基于深度学习的混合式教学设计——以“立体表面最短路径”教学为例

华南师范大学数学科学学院(510630) 卢广艺

义务教育课程标准指出:“要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响,开发并向学生提供丰富的学习资源,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具,有效地改进教与学的方式,使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去[1].”

为了达到上述目标,随着信息技术的发展,混合式教学在现代数学教学中得到了广泛的应用.另外,为响应教育部对发展学生核心素养的要求, 提升学生的核心素养,促进学生进行深度学习,笔者将深度学习的理念融入到混合式教学中,帮助学生从“知其然”到“知其所以然”最后再到“何以知其所以然”的跨越,渗透数学研究的一般方法,实现“授人以鱼”向“授人以渔”的转变.

那么何为混合式教学? 谭永平认为,混合式教学模式是以行为主义和建构主义学习理论等为指导,借助现代教育技术、互联网技术和信息技术等多种技术手段对教学资源进行优化组织、整合、呈现和运用,将传统面对面的课堂教学、实践实操教学与网络在线教学进行深度融合,以寻求两者优势互补,从而实现最佳教学效率和效果的一种教学模式[2].

何为深度学习? 何玲、黎加厚认为,深度学习是指在理解学习的基础上, 学习者能够批判性地学习新的思想和事实,并将它们融入原有的认知结构中,能够在众多思想间进行联系,并能够将已有的知识迁移到新的情境中,做出决策和解决问题的学习[3].

综上所述,笔者认为,可以通过三方面实现混合式教学和深度学习相结合的教学设计: 在教学资源的选择上,利用现代教育技术、互联网技术和信息技术等多种技术手段设计、选择教学材料; 在课堂环节的设计上,可以将课堂分为:批判、同化、迁移三个环节,环环相扣,循序渐进;在课堂展开方式上,将传统面对面的课堂教学、实践实操教学与网络在线教学进行深度融合.

1 内容解析

深度学习是以学科核心内容为线索的教学设计,主要目标在于通过对核心知识的理解与掌握的过程,培养学生的高阶思维和关键能力.某一个具体内容所蕴含的高阶思维和关键能力是什么,怎样确定一个学习内容中应当聚焦的高阶思维和关键能力,这需要对学习的内容进行单元整体分析.核心内容的单元整体分析的过程是从学科本质的分析和学情分析中,提炼教学主题的核心知识、高阶思维和关键能力.核心的教学目标的提炼,是对单元内容的整体分析的结果[4].

本节课面向的是八年级下学期的学生,针对数学连堂课而设计,课时量为2 个课时.从学生的知识储备看,学生在小学阶段就已经学习过立体图形的侧面展开图,在七年级时学过线段公理,在本章也学习了勾股定理,解决此类问题所需要用到的知识均已学过.

从教学主题的核心知识上看,“立体表面最短路径”是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十七章复习题中的典型问题,需要综合运用立体图形侧面展开、线段公理、勾股定理等知识,还能够与将军饮马问题相结合,或者结合分类讨论思想来考察,涉及面广泛,综合性较强.

从高阶思维上看,立体表面最短路径问题需要将平面问题化归为立体问题,而化归的数学思想贯穿于中学数学学习与解题中,是极其重要且常用的数学思想.

从关键能力上看,在实现立体与平面的化归过程中,能够锻炼到学生的空间想象能力与逻辑推理能力,在使用勾股定理解决问题的过程中,也能够锻炼学生的运算能力.

2 教学重难点

深度学习的重点是培养学科高阶思维, 根据上述分析,本节课的教学重点是将立体问题化归为平面问题.

将立体问题化归为平面问题对于初中生而言是困难的.初中生对于平面与立体之间的关系尚未有深刻的理解,空间观念尚未成熟,不能灵活运用平面几何的相关知识解决立体问题.因此,教学难点在于向学生展现化立为平的数学本质.

3 教学目标

基于上述分析,可以设置教学目标如下:

(1)将现实问题转化为数学问题,培养数学抽象、数学建模的能力,在运用数学知识解决生活问题的过程中,感受数学的有用性,激发数学的探究热情;

(2)在解决问题的过程中,理解通过侧面展开的方式化立为平所蕴含的数学本质,掌握化归的数学思想,掌握寻找立体表面最短路径以及运用勾股定理求解线段长度的方法,培养空间想象、逻辑推理和运算能力.

