不愤不启,不悱不发——数学教学方法探讨

广东省中山市南头镇初级中学(528427) 赵 静

孔子在《论语-述而》说:“不愤不启,不悱不发.”朱熹逐字逐句解释为: 愤,心求通而未得其意.悱,口欲言而未得其貌.启,谓开其意.发,谓达其辞.意思是说: 学生如果不经过冥思苦想而又想不通时,就不去启发他;如果不经过思考并有所体会,想说却说不出来时,就不去开导他.我觉得,这就是我的教学主张.

我们很多人应该都有这样的经历,当一件事情反复思索,仍不得其解;或者,心里很明白,但是表达的时候总不能找到恰当的言辞时,有人在旁边一指点,会猛地一震: 就是这样嘛,我也是这样想的! 感觉一下子捅破了那层窗户纸,豁然开朗,这件事必然印象深刻.如果我们能在数学课堂上多给学生一些这样的经历,学生对所想所讲所学也必然会深有体会,牢记于心.下面我通过具体的教学案例来说明.

1 不愤不启

案例1刚开始上“圆”这一章时,我告诉学生:“圆的半径处处相等.”下面有几个学生表示不屑: 半径相等我们不知道吗? 老师,我们可是初三的学生呢! 我笑而不语,现在强调作用不大, 我可以等.接下来有一道这样的例题: 如图1 所示,AB是⊙O的弦, 半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF,请你找出线段OE与OF的数量关系,并给予证明.

图1

这道题本身不难,学生很容易发现OE=OF,只是,怎么证明呢? 因为OE和OF在同一个三角形OEF中,他们想很自然地想到利用“等角对等边”来证明,只是,相等的角从哪儿找? 题目给出的条件AE=BF不是没有用上吗? 课堂上有了小小的讨论声,有说用“等角对等边”的、有说用三角形全等的,只是找来找去,似乎都少了一个条件.我见时机成熟,也不说话,拿起三角板,添了两条辅助线(如图2).有学生在下面大叫:“哦,我知道了,半径相等! ”马上又有人说:“还有这种操作? ”我笑了:“为什么没有? 我刚刚才提醒你们,圆的半径处处相等.”接下来的证明就很简单了,而且,学生们还有了条件反射,一看到圆的证明题,总要小声嘟囔一句: 要不要连半径啊? 半径当然不是随便连,也不是每题都要连的,这是我后面的教学任务了.

图2

案例2二次函数求最值问题是初中数学中的一个既典型又较综合的问题,碰到最值问题,有的学生要么干脆不做, 要么不管三七二十一, 直接配方、找顶点坐标.其实有一些最值问题,根本与顶点无关,要利用轴对称来解决问题.有一天的数学课,我给出了这样一道题: 如图3,已知抛物线经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点.

图3

(1)求抛物线的解析式及对称轴.

(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MA+MB的值最小,并求出点M的坐标.

题目一给出来,下面好一通计算,动作快的,不仅求出了解析式和对称轴,连顶点坐标也一并求了出来.只是,对着第(2)问的最小值,又不会做了.我不着急帮他们讲这道题,而是给出了另外一道题:

问题1如图4,A、B在直线l两侧,在l上找一点,使得P到A、B的距离之和最短,如何作出点P? 学生很快答出:连结AB交l于P,则P为所求点.因为两点之间,线段最短.

图4

问题2如图6,A、B在直线l同侧,在l上找一点,使得P到AB的距离之和最短,如何作出点P? 初二已经学了轴对称,学生也不难得出答案: 作B关于l的对称点B′,连结AB′交l于C.也就是说,当两点在线段同侧时,先利用轴对称找到对称点,使得两点转化到直线的两侧,再连结两点即可.

图5

图6

图7

然后我问他们: 假如我把对称轴直线x=l当作上题中的l,你现在会做这第(2)问了吗? 很多学生恍然大悟: 原来这道题的模型是轴对称啊! 只要找到点B关于对称轴的对称点C,连接点C就可以了呀! 这样一来,他们不仅会解决这一道题,再碰到类似题目,也知道把“折线之和最短”转化为“线段最短”来解决.

2 不悱不发

案例3在教学七年级数学“有理数加法”时, 课堂前段,我创设了“足球比赛”的教学场景,因为情景贴近学生生活实际,富有挑战性,学生们踊跃参加,学习情绪高涨,很快就达到了教学的预期目的, 给出的7 个算式(+3)+(+2)、(-2)+(-1)、(-2)+(-1)、(-3)+(+2)、(+3)+0、(-2)+0、0+0 也很快得出了答案.可是,当我要学生们用自己的话总结有理数加法法则时,学生们你看看我,我看看你,所有的话都变成了“茶壶里的饺子”,要说说不出来.这时,我把7 个算式重新分类,引导学生从符号和绝对值两方面思考,同号两数相加、异号两数相加如何相加? 最终共同得出了有理数的加法法则: 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0;一个数同0 相加,仍得这个数.

这个过程,我们老师的作用就是“发”,让学生体会“生活语言”如何过渡到“数学语言”、对数学的分类思想有初步的体会,也让学生领略到数学语言的准确美.

案例4A城有肥料200 吨,B城有肥料300 吨,现要把这些肥料全部运往C、D两乡,从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20 元和25 元;从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15 元和24 元,现C乡需要肥料240 吨,D乡需要肥料260 吨,怎样调动总运费最少? 此题涉及到的已知数据较多,学生容易张冠李戴,造成数据上的混乱,我上课时一给出题目,下面已经哇哇乱叫.这时,我们老师要帮他们理清思路.要知道我们数学除了文字语言、符号语言之外,还有一种语言,叫图形语言.上面一大堆混乱的数据,我们可以借肋一张图表(如图8)来处理.

图8

解设由A城运往C乡肥料x吨,则运往D乡(200-x)吨,从B城运往C乡(240-x)吨,运往D乡(60+x)吨,总运费为y元.依题意得:y= 20x+25(200-x)+15(240-x)+24(x+60)=4x+10040,(0

由于一次函数的值是随着x的增大而增大, 所以当x= 0 时,y的值最小,此时y= 10040(元).所以: 从A城运往C乡0 吨,运往D乡200 吨,从B城运往C乡240 吨,运往D乡60 吨时运费最少,最少运费是10040 元.

对于代数问题,借助一张图表,靠图形直观来“支持”抽象的思维过程,借助几何图形、图表,可以使代数问题更简单,更直观.通过这道题,学生对数形结合的数学思想有了初步的了解,以后解决问题时,又多了一种思路.

“不愤不启,不悱不发”在教学中体现的是启发性原则.因为学生才是学习的主体,我们教师要发挥引导作用,凸显学生的主体地位.在教学时要抓住学生处于“愤”“悱”的时机,适时点拨启发,让学生感到柳暗花明、豁然开朗.这样,学生自主提出问题、思考问题,主动发现问题、分析问题、探索问题、解决问题的能力才能提高,我们的数学教育才能展现勃勃生机!