“三步”至简,淬炼导学价值*——以苏科版“代数式”章前导学课为例

江苏省泰州市第二中学附属初中 周 炼

1 数学简约文化与章前导学的关系

1.1 数学学科与简约文化的相关概述

数学是研究数量关系与空间形式的科学,作为各种自然科学与现代人工智能、大数据技术的基础学科,数学与人类的进步、发展密切相关,广泛地运用于生产、生活的方方面面.然而看似包罗万象、千姿百态的数学之所以能够有如此广厚的包容度恰恰是因为其内核的极致简约,相较于其他学科特有的抽象性、概括性、一般性等描述客观事物专有的表征方式让数学成为了观察、描述、体会这个物质世界与人类精神世界沟通的重要语言桥梁.除了在数学学科中,简约的理念还渗透在各个领域,比如中欧洲现代主义建筑大师密斯凡德罗(Ludwig Mies VAN Der Rohe)曾表明过他的设计主张: 少就是多,“少”不是空洞而是精简,“多”不是拥挤而是充实.伟大的意大利画家弗拉·安吉利科(FraAngelico)曾说过:“真正的财富包括怎样用很少的东西来获得快乐.”无论是密斯对于建筑艺术“简约”的执着还是弗拉对于美术绘画“简约”的追求都与数学学科的价值取向不谋而合.特级教师许卫兵在2006年也曾提出“简约数学教学”主张,历经16年探索形成了丰富的教学成果, 带动并辐射了多地的数学教学改革,在教育业界形成了一定的影响力.

1.2 简约文化与章前导学之间的契合点

章前导学课区别于常见的“章起始课”、“章头课”,更加凸显“导学”特征,这是一种以导为主线,学为主体的新课型,强调解决真实而复杂的问题,对教材中的章头图与章引言进行课程资源开发,让章内容隐存于情境之中,让策略、方法型知识融合于活动之中.章前导学课不在于通过一节课使学生对整章有具体、全面、深刻的认识,旨在引导学生在情境中体会和感受,自主建构出本章乃至涉及本章内容的其他章的大致研究方向,生长出概貌样的知识轮廓,或是以能引发认知冲突与矛盾的基本问题激起学生的探索欲,继而以饱满的热情投入到接下来的学习中去.随着当今课程改革对于单元教学的大力推广,关于章起始课的研究也层出不穷,以至于被贴上各种标签后被赋予了太多超出其本身所能承载的使命,事实上在仅45 分钟的课堂内想要的东西越多往往就会越偏离初衷,最终演变为一场以“导学”名义对学生“强行”灌输知识的绑架行为,这种急功近利的结果反而会将学生渴求知识的欲望扼杀在摇篮里.为了避免单元教学趋于形式化与盲从化,以简约的理念去伪存真、重新设计章起始课势在必行,下文便结合“代数式”章前导学课详细阐述如何贯彻简约理念设计教学以及形成的“三步”至简导学范式.

2 章前导学视角下课例的教材分析

本节课是苏科版七年级数学上册第三章“代数式”的章前导学课,本章是在学习完“有理数”后对数与式的进一步探究,同时也为后续研究方程、不等式、函数奠定了基础.作为整章的章前导学课,教学应该从学生的生活实际出发,选择学生熟悉的素材作为情景引入,引导学生在具体数量关系的探索中体会数学建模的思想方法,在寻求变化规律的过程中感悟从特殊到一般的数学逻辑,在实践中发展学生的符号意识.在设计教学活动时,可以将“导学”视角放大一些, 除了引导学生在具体事例的探索中体会求代数式的值、合并同类项、整式的加减对进一步探索代数式的必要性,同时也要着眼于帮助学生在代数式中挖掘与方程、不等式、函数有关的要素,初步获得方程、不等式、函数的感性认识.

3 “三步”至简理念下章前导学课的教学探索

3.1 简入——实践淬炼主题

实践1高铁是指设计标准等级高、可供列车安全高速行驶的铁路系统,居世界第一.若统一将高铁平均速度视为300km/h,你能根据曾经用过的一张高铁票上的信息估算出本次出行的路程吗?

实践2请课前自行设计图纸制作一个有盖的圆柱体纸盒,你能通过测量设计时的相关图形估算这个圆柱体纸盒的体积吗?

