专题教学的设计与反思——向量数量积的几何意义在解题中的应用

上海市嘉定区中光高级中学(201800) 季井先

1 基本情况

1.1 学情分析

本次授课的对象是一所普通高中平行班的高三学生,学习基础和学习能力较一般.学生已经掌握了向量数量积的定义和投影的概念, 能够解决常规的向量数量积的运算问题,但是还需要深入理解向量数量积的几何意义,并能够运用数形结合的数学思想分析和解决问题.

1.2 教学内容分析

一方面,普通高中数学课程标准和上海市高中数学学科教学基本要求强调“掌握向量加法、减法、数乘和数量积的运算,并理解向量运算的几何意义”[1];另一方面,向量内容丰富,在试题中常常以小题形式出现,短小精干,问题具有一定的综合性,而贯穿其中的主要就是向量运算的几何意义的应用.

本课是高三数学专题复习课,向量数量积的运算是常见的考点,学生能够利用“定义法”、“建系法”(向量数量积的坐标表示)及“基表示法”(利用平面向量分解定理,选择一组基并表示相应的向量)来解决常规的向量数量积的运算问题.但需要学生真正理解向量数量积的几何意义的内涵[2],掌握数形结合的数学思想方法,并能够自觉运用该思想解题,需要教师揭示其中蕴含的几何意义.因此,本节专题教学通过由浅入深、由常规到复杂、一法解多题,引导学生利用向量数量积的几何意义的策略求解问题,深化学生对向量数量积的几何意义的理解,助力学生培养数形结合的数学思想方法.

教学目标

(1)掌握向量数量积的概念,经历常规的向量数量积问题的求解过程;

(2)掌握向量数量积的几何意义及其在解题中的应用;

(3)进一步培养数形结合的数学思想.

教学重点向量数量积的几何意义的理解.

教学难点向量数量积的几何意义在解题中的应用.

2 教学过程

2.1 一题多解,方法初探

师: 我们已经学习了向量数量积的定义和运算,请大家求解下面问题.

师: 生1 利用“建系法”,先建立平面直角坐标系,然后利用向量数量积的坐标表示.生2 利用了“基表示法”,先选择合适的一组基,然后利用平面向量分解定理用这组基来表示相应的向量,最后将题目转化为基向量之间的运算.还有其他方法吗?

师: 很好,生3 利用了向量数量积的几何意义,将两向量数量积转化为一个向量的模与另一个向量在该向量的方向上的投影的乘积,方法独到! 体现了数形结合的数学思想.请同学们尝试利用这种方法解决下面的问题吧.

设计意图学生既可以利用“建系法”、“基表示法”等常规方法来求解向量数量积问题;也可以利用向量数量积的几何意义来求解.在落实基本知识、常规方法的基础上,还能够促进学生对于数形结合的数学思想的认识,深化对向量数量积的几何意义的理解.

2.2 方法迁移,一法解多题

例2如下图2,在圆C中,点A、B在圆上,则的值( )

图2

A.只与圆C的半径有关

B.既与圆C的半径有关,又与弦AB的长度有关

C.只与弦AB的长度有关

D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值

图3

师: 生4 利用了向量数量积的几何意义,显然这种方法解题更简单明了.

师: 例2、例3 两道题都利用了向量数量积的几何意义,将两个向量数量积转化为一个向量的模与另一个向量在该向量的方向上的投影的乘积,即相应投影的最值问题.再利用平面几何性质,讨论并求出动点运动时,投影的取值范围,进而求出向量数量积的取值范围.

设计意图让同学们充分体会到向量数量积的几何意义在向量数量积求值、取值范围上的强大应用.并在解题过程中培养学生数形结合的数学思想.

2.3 综合应用、深入探究

例5如下图7,已知点M,N在以AB为直径的圆上,若AB=5,AM=3,BN=2,则=____.

图7

图8

师: 这位同学仍然利用了向量数量积的几何意义,不过计算量有一点大.还有其他方法吗?

生8:

例6如图9, 已知半圆O的直径AB= 4, ΔOAC是等边三角形,若点P是边AC(包含端点A、C)上的动点,点Q在弧BC上, 且满足OQ⊥OP, 则的最小值为____.

图9

设计意图引导学生进行分析和探索,当一些题目无法直接利用向量数量积的几何意义时,可以先利用向量的运算等方法转化为熟悉的向量数量积类型,进而再利用向量数量积的几何意义进行求解.这有利于培养学生良好的数学思维品质、思维能力,并能够充分锻炼学生的数学抽象、直观想象等核心素养.

图10

2.4 巩固练习

3 教学反思

这节专题复习课以向量的数量积为落脚点,以向量数量积的几何意义的解题策略为抓手,通过具体例题为载体,引导学生经历“数形结合”的探索之旅,不仅夯实了向量数量积的知识,提升了学生解决问题的能力,又培养了数学抽象、直观想象等核心素养.

在向量的数量积中, 我们不仅要重视向量数量积的定义——代数式运算,还要注重向量数量积的几何意义的应用.向量数量积的几何意义建立了中学数学中代数与几何的联系,为解决数学问题提供了工具.在解题过程中如果能够充分、灵活地应用向量数量积的几何意义,借助数形结合的数学思想,往往能够拓展解题思路、简化运算、提高解题速度、收到较好的解题效果,从而有效的提高学生分析问题和解决问题的能力.