,求m 的取值范围;

练习2已知二次函数f(x)=x2+(m-3)x+m 的两个零点一个大于3,一个小于1,求m 的取值范围;

练习3已知二次函数f(x)=x2+(m-3)x+m 在区间(1,3)有两个零点,求m 的取值范围;

练习4已知二次函数f(x)=(m-2)x2-(3m+6)x+6m 在区间(1,+∞)内有两个零点,求m 的取值范围;

设计意图练习题组的三个问题是二次函数的两个零点问题的三种不同的形式,检验学生对于知识的掌握程度,思维的灵活程度;练习4 的参数出现在了二次项系数里,知识背景有所不同,借此来检验学生对知识的掌握程度,反映其应用迁移能力.

2.5 体验思考过程,总结思维方法

韦特海默在《创造性思维》中指出:“产生创造性思维的最大敌人就是,在处理相关信息时,通过回忆过去已经掌握了的知识或某些事实,通过不辞辛苦的态度,盲目地应用学习过了的那些零碎的东西,而不是从信息的本来面目,从结构上,从结构要求上统领全局”.知识的零碎对学生的学习是有伤害性的,当你在杂乱无序的地方寻找你想要的东西总是需要花费更多的时间,甚至难以找出,但知识如图书馆里的书一样,按照某种逻辑方式进行摆放,并有一定的检索方式,就能帮读者或管理人员快速且准确的找到想要的书籍.教学中,我们也应该引导学生整理这些零碎的知识,总结归纳学习的方法,明确其内在的线索,为再创造铺下基石.

师: 本节课围绕着二次函数f(x)=ax2+bx+c 的两个零点问题进行讨论,请同学们讨论并尝试总结该问题的处理方式以及注意事项;

生: 问题的关键在于寻找出两个有解区间,特别注意的是对称轴是天然的零点分界线,然后只需两端函数值异号即可.但是本方法适用于明确两个零点时使用,那么如果在某个区间内仅有一个零点,应该怎么处理呢?

变式: 已知二次函数f(x)=x2+(m-3)x+m 在区间(1,3)有且仅有一个零点,求m 的取值范围;

设计意图与学生一起总结知识与方法,了解其原理、背景和步骤,并思考其可能的变式形式;二次函数的零点问题还存在其他的情形,如在某个区间内有一个零点或没有零点,解决这些问题,才算全面分析了二次函数的零点问题,所以引导学生继续向下思考,完善整个体系,为学生自主设问做了示范.

3 教学评价及反思

3.1 教学评价

本节课是在思维型课堂引领下的教学设计,教学的目标分为两部分: 知识层面上是学会处理二次函数零点分布这类问题的方法,思维层面上是掌握思索问题或处理问题的一般思维过程: 发现问题,产生冲突——回顾已知,发现联系——建立逻辑,尝试解决——总结归纳,形成知识——应用迁移,变式发散,但这不是一个“顺序结构”,而应是“循环结构”.

知识层面的评价是通过学生上课的师生对话及生生互动和练习的结果进行评估,如通过学生完成练习1、练习2、练习3 来检验学生的知识和方法的掌握情况;思维层面的评价通过学生的设问和追问来评价,所以学生能够在关键点上提出关键性的问题可以作为一项评价的标准,另外通过学生解决变式问题和开放性问题的结果作为评价的另一项标准,如跟踪变式“已知二次函数f(x)=x2+(m-3)x+m 在区间(1,3)有且仅有一个零点,求m 的取值范围;”及课后的结构不良型练习“已知二次函数f(x) = mx2+(m-3)x+2在区间____(填写区间)有____(填写个数)个零点,求m 的取值范围”的求解情况对课堂的生成进行评价.

3.2 课堂反思

思维型课堂是一个以知识学习驱动思维活动的课堂.本节课将学生学过的初中基础知识和基本的解题经验作为导入, 制造冲突, 引发思考.为了让学生专注于变化, 设计时力求“变中求稳、控制变量”, 变的是背景和思考方式方法, 如题目中变化的区间, 变化的交点个数, 初中的判别式法和根与系数关系的方法变化为零点存在性定理的应用与分析;稳定的是思维材料的稳定和思维过程的稳定,函数f(x) = x2+(m-3)x+m 的零点是整节课的研究对象;思维过程则是通过辨析用“一以贯之”的方式进行不同情况的思考和处理,让学生在学习过程中有清晰的逻辑串联,而清晰的逻辑更能保证学生对知识的认识与理解,思维方法的建立和思维能力的提升.

思维型课堂是一个思维迸发、包容并蓄的课堂.结合备课的材料,本节课的教学大多采用数形结合的方式进行探究和讨论.在探究二次函数的零点问题与零点存在性定理的关系时使用数学结合的方法,然后用一条代数的逻辑线解决该问题,以便学生建立清晰的思维全面的解决该问题,但方法的选择上和融合还可以进一步的探究和实践;同时,思维型课堂应创造足够的空间让学生尽情的表达自己的想法,这也对老师提出了更高的要求.

关注学生的学法应该成为思维课堂重视的一个重要环节,思维型课堂符合“立德树人”的理念,是培养学生持续学习乃至终生学习能力的课堂,它要求学生有更多的思考和尝试,但学生是否具备了这些能力? 是否能够在教师的引导下产生这些思考? 教师应该关注这些问题,当然这不是一节课或几节课能够解决的,所以更需要持续地关注和引导,让学生清楚自己在这样的课堂下扮演的角色,掌握学法,以达成理想的效果.