导学分析分析“高铁票”上的信息与做一个圆柱体纸盒这两个活动均来源于教材中的章前图,但教材只给出了两幅图(动车和圆柱体)和两个公式(S = vt 和V = πr2h),未有过多的阐述.从二次开发教材的角度出发,笔者本想再多介绍一些关于高铁的发展史与多面体的相关知识,引发学生关注数学在物理、工程、艺术等学科中的广泛应用,体现数学是能反映事物内部与外部联系,沟通抽象世界与现实世界的必要手段.但课堂时间、容量有限, 与此相比聚焦单元基本问题的提出与基本框架的建立是导学课更为重要的价值追求,所以让情境从简呈现、去粗取精,在学生自主动手、亲身经历中使得思维涌动起来,充分激发学生的求知欲望.根据课堂上的汇报结果发现不同学生的计算结果虽然各不同,但无一例外地使用了两个相同的公式,一个是S = vt,描述的是当物体匀速运动时走过的路程等于速度与时间的积;一个是V = πr2h,描述的是圆柱的体积均为π 与底面半径的平方与圆柱高的积.在此基础上可以让学生继续思考这两个公式有什么特点,学生不难发现这些公式不仅都由字母和数字通过运算符号构成,而且都用一种简约的形式描述着某种规律,以数学符号刻画量与量之间的关系.之后还有学生联想到曾经学过的S = πr2(圆面积公式)、S =(三角形面积公式)、V = abh(长方体体积公式)等都有类似的作用,于是最终确定研究上述公式中等号右边的式子(简单介绍其为代数式)为本章探索的主题.

3.2 简构——问题淬炼内涵

用火柴棒按以下的方式搭“小鱼”.

问题1搭1 个小鱼需要火柴棒多少根;搭2 个小鱼需要火柴棒多少根;搭3 个小鱼需要火柴棒多少根;那么,搭100个小鱼需要火柴棒多少根?

问题2你能用一个式子来描述以上规律吗?

问题3用80 根火柴棒能搭多少个小鱼? 不少于1000根至少能搭多少个小鱼? 你能用式子描述这样的问题吗?

问题4当小鱼的数量增大或减小时,火柴棒的根数是否随之改变? 它们之间有什么联系吗?

导学分析用火柴棒搭小鱼的实验依旧取材于课本,纵观整个初中学段“搭小鱼实验”在教材中共出现5 次, 分别是“代数式”章前图、“3.3 求代数式的值”、“4.1 从问题到方程”、“11.5 用一元一次不等式解决问题”、“6.1 函数”,与此对应的分别是代数式、方程、不等式、函数的概念引入或应用导例.在导学课中选择一个能横跨四个领域知识并设置有梯度的问题可以在不分散学生过多注意力的情况下分别感受代数式与方程、不等式、函数之间的关系.这其中无论是深化代数式内涵的问题1,或是初步尝试用方程、不等式描述等量关系与不等量关系的问题2、3,还是从变量的变化规律中获得函数感性认识的问题4,都将初中阶段“数与代数”的大致轮廓呈现了出来,为最后的“简出”添砖加瓦.事实上“数与代数”在整个课程体系中相较于“图形与几何”、“概率与统计”的占比更大,在《普通高中数学课程标准(2017年版)》中的“数学运算”、“数学抽象”、“数学建模”等核心素养也与“数与代数”密切相关,而代数式又是数与代数的知识起点,在刚接触“式”的概念时通过导学课以精简、逻辑连贯、迁移性强的问题引申出更多内涵,既能让学生站在高处领悟用字母表示数的代数价值,又不越过“超前学习”的红线,最大程度提升学生的学习动力与热情,充分发挥导学课的前建构作用.

3.3 简出——发散淬炼体系

发散1上一章在“有理数”中我们研究了数, 在“代数式”中你认为我们会类似地研究有关式的哪些内容,请用精简的结构图呈现出来.

发散2请秉持着简约的理念按照由简单到复杂的顺序设计一些特殊的代数式并以此寻求你在后续学习中想要研究的内容.

