基于能量空间不对中非线性双转子振动特性分析

孙新亮，刘 军

（1.天津理工大学 天津市先进机电系统设计与智能控制实验室，天津 300384；2.天津理工大学 机电工程国家级实验教学示范中心，天津 300384）

旋转机械在航空航天、能源、电力、交通等工业领域发挥着至关重要的作用，是当今工业部门中应用最为广泛的机械设备，如航空航天发动机、燃气轮机、发电机等。各类旋转机械中转子是关键部件，工作在高温、高应力、高转速等恶劣环境中，振动问题不可避免又亟待解决。其中，转子不对中是除了转子不平衡之外最为常见的一类转子故障[1]。转子系统出现不对中故障后，运转会引发强烈振动、轴承磨损、转轴挠曲变形和转子与定子之间碰磨故障等[2-3]一系列不利于设备运行的动态效应时刻威胁着系统的稳定运行，危害极大。揭示出现不对中故障转子的振动特征和机理，对于识别和掌握转子系统的运行状态具有重要的现实意义。

当前，国内外众多的研究者已经针对转子不对中故障展开了深入研究。Liu等[4]对微小不对中转子系统进行了数值仿真和实验，发现系统在故障外激励下响应中包含非线性成分。Li等[5]研究了两端轴承径向间隙的不同对液压转子-轴承系统性能的影响，得出不同的径向间隙会导致转子不对中的结论。质量不平衡和不对中是转子系统最常见的故障类型，诸多研究者[6－10]通过建立具有不平衡和联轴器不对中故障转子模型，经数值仿真分析了耦合作用下的转子系统，发现不平衡主要与位于主共振附近的峰值有关，不对中故障与2ω附近的峰值有关，平行不对中故障放大了2ω响应振幅，2ω和4ω成分的振幅随着偏角不对中的增加而增加。同时，转子的不对中故障屡屡诱发碰磨故障。甄满等[11]分析了不对中度和碰磨参数对耦合故障系统的影响。Lu等[12]采用时频法分析了不对中故障对碰磨转子系统的影响。刘杨等[13]指出在不对中力矩与碰磨力的作用下，油膜失稳现象局部被抑制，1、2阶油膜振荡现象均滞后显现。另外，不对中故障造成转轴应力变化，进而产生了疲劳裂纹。Zhao等[14]提出了一种结合变分模态分解、概率主成分分析和卷积神经网络的噪声环境下裂纹和不对中故障识别方法。Garoli 和Castro[15]分析了故障参数不确定的多故障转子系统的随机响应，结果表明，裂纹和偏角不对中对2ω和3ω超谐波响应不确定度的影响更为突出。

考虑到实际发动机或发电机等多采用双转子的形式。张宏献等[16]建立了低压转子不同心的双转子有限元模型，结合数值仿真和实验结果分析了不同心对系统的振动频谱影响。Wang 和Jiang[17]考虑了联轴器的平行不对中和偏角不对中故障，建立了非线性双转子动力学模型，并分析不同转速、质量偏心、偏角不对中和平行不对中等故障对系统振动响应的影响。李明等[18]建立了非线性油膜力作用下柔性多跨转子系统模型，重点分析不同转速和不对中量下系统的非线性动力学行为。冯国全等[19]研究了双转子系统的固有特性，对比分析不同转速及不对中角度下系统的振动响应变化。徐梅鹏等[20]建立了高压转子支点不同心的双转子系统模型，通过频谱和轴心轨迹形状分析展示了不同心故障特征。甄满等[21]建立非线性不对中故障双跨转子系统有限元模型，利用相空间分析研究了不对中度对转子动力学响应的影响，结果表明不对中度会使非线性特征更加复杂，转子系统出现强2ω响应和4ω与6ω成分的偶数倍频分量。

但上述研究中罕有在考虑滚动轴承的非线性弹簧特性条件下，探究不对中双转子系统的非线性动力学响应特性。本文就此问题，采用Runge－Kutta法求得系统的振动响应。利用振动能量空间分析方法，研究了不同临界转速区域在能量空间的转子振动特性，不对中故障对系统的非线性振动特性及振动能量轨道的规律影响。研究结果可为双转子系统不对中故障诊断和振动控制提供理论依据。

1 系统动力学模型

1.1 双转子系统动力学模型

建立非线性不对中双转子简化模型如图1(a)所示。该四支点双盘结构模型的高压转子转轴为空心轴，通过支点B和中介轴承C点进行支撑，低压转子由支点A和D进行支撑。实际转子系统中的复杂叶片结构均简化为各轴上的单个刚性圆盘。当支点B与中介轴承C不同心时，高压转子产生不对中故障。

为了更好地引入转子的非线性弹簧特性，采用集中质量系统进一步简化系统模型。高、低压转子均简化为四自由度转子模型，即刚性圆盘安装在无质量弹性轴偏右端位置处，如图1(b)所示。模型中r为转子涡动位移，θ为偏转位移，τ为圆盘倾角，e为偏心距，中介轴承连接高、低压转子，造成双转子间的变量耦合。基于拉格朗日方程进行推导，可得双转子系统的动力学方程如式(1)和式(2)所示。

