例谈同构法在解题中的应用

虞哲骏

(浙江省宁波市镇海中学, 315200)

波利亚曾说“掌握数学就意味着要善于解题”.对于解题方法的研究,总能吸引许多数学爱好者为之探究.我们把具有相同结构的两个代数式不妨称为同构式,它们可由同一个代数式通过变量代换得到.同构法在近几年的高考和模考中频繁出现,所谓同构转化法,就是将式子的两边整理为结构一致的代数式(函数、方程或不等式),从中抽象出母函数,再利用函数的单调性解决问题.

同构法在使用时考验“眼力”,要求面对复杂的结构,能通过仔细观察、灵活变形达到解题的目的.本文结合实例,就以下四类问题谈谈同构法在解题中的应用,希望对同学们有所启发.

一、同构法在不等式中的应用

例1(2020年全国高考题)若2a+log2a=4b+2log4b,则( )

(A)a>2b(B)a<2b

(C)a>b2(D)a

分析通过方程的结构判断,将其变形为4b+2log4b=22b+log2b=22b+log2(2b)-1,符合同构放缩的模型,可直接构造函数求解.

解因为4b+2log4b=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),所以2a+log2a<22b+log2(2b).

设函数f(x)=2x+log2x,易得f(x)在(0,+∞)单调增.由f(a)

二、同构法在数列中的应用

解由条件可知

三、同构法在解析几何中的应用

例3(2021年全国高考题)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2，0),且⊙M与l相切.

(1)求C,⊙M的方程;

(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切,判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.

解(1)C的方程为y2=x,⊙M的方程为(x-2)2+y2=1.(过程略)

(2)设点A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3).

同理得直线A1A3的方程为x-(y1+y3)y+y1y3=0,直线A2A3的方程为x-(y2+y3)y+y2y3=0.

由直线A1A2,A1A3都与⊙M相切,得

①

②

练习(2021年全国高考题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

(2)若点P在圆M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求∆PAB面积的最大值.

四、同构法在函数中的应用

1.指数对数跨阶型

分析通过对不等式的结构判断,将其变形为(eax+1)ln eax≥(x2+1)lnx2,符合指数对数同构模型,由此构造函数求解.

解题设不等式等价于(eax+1)ln eax≥(x2+1)lnx2对任意x>0恒成立.

练习若关于x的不等式ex-a≥lnx+a对任意正实数x恒成立,则实数a的取值范围是( )

(C)(-∞,1] (D)(-∞,2]

参考答案:C.

2.双变量型

分析对不等式同构变形为f(x1)-mx1

解由题可知题设不等式等价于f(x1)-mx1

参考答案:(2,4].

综上所述,同构转化法体现了数学中等价转化的数学思想,其中蕴含的解题意识与技巧,是我们研究数学的一种常见思路.解题过程中要求同学们从已知式的结构出发,细心观察、大胆猜想,通过构造函数并利用其单调性解决问题.另外,同构转化法对同学们的直观想象能力、抽象概括能力、推理论证能力等提出了一定的要求.在解题实践过程中,要不断经历感知、抽象、认同、重构等过程,而这正是高中数学新课标核心素养中不可或缺的重要内容.