导学分析式是数的一般表征, 数是式的特殊情形, 数与式既有质的区别,也存在着很多相似之处,如何把握好这种差异与共性并通过新旧对象的分析、综合、对比、类比让已有知识经验与待探索的未知领域之间形成良性迁移、同频共振,既是本章的导学取向,也是培养学生举一反三、严谨求实等关键能力的良好契机.“代数式”的前一章“有理数”是以数的运算为主线,以加法、减法、乘法、除法与乘方运算的顺序逐一展开的,学生在学完“有理数”后能深刻地体会到数的学习主要是运算法则与运算规律的学习,那么式呢? 发散1便搭建了数式迁移的桥梁,引导学生思考从有理数到代数式在路径研究、类比建构等方面应该如何从特殊到一般,通过合乎情理的猜想与尝试以结构图的形式将知识关联简约地呈现出来,从而把握代数式研究的大致方向.研究的对象尽量简单明了、易上手,设计发散2 正是防止学生从相对复杂的多项式、分式入手,应该引导学生先从最简单的单项式开始研究,随后再逐步加大难度,其中所选代数式始终要以简约为标准.如果说运算法则与运算规律是一条主线,那么从简单到复杂地选取研究对象则是一条支线,为后面进一步学习“整式加减”、“幂的运算”、“整式乘法”、“分式”、“二次根式”等章节埋下了伏笔.

4 关于简约理念下章前导学课的两点思考

4.1 简约的情境设计更能点明章前导学的主题

首先章前导学课这一课型听起来并不“简约”,因为“章”涵盖的范围太广,“导”涉及的素材又强调解决真实而复杂的问题,致力于让学生感受到数学是有用的,其内涵指向的丰富多元必然要求在情境设置方面简约呈现,否则干扰因素过多会使整节课主次不明、导学重点不突出.三步至简中的“简入”便是要求教师进一步贴近学生的生活,体会学生的思维方式,用最精简的语言激发学生的共鸣,简明有效地引导学生从兴趣引领过渡到数学思考,很多看似真实、有趣、渗透文化的情境设计实则杂乱臃肿,只有把导学的主体聚焦于学生的真切体验才能帮助学生迅速抓住导学主题,从繁冗走向凝炼、从肤浅走向深刻、从杂乱走向清晰.例如在本课例中舍弃了大段关于高铁、几何体的相关文化阐述,转而注重学生亲身经历的过程,让学生在动手中感受代数式的研究价值.事实上,数学本就是对于客观事物抽象的高度概括,是一种有序多级的语言表征活动,是透过现象看本质的学科视角,是抽丝剥茧般地以简驭繁的过程,当教师能够看到情境背后的简约要素时,当学生能从情境中获取关键问题并引发深度思考时,其实就已经抓住了整章的研究主干.

4.2 简约理念下的章前导学课应具备生长的力量

章前导学课是对整章知识的引领与建构,区别于分课时的导学环节更能体现整体性、结构性与展望性.具体来说,分课时导学针对的是单一知识或具体教学目标,以显性目标与基础目标为主,致力于知识的掌握与能力的提升,并让教学活动顺利、高效地开展,而章前导学指向的则是以章为单位的整体意义建构,其立足于隐性目标与长远目标的达成,以知识迁移与相互催生为导向,在对已有知识经验回顾与运用过程中形成对未知领域研究价值的深度思考,由学什么向为什么学、怎么学、学到什么程度的话语体系转变,而具备这样要求的导学课一定是简约的、直击内核的、体现大观念的.比如本课例中“用火柴棒搭小鱼实验”衍生出来的一系列极简的问题链简明扼要地构建了一个相对完整的代数知识体系(简构),进而引发学生的深度思考,使学生对代数的不同领域产生浓厚的兴趣,打破章内研究的壁垒,以章为生长点沿着一条清晰的结构脉络逐渐延伸, 实现了长远意义的建构;再比如类比有理数的研究路径让学生提出关于代数式的研究方案,并通过极简的思维导图将数式之间的共性与差异淋漓尽致地展现出来后,又以简约的理念让学生依次提出关于幂、整式、分式的研究设想,这在以上关于数式研究通性通法的主线基础上又“生长”出了各路支线,并大致勾勒出未来可能要研究内容的雏形(简出).此时章前课被赋予的意义早已超越了代数式本身所能带来的思考,这既是打通初中学段代数桥梁的一次契机,又引发了一场关乎素养发展的头脑风暴,而且简约的教学过程、问题设计并不会让学生产生过重的学习负担,点到为止的引导、恰到好处的提炼只会让学生心中好奇心的火苗越烧越旺.