图1 转子模型

其中：上标符号^代表参数有量纲，m1和m2为圆盘质量，c11、c12、c21、c22、c31、c32、c41和c42为阻尼系数，α1、α2、γ1、γ2、γ3、γ4、δ1和δ2为系统的刚度系数，e1和e2为圆盘的偏心距，I1和I2为转轴的截面惯性矩，Ip1和Ip2为圆盘的极惯性矩，ω1和ω2分别为低压和高压转子的角速度，βτ1和βτ2分别为低压和高压转子的初相角。

1.2 不对中模型

由于支点不同心导致高压转子与低压转子偏角不对中，如图2所示。高压转子由气流力驱动，设高压转子的驱动力矩水平向左，坐标系O-xyz固连在高压转子上，z轴与高压转子轴心重合，两轴线的偏角为ϕ，力矩投影与x轴的夹角为β。将力矩沿坐标轴分解，如式(3)所示。

图2 不对中力矩分解示意图

进而得到局部坐标系下不对中力矩公式(4)[20]。其C=4 cosϕ/(3+cos(2ϕ))和D=(1-cos(2ϕ))/(3+cos(2ϕ))。

1.3 非线性恢复力模型

转子引发较大挠度变形时，由球轴承的轴承间隙限制造成的非线性弹簧恢复力非线性项的表达式可经势能V推导得到。首先，用极坐标(θ,φ)表示势能V，其表达式如下。

通过θx=θcosφ和θy=θsinφ进行直角坐标与极坐标变换，可得非线性项Nx和Ny表达式如下[22]。

其中：Nx和Ny分别代表x和y方向的非线性恢复力，为对称非线性项和非对称非线性项的系数。

为表征低压转子轴心偏移PL=对非线性弹簧恢复力的影响，引入比例系数μ，表征高压转子非线性弹簧恢复力对低压转子振动幅值的敏感性[23-24]。高压转子系统的非线性弹簧恢复力的成分描述见式(7)：

综合上述方程式(1)、式(2)、式(4)、式(6)和式(7)，得到无量纲化非线性不对中双转子系统耦合动力学方程如式(8)和式(9)所示：

2 振动特性分析

2.1 数值仿真分析

基于双转子系统的无量纲动力学方程式(8)和式(9)，采用反向旋转的双转子系统，数值模拟中低压转子和高压转子的转速比为−1 (ω=ω1=−ω2)[25]。模型中部分无量纲系数如表1所示。

表1 无量纲参数

双转子系统的振动响应曲线如图3(a)所示。横坐标为角频率，纵坐标为幅值。其中三角形表示低压转子的响应曲线，空心圆圈表示高压转子的响应曲线。该系统的振动成分如图3(b)所示，其中实线代表低压转子的频率成分，虚线代表高压转子的频率成分。在耦合情况下具有不对中故障的双转子系统中高压转子有3 个共振峰，分别在主谐波临界转速C2处和超谐波临界转速A2和B2处。在A2处高压转子诱发+2ω成分为主的超谐波共振，表明正向进动占主导。相反B2处出现频率成分主要以-2ω为主，表明主要为反向进动，在C2附近的振动频率成分主要为-ω。与高压转子相比，低压转子的振动特征呈现了复杂的振动现象。首先低压转子在低速区产生了若干超谐波共振峰，其中D 处的超谐波共振峰最为明显。其次，低压转子在A1、B1和C1处的峰值与高压转子相关密切。通过频谱对比可知，A1和B1分别产生+2ω和−2ω成分，c1处为−ω成分，其振动特性与高压转子规律相同。由于存在非线性弹性恢复力，高、低压转子的振动响应曲线均体现了硬弹簧特性。

通过分析图3 可知，虽然不对中故障诱发于高压转轴上，但在低压转子也显现出高压转子系统相似的动力学现象，表明由于中介轴承的耦合作用，高压转子两端支点不同心导致的不对中故障对低压转子系统的振动特性也有较大影响，不对中因素会通过中介轴承的耦合作用传递到低压转子上。

图3 双转子共振响应曲线和频谱

2.2 振动机理

为了进一步分析不对中故障产生的超谐波共振区域所对应的振动机理，计算双转子低速区附近的分岔图和庞加莱映射，结果如图4所示。

在图4(a)中，A点附近系统对应的庞加莱映射图中散点展现星系旋臂状，说明此时低压转子处在混沌运动状态。B点和C点处庞加莱映射图中存在环状散点，低压转子呈现概周期振动。在图4(b)中，A点和B 点庞加莱映射图中存在2 个散点，表明高压转子做2ω周期振动。C 点处庞加莱映射中只有一个不动点，表明高压转子做主谐波振动。

通过上述振动特征分析可知，低压转子受变量耦合和非线性因素等影响，在图4 中所示的阴影区域内发生了非线性振动现象，系统呈现复杂的概周期振动与弱混沌运动。鉴于高压转子两端支点不对中故障所产生的共振峰，同样出现在低压转子的振动响应中，这充分说明高压转子与低压转子之间通过非线性项和变量耦合进行着能量传递，间接地将故障影响扩展到整个双转子系统。

