几何画板助力深度学习两例

文贵双

(甘肃省天水市一中 741000)

问题1 如图1，四边形ABCD是边长为4的正方形，一个动点P从点A出发，沿着边AB→BC→CD→DA运动，返回点A后停止运动，设点P走过的路程为x，将线段AP的长表示成x的函数f(x).

图1

解析当0≤x<4时，f(x)=x.

当12≤x<16时，AP=16-x.

这是2019年湘教版必修第一册习题3.1的15题的第一问.得到f(x)表达式后，可以知道函数的定义域、值域、单调性，还有什么特性？一时不知道.利用几何画板作出函数图象，如图2，图象类似钢笔的笔头，我们称为“笔头线”.图象的对称轴为直线x=8.我们再回到问题情境，通过思考点P的运动，线段AP长度的变化情况，也可得出图象的对称轴.由函数的图象归纳性质是研究函数的一种方法，但不能只依赖图象归纳性质，因部分图象得出结论未必可信，所以要提高利用函数解析式获得性质的能力.

图2

问题1可以得到如下变式：

如图3，正五边形的边长为1，一个动点P从点A出发，沿着边AB→BC→CD→DE→EA运动，返回点A后停止运动，设点P走过的路程为x，将线段AP的长表示成x的函数f(x).

图3

解析正五边形的内角为108°，点H为边CD.

当0≤x<1时，f(x)=x.

当1≤x<2时时，

当2≤x<3时，AC2=2-2cos108°，

当3≤x<4时，

当4≤x<5时，f(x)=5-x.

由问题1的解题经验，可以根据题意得出图象的对称轴是x=2.5，但函数的图象还不太明了，利用几何画板可以作出来，如图4.

图4 图5

图6

当P,Q同时在线段AD上时，结论同上.

点P,Q中一个点在线段上，一个点在圆弧上时，

图7 图8

问题2的变式如下：

当点P在线段EC上运动时，点Q在线段DF上运动，建立直角坐标系，设点P(1，tanθ)，则点Q(-1，tan(60°-θ))，15°≤θ≤45°.2a+b=(1,2tanθ+tan(60°-θ))，

图9

当点P继续运动重复上面情况.

图10

几何画板可以将一些抽象问题具象化呈现出来，使我们更加直观地了解问题本质；几何画板，让思维的过程可视化，探究的过程不断深入，我们在不断动手动脑、学思结合、数形互补中，思维能力得到了深度发展.