4 教学过程

4.1.1 预备——线上预习, 激活记忆, 数据分析准确把握学情

著名行为主义学家桑代克认为:“学习者是否会对某种刺激做出反应,同他是否已做好准备有关.”这就是著名的准备律.为了充分发挥当代信息技术优势,实现混合式教学,笔者于课前在网络自学平台上传了“立体表面最短路径预习材料”,材料中包含了“线段公理”、“勾股定理”的相关题目.这样做不仅可以激活学生对相关知识的记忆,让学生为第二天的课程做好准备,还可以通过大数据分析了解学情,在第二天采取适当的教学策略.经过分析,可认为该教学班学生基础较好,适合开展“立体表面最短路径”课程的教学,学生在线段公理方面上掌握良好,而在勾股定理方面掌握一般.因此,在课上用到勾股定理时,需要讲解得更加细致,以确保学生能够跟上课堂进度.

4.1.2 批判——小组合作,实物演示,GeoGebra 解释说明

如果学生不能将习得的知识进行批判性思考,那么他仅仅是在进行浅层学习,并没有看清问题的本质,在遇到类似的问题时,仍然可能毫无思路.只有进行批判性思考,仔细斟酌每个步骤的必要性与合理性,才能真正内化吸收,实现深度学习.笔者将学生分成若干小组,有利于学生以小组为单位进行讨论,实现思维的碰撞,提高深度学习的效果.同时,笔者通过传统的面授教学、实践实操教学、信息技术辅助教学相结合的混合式教学方式,帮助学生批判性地学习新知识,实现深度学习.

环节一创设情境,引导学生建模

问题1一棵半径为0.5m 的圆柱形小树下,有一只蚂蚁,蚂蚁对面,小树高为1m 处有一滴蜂蜜,为了尽快吃到蜂蜜,蚂蚁应该如何规划路径呢? 请问蚂蚁至少要走多远才能吃到蜂蜜?

设计意图创设真实生动的、符合学生认知的问题情境,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学就在身边.

问题2题目给了我们什么信息呢? 你能用数学语言来表述一下吗?

设计意图引导学生读题,挖掘题目所给的信息,利用已知构建出数学模型,感受生活与数学之间的相互转化,体会数学的有用性.

环节二批判思考,实践实操验证

问题1同学们可以提出什么方案呢?

追问1你们还记不记得平面上的最短路径问题是怎样解决的呢?

追问2如果能化为平面问题来解决,岂不美哉?

设计意图设计问题链,层层递进,引导学生将立体问题化归为平面问题解决;重新回顾平面上最短路径问题,为学生的顿悟提供思路.

问题2刚才我们提到了可以将圆柱的侧面展开,根据线段公理即可得到最短路径.但这是平面上的最短路径,是否会跟立体上的最短路径长度相等呢? 请同学们用课前准备好的纸筒进行验证.

追问1在运用纸筒操作的过程中,你能否感受到为什么两条路径的长度是相等的呢?

设计意图引导学生进行批判性思考,并通过实践实操教学,直观验证结论的正确性(如图1 所示),降低数学的抽象性.

图1

环节三结论推广,信息技术演示

问题1同学们也可以思考一下,如果要求立体表面上任意两点直接的爬行距离,是不是也可以化归成平面问题来操作呢?

设计意图如图2 所示,运用GeoGebra 软件,实现从特殊到一般的过渡,促进学生深度理解侧面展开与否都不会改变对应线段的长度,实现立体到平面的化归.

图2

环节四练习巩固,迁移解决问题;

问题1已知长方体ABCD-A1B1C1D1上的两顶点A,C1.若AB =7、BC =6、AA1=5,那么A 点到C1点沿正方体表面的最短距离有多长?

设计意图习题巩固,加深学生对立体表面最短路径问题的理解,同时考察了分类讨论的思想.

4.1.3 迁移——知识融汇,更换刺激情形,加深问题理解

在深度学习中,迁移是必不可少的环节.学生在接受新的问题情形的刺激时,通过类比旧情形,结合认知结构中已有的知识,批判性地继承和改造已有思路,加深对问题的理解.笔者采用变式的策略,运用传统的面授教学与实践实操教学促进学习迁移.

环节一变式呈现,引导学生思考

问题1一个高为10cm,底面半径为5cm 的圆柱形杯子内底部有一滴蜂蜜.一只蚂蚁从杯子外部,在蜂蜜正对面的位置出发.问: 蚂蚁至少需要爬行多远才能吃到蜂蜜?

追问1这道题目与前面的题目有什么区别? 你能够用数学语言重新表述题目的意思吗?