图4 双转子系统分岔图及庞加莱映射图

3 能量空间中的振动机理分析

3.1 振动特性分析

假设系统能量消损少，则系统的振动本质是动能和势能不断转换，借助振动能量变化可分析整个系统的动力学信息，将有助于剖析不对中故障对转子系统的振动机理的影响。基于Liu 等[23－24]提出的振动能量分析方法，在不对中故障工况下分析了非线性双转子中的能量变化过程。首先，建立x1-y1-V的三维能量空间，V为系统在该振幅状态下的弹性能量。基于无量纲系，弹性势能表达公式如下：

依据表1 中的系统参数条件，计算得到低压转子在超谐波共振区的能量轨道，如图5 所示。根据振动能量分析方法可知，能量轨道图展示了低压转子在谐波振动和概周期振动间的变化过程，该过程中，能量轨道从单环封闭能量曲线拓展成兜状能量曲面和梯台形筒状能量曲面，然后再演变回单环封闭曲线。当ω1=0.4和ω1=0.45时，能量曲面边缘表现出不规则趋势，佐证了在不对中故障和非线性弹性恢复力的作用下，低压转子存在弱混沌运动现象。回顾图3和图4分析论断，采用振动能量分析方法所得结论，与相空间分析方法相比，具有一致性。不同于分岔图和庞加莱映射图，能量轨道迁移更加形象地呈现了故障系统能量变化的过程。

图5 ω1=0.3～0.6时低压转子能量轨道迁移过程

3.2 基于能量轨道的能量传递分析

考虑具有中介轴承耦合的双转子系统中，高、低压转子的动力学方程中存在的复杂非线性耦合项，采用相空间分析法很难解耦，故难清晰地阐明复杂的非线性振动的诱发机理。为了定量分析，建立能量供给函数，通过研究转子间的能量传递规律，可以定量地表达不对中故障对转子振动能量的变化影响。

在非线性耦合条件下，假想超谐波临界转速附近的稳定能量轨道上从外界持续汇入的额外能量为Vx和Vy，外界能量的参与将导致系统的能量轨道结构发生变化。为了使能量供给函数模拟振动能量的供给，将能量轨道从空间中的单环封闭能量曲线变成空间中稳定能量曲面或非稳定能量曲面。当系统在临界转速附近进行能量交换时，能量供给函数应该保证系统能量维持周期性地增加或减少。综合考虑到转子的不对中故障会改变轴承的支撑负荷，使得不平衡量在能量传递过程中变得更加灵敏或迟钝，故设定能量供给函数如式(11)所示。

在图5 所示的系统参数条件下，取已知的低压转子能量轨道处于单环稳定状态下对应的频率，对能量参数A、B、pe1和pe2进行赋值，得到数值仿真结果如图6所示。

图6 ω1=0.35时系统能量供给仿真结果

低压转子在受到能量供给后，低压转子由谐波振动迁移至概周期振动。能量轨道由单环封闭能量曲线变化成边缘较为无规律的兜状能量曲面，与图5中的能量曲面相符。通过上述能量供给仿真结果可知，通过改变外界能量变化，会改变系统稳定的能量轨道结构，模拟出具有故障的转子振动形式的变化，说明对高压转子引入不对中故障，增加了转子系统振动的能量，经由中介轴承的能量传递，造成低压转子的振动状态的改变。

4 结语

基于构建的具有不对中故障的非线性双转子系统的动力学方程与振动能量方程，利用Runge-Kutta法完成系统的数值仿真计算，采取相空间分析和振动能量空间分析等方法，讨论了系统的振动特性，并在振动能量空间上初步定量分析了不对中故障工况下系统振动形态迁移变化的机理，结论总结如下：

(1)高压支点不对中故障的产生使得高压转子在低速区出现2 个超谐波共振峰，低压转子出现若干超谐波共振峰，其中高、低压转子前两个超谐波共振峰以及主共振峰密切相关。

(2)在超谐波临界转速附近，不对中故障造成系统产生2ω频率成分，且交替出现正向和反向进动，高、低压转子表现出相同的振动特性。

(3)尽管不对中故障发生在高压转子上，低压转子未直接发生不对中故障，但由于非线性因素和中介轴承的变量耦合等作用，在低压转子上也出现与高压转子系统相似的动力学现象，表明高压与低压转子之间通过非线性项进行着能量传递，间接地将故障影响扩展到整个双转子系统。

(4)运用振动能量空间分析方法，研究了不对中故障对系统振动特性及能量轨道迁移过程的影响，能量轨道在单环曲线和梯台形曲面间发生转变，表明不对中故障转子的振动状态在谐波振动、概周期振动和混沌运动间不断迁移。

(5)引入额外的振动能量后，发现转子能量轨道发生迁移现象，证实通过改变系统能量可改变系统的稳定能量轨道结构。