异侧和最小,同侧差最大在二次函数中的运用

云南师范大学数学学院(650500) 雷 茹

为什么要以二次函数为背景来运用异侧和最小,同侧差最大.一是该模型经常出现在以二次函数为背景的试题中,其次以二次函数为背景讲解异侧和最小同侧差最大,能充分把函数与几何联系起来,体现数形结合,动静结合,还能加强我们对二次函数的理解和应用.总之使得所选择的问题更能突出数学思想和数学本质,加强学生对数学学科特点的认识,同时进行相应专题的学习还更具有针对性[1].

1 异侧和最小,同侧差最大

异侧和最小, 同侧差最大, 是基于两个经典的最值模型[2].异侧和最小是由两点之间线段最短的“距离公式”或者三角形两边之和大于第三边得到.而同侧差最大则是由三角形两边之差小于第三边得到,总的来说该最值问题是以三角形三边的性质得到的.

模型1如图1 所示,已知A,B 两点在直线l 的异侧,点C 为直线l 上一动点,求当点C 在什么位置时,AC+BC 有最小值[2].

如图1 所示, 点C 逐步向C1,C2,C3,C4移动过程中可发现, 当移动到C2即A,B,C 三点在一条直线上时,AC +BC 有最小值, 利用的是两点之间线段最短; 也可利用三角形三边的性质,由图1 可知AC +CB > AB;AC1+C1B > AB;AC3+C3B > AB;AC4+C4B > AB, 因此由图可归纳为ACn+CnB ≥AB.当点C 移动到C2时即AC2+C2B =AB,此时AC+BC 达到最小值.

图1

模型1 特点: 定点A,B 位于动点C 运动轨迹的两侧,需求AC+BC 的最小值.结论: 当A,B,C 三点在同一条直线上时,AC+BC 的值最小.

模型2如图2 所示,已知A,B 两点在直线l 的同侧,点C 为直线l 上一动点,求当点C 在什么位置时,|AC -CB|有最大值[2].

图2

如图2 所示, 由三角形三边的性质可得|AC -CB| < AB;|AC1-C1B| < AB; |AC3-C3B|

模型2 特点: 定点A,B 位于动点C 运动轨迹的同侧,需求|AC -CB|的最大值.结论: 当A,B,C 三点在一条直线上时,|AC-CB|的值最大.

两模型的共同特点是,当三点在同一条直线上时,可求其最小和最大值.但是在平时应用过程中,遇到的试题并不满足定点A,B 位于动点运动轨迹的同侧或者是异侧,比如求线段和的最小值时,试题给的已知条件是两定点在动点运动轨迹的同侧,因此就不满足模型的特点.当遇到这种情况时,没有条件需要创造条件,构建出满足模型的特点,故需要根据试题中的已知条件将其中一条线段移动到动点运动轨迹的另外一侧.

2 在二次函数中的应用

2.1 异侧和最小

例1抛物线y = ax2+bx+c 与x 轴交于B 两 点(点B 在 点A的左侧) , 与y 轴交于点C, 且OB = 3OA =的平分线AD 交y 轴于点D,过点A 且垂直与AD 的直线l 交y 轴于点E,点P 是x轴下方抛物线上的一个动点,过点P 作PF ⊥x 轴,垂足为F,交直线AD 于点H.

(1)求抛物线的解析式;

(2)设点P 的横坐标为m,当FH =HP 时,求m 的值;

图3

2.2 同侧差最大

例2已知抛物线+2 与x 轴交于点A,B 两点, 交y 轴于C 点, 抛物线的对称轴与x 轴交于H点,分别以OC,OA 为边作矩形AECO.

(1)求直线AC 的解析式;

(2)P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点,在对称轴上有一动点M,当四边形AOCP 面积最大时,求|PM -OM|的最大时,点M 的坐标.

解析(1)AC 的解析式为过程略;

(2)首先需要解决的是在什么情况下四边形AOCP 面积最大? 再求|PM -OM|最大时,点M 的坐标;

如图4 所示, 过点P 作x 轴的垂线交AC 于点D, 发现四边形AOCP 面积可由ΔAOC 和ΔAPC 两部分组成,而ΔAOC 的面积是恒定不变的, 因此目前只需要ΔAPC面积最大即可; 因为点P 在抛物线上, 设P 点的坐标为故G 点坐标为

图4

图5

其次需要解决的是线段差的绝对值的最大值,P 点和O点为定点,动点M 在二次函数的对称轴上运动,因此动点轨迹为题目中二次函数的对称轴.此时定点P 点和O 点在动点M 运动轨迹的两侧,并不满足同侧差最大的模型特点,则需要将其中一个定点移动到动点M 运动轨迹的同侧,将其转化后使其满足模型特点.

小结该题则是利用二次函数本身的对称性, 将线段PM 转化为了P1M,使其满足两定点在动点运动轨迹的同侧,再使用模型求其最大值.

3 拓展与总结

该模型的运用不止在二次函数中,也可单独在几何中进行运用.在例1 和例2 中只使用了相似三角形和二次函数的对称性,还能涉及到其它知识点.除此以外还可以将其与GeoGebra 软件相结合,使函数和几何在GeoGebra 中精确的展示出来,还能展示其动点运动的过程,能很好的促进学生的理解和学习.其例题中的展示图就是使用GeoGebra 软件绘制的.

在以二次函数为背景求两线段和的最小值以及差的最大值时,需考虑异侧和最小同侧差最大的模型.而在求最值的试题中往往不会直接给出求两线段的最值问题,比如求三角形周长的最小值,此时三角形有一条边是定值,因此三角形周长的最小值就转化为了求另外两条线段和的最小值,最后再观察是否满足模型特点,若不满足特点则根据试题的已知条件需进行相应的转化.转化过程中又可结合相似三角形、全等三角形、二次函数的对称性等知识点要么把同侧边的两条线段转化为异侧,要么把异侧边的两线段转化为同侧.总之,如果遇到该类型的试题,我们需要灵活运用所学的知识点逐步进行转化,使其满足模型的特点.