一道教材习题引发的深度思考

湖北省宜昌市夷陵中学(443000) 杨郑国 王宝玲 张雅思

1 问题提出

具有思考价值的数学问题是激活学生高阶思维的源泉,也是开展深度学习的载体.人教A 版《普通高中教科书·数学”(以下统称“新教材”)必修第一册第141 页的“拓广探索”中有一道习题令笔者记忆犹新.

题目比较下列各题中三个值的大小:

(2)log23,log34,log45.

新教材的习题共有“复习巩固”、“综合运用”、“拓广探索”三个层次,其中“拓广探索”中的习题具有探究性、创造性和开放性.这是新教材中新增的一道比较对数值大小的习题,其中底数、真数都不相同.习题形式简洁,指向明确,内涵丰富,入口很宽,能很好地培养学生的发散性思维、创造性思维.现将该题的探究过程与同行交流,以期抛砖引玉.

2 解法探究

解法1

则log34>log45,所以log23>log34>log45.

评注通过换底公式把问题转化为比较同底数的对数值大小的问题,在比较与3 的大小时进行了适当的放缩,运用基本不等式将乘积ln 3 ln 5 化为一个具体对数的平方的构造.本题也可以用作商法进行比较.

解法3当a > 1 时, 函数y = logax 的增长速度越来越慢, 故log23-log22 > log24-log23, 当b > a > 1时, 在区间[m,n] 上函数y = logax 的变化量大于函数y = logbx 的变化量,则log24-log23 > log34-log33,故log23-log22>log34-log33,则log23>log34,同理可得log34>log45,所以log23>log34>log45.

评注借助对数增长的变化规律来解决问题,也是解法2 的几何解释,体现数形结合的思想.

解法4令f(x) = logx(x + 1),x > 1, 由换底公式,得由x > 1,知f′(x) < 0,则f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(2)>f(3)>f(4),即log23>log34>log45.

评注观察三个对数的底数、真数的特点,构造函数,以导数为工具研究单调性,借助函数的单调性来比较大小.

评注运用二分法的思想,巧妙地寻找中间值,并借助中间值来比较大小.

解法6

所以log23>log34>log45.

解法82x= 3,3y= 4,4z= 5, 由2x+ 1 = 3y=(2 + 1)y> 2y+ 1, 则x > y, 同理可得y > z, 所以log23>log34>log45.

评注通过指对互化,借助二项式定理进行放缩,从相等关系中发现不等关系.

3 引申拓广

3.1 结论推广

推论1设n ∈ N*, 且n > 1, 则logn(n + 1) >logn+1(n+2),即logn+1n

证明

则logn(n+1)>logn+1(n+2).

推论2设a>b>1,m>0,则logba>logb+m(a+m),即logab

证明

推论3设0 < b < a < 1,m > 1, 则logba >logb+m(a+m),即logab

证明

3.2 变式探究

比较下列对数值的大小:

(1)log0.20.3,log0.30.4,log0.40.5;

(2)log36,log3.16.1,log3.26.2;

(3)log34,log45,

(4)log35,log58,log711.

3.3 链接高考

(2013年新课标II 卷理科第8 题) 设a = log36,b =log510,c=log714,则( )

A.c>b>a B.b>c>a

C.a>c>b D.a>b>c

(2017年新课标I 卷理科第11 题)设x,y,z 为正数, 且2x=3y=5z,则( )

A.2x<3y <5z B.5z <2x<3y

C.3y <5z <2x D.3y <2x<5z

(2020年全国III 卷理科第12 题)已知55<84,134<85,设a=log53,b=log85,c=log138,则( )

A.a

C.b

(2021年全国乙卷理科第12 题) 设a = 2 ln 1.01,b =ln 1.02,c=-1,则( )

A.a

C.b

4 几点感悟

4.1 注重挖掘教材

在实际教学中,广大一线教师能以“四个理解”为目标,积极探索课堂教学的改革与创新,但在急功近利的考试氛围影响下,课后作业大多以练案或教辅资料为主,教材习题的功能被弱化或边缘化.殊不知,新教材作为教育教学专家集体智慧的结晶,历经千锤百炼,具有权威性、系统性、示范性和功能性,是教师开展教学活动最重要、最宝贵的资源.新教材中的例题与习题更是教师在解题教学中的关注点和着力点.教师应充分挖掘教材内容,创造性地利用教材内容,使学生在掌握“四基”、提高“四能”的过程中,学会有逻辑地、创造性地思考,形成数学的思维方式,发展理性思维,养成科学精神.

4.2 加强解后反思

数学教育家弗赖登塔尔指出: 反思是数学思维活动的核心和动力.没有反思,学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平.解后反思是指在解决了数学问题后,通过对题目特征、解题思路、解题结论、解题思想的概括与反思,是对解决问题的思维过程进行再认识、再创造的批判性审视.解题后可对问题进行变式拓展和适度推广,让学生完整地经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程,从更高的观点、更宽的视野、更理性的眼光去思考数学问题,真正达到举一反三、触类旁通的学习效果.