设计意图将将军饮马的知识融入到立体表面最短路径中,为学习的迁移提供更多的材料,追问时再次引导学生进行数学抽象和数学建模,加深学生对数学建模的熟练程度.

环节二分析题意,合理联想得出解题思路

问题1由前面的知识我们知道,首先我们需要把圆柱的侧面展开,展开后我们能直接套用前面的方法吗?

追问1要想从杯子的外侧的A 点到达内侧的B 点,是不是必须经过杯面的边缘?

追问2经过杯面的边缘,是不是一定会经过线段A1A′1?

设计意图如图3 所示,引导学生结合题意想象出蚂蚁在侧面展开图上的运动情况,批判性地继承旧问题情形的解法,为将军饮马的顿悟做铺垫.

图3

问题2根据上面的分析,这不就是从定点出发,经过线段上的某一点后到达同侧的另一个点?是不是跟以前学过的将军饮马问题是一样的呢?

设计意图解构题目,构造学生熟悉的问题刺激情境,引导学生运用已学过的将军饮马知识解决问题,促进学习迁移的发生.

环节三GeoGebra 直观演示,揭示数学本质

问题1解决将军饮马问题就是作对称后连线,但是这个操作在立体表面最短路径问题上代表什么意思呢?

追问1作对称可不可以理解成将内侧的面翻出来?

设计意图如图4 所示,运用GeoGebra 直观展现作对称在本题中的数学意义, 让学生理解为什么能够想到作对称这种方法,以及作对称能够解决什么问题,实现“何以知其所以然”的深度学习.

图4

4.1.4 同化——回顾例题, 提炼思想,由浅入深形成认知结构

同化是深度学习中不可缺少的一个环节.在同化环节,教师需要回顾课堂内容,提炼数学思想,帮助学生习得课堂核心概念与解题方法,巩固课堂所学,帮助学生内化课堂知识,重组与发展学生的认知结构.

问题同学们,经过前面两道例题的学习,相信你们对立体表面最短路径问题已经有了一定的认知,那么对于这类问题,你们最大的感受是什么?

设计意图让学生成为课堂总结的主人,借助他们之口说出“化立为平”、“化曲为直”的化归思想,加深学习印象.

4.1.5 推广——错例辨析, 课外推广, 批判思考提升认知高度

授人以鱼不如授人以渔,教学不是只教导学生解决某一题的方法,而是要教导学生举一反三,通过旧问题推广到新问题,并探讨出新问题的解法.为促进学生研究数学的热情,笔者对问题进行了改编,并在线上学习平台上传了相应的学习材料供感兴趣的学生自行学习.

环节一批判错例,促进学习迁移

问题1一圆柱体的底面半径为1cm,高为3cm,若蚂蚁要从点A沿着圆柱体的表面爬行到点A对面正上方的点C,最短路径是多长? 我们现在先来看一个同学做出的答案.

设计意图从错例出发,培养学生敢于质疑的数学学习态度,锻炼学生分类讨论的数学思想.

环节二简要分析,提供资源自学

问题1根据刚才的分析,我们知道,蚂蚁可以选择经过不同的面爬行到C点,因此最短路径的方案需要根据选择的面而定,那究竟是怎么爬才是最短的呢? 在这里我们只利用GeoGebra 进行演示,详细的证明过程将上传到学习平台,大家有兴趣可以课后自行学习.

设计意图由于需要用到的知识比较复杂,不要求每个学生都掌握,我们在课上只进行GeoGebra 演示,如图5 所示,并在自学平台上上传了课外拓展包,允许学有余力的学生课后进行自主学习,进一步了解难度更高的知识.

图5

5 教学反思

笔者认为,基于混合式教学的深度学习教学设计有以下特征:

5.1 评价方式有效性

混合式教学给传统的教学评价方式带来了新的挑战.混合式教学的背景下,教师可利用网络工具进行在线分析,并结合线下教学的实际情况综合评价教学效果,这就需要形成一套成熟的评价体系.

5.2 认知过程渐进性

在深度学习下,学生需要经历批判、同化、迁移三个阶段,在三个阶段中循序渐进,形成深层次的认知.另外,这三个层次不是相互独立的,而是互相渗透、互相包含的.

5.3 教学方式多样性

在基于深度学习的混合式教学模式上,教师需要融合多种教学方式促进学生学习.在教学过程中,教师可将传统面对面的课堂教学、实践实操教学与网络在线教学进行深度融合,各取所长,充分发挥混合式教学的优势.