含空腔声学覆盖层等效参数理论与吸声机理研究

陈 杨，胡昊灏，董天韧，张嘉伟，周石头

（江苏科技大学 船舶与海洋工程学院，江苏 镇江 212100）

为了提高水下航行体的声隐身性能，一般会在结构表面敷设由橡胶类材料作为基体的声学覆盖层，其一方面起到吸收外场入射声波、降低声目标强度的作用，另一方面能有效抑制结构振动辐射噪声[1]。在声学覆盖层内部一般会嵌入周期性分布的空腔[2]、金属硬核[3]等材料以增加声能损耗，从而提高吸声系数，降低目标反射，这也导致其分析求解过程比均匀各向同性材料更复杂。

含周期空腔类声学覆盖层的吸声机理主要以共振、波形转换为主[4]，由于数值仿真软件的快速发展，近几年学者们利用COMSOL 多物理场耦合有限元软件对含周期空腔的声学覆盖层吸声规律进行了大量的探索，Ye 等[5]分析了变截面空腔形状对吸声系数的影响，Meng 等[6]指出钢板背衬与覆盖层构成的弹簧-质量系统共振能增强低频声吸收。尽管有限元软件能计算各类复杂单元的声吸收性能，但很难深入揭示吸声机理。Ivansson 等[7]采用解析法研究了含周期球形空腔的声学覆盖层吸声机理，指出这类周期单元产生声吸收的一个重要原因是弹性波遇到空腔壁面散射从而产生单极子共振。Leroy等[8]研究了含周期气泡的屈服应力流体层的声透射问题，发现出现最小声透射的频率并非对应的单个气泡单极子共振频率，而是略高于它。

当分析波长远大于空腔的尺寸时，可以利用准静态极限法则[9]将含空腔的声学覆盖层等效为各向同性均匀层，从而降低解析建模的复杂性。基于此本文从等效均匀化理论出发，建立含圆柱空腔声学覆盖层的吸声系数预报方法，并结合有限元数值仿真，多角度解释声学覆盖层吸声机理。

1 模型描述

所分析的模型如图1 所示，在覆盖层基体材料中沿x方向周期分布着一层水平圆柱空腔，声学覆盖层沿y方向的厚度为t，圆柱空腔的直径为d，空腔间距为a（晶格常数），为了简化解析计算过程，假定z方向为无限长，因此可以将图1(a)所示三维问题转化为二维问题，如图1(b)所示。

图1 含圆柱空腔的声学覆盖层示意图

2 吸声系数解析计算

本文基于准静态极限理论的等效参数法[9]，将图1含空腔的声学覆盖层等效为3层均匀各向同性层，如图2所示，均匀等效后的覆盖层上、下层仍为原来的基体材料，因此本节重点在如何得到中间层的等效参数（密度ρe、声速ce）以及等效厚度de，在此基础上利用传递函数法得到声学覆盖层的吸声系数表达式。

本节首先推导含圆柱空腔声学覆盖层均匀化后的整体等效密度ρg、整体等效声速ce以及整体等效体积模量κg，进一步得到图2 中间层的等效密度ρe、等效速度ce、等效体积模量κe。

图2 含圆柱空腔声学覆盖层均匀等效示意图

2.1 等效密度

声学覆盖层空腔均匀化后的整体等效密度ρg可以直接由平均理论给出：

其中：ρ为覆盖层基体材料密度，α是填充率，定义为空腔所占体积与覆盖层介质总体积之比。

2.2 等效声速与体积模量

令u代表纵向位移，那么含周期空腔弹性介质中的一维波动方程[10]形式为：

式中：cl=为基体材料纵波波速，κ和ρ分别代表基体材料体积模量和密度，β为集总参数，Ω0为周期圆柱空腔耦合共振频率。

假定时间因子为简谐，纵向位移为uejωt，将式(2)进一步整理为：

式(3)对应于一维Helmholtz方程：

式中：kg=ω/cg为覆盖层空腔均匀化后的整体等效波数，比较式(3)和式(4)，可得声学覆盖层空腔均匀化后的整体等效声速为：

上式中周期空腔耦合共振频率Ω0为[8]：

ω0则代表无限大基体材料中单个圆柱空腔的共振频率，ω0的值可通过求解如下方程得到：

至此，整体等效声速表达式中仍有集总参数β未知，下边将结合准静态极限理论得到集总参数的表达式。

当分析频率ω较小，集总参数β可以通过准静态极限法则确定[9]，这种法则认为，当分析的波长远大于覆盖层中空腔的尺寸时，可以认为弹性波在含空腔覆盖层中的传播规律与在均匀层中的传播规律一致。在这种情况下(ω趋近于0)，式(5)整体等效声速简化为：

同时由于整体等效声速满足关系：

文献[11]给出了准静态极限条件下含圆柱空腔声学覆盖层整体等效体积模量的表达式为：

其中：μ为基体材料剪切模量。联立式(1)、式(8)至式(10)，可得到准静态极限下集总参数β的表达式为：

进一步可获得覆盖层整体等效体积模量为

综上所示得到了整体等效密度ρg、整体等效声速cg以及整体等效体积模量κg，利用质量守恒以及平均压缩量守恒关系，可以获得图2 右图中间层的等效密度ρe、等效体积模量κe。

2.3 传递矩阵法求吸声系数

在得到含空腔的声学覆盖层均匀化等效参数后，利用传递矩阵法可以得出覆盖层的反射系数、透射系数和吸声系数等声学参数。

式中：T=称为传递矩阵。

由式(15)所示传递矩阵可得覆盖层的透射Tr、反射Re和吸声系数Q：

式中：zi、zt分别为平面波入射端和透射端流体介质的阻抗。

3 算法验证

为验证算法的正确性，在COMSOL有限元软件中建立如图3 所示的覆盖层周期单元仿真模型，其中PML 为完美匹配层，用来模拟无限大水域，将该模型的仿真结果与式(18)所示解析解的结果进行对比。

图3 含圆柱空腔周期单元有限元模型

覆盖层基底材料为橡胶，密度ρ=1100 kg/m3，杨氏模量E=7.1×107Pa，损耗因子为0.2，泊松比为0.49。覆盖层单元尺寸为L=10 mm，H=10 mm，内部圆柱空腔尺寸为：直径D=1 mm。水层和PML 厚度均为H=10 mm。

从图4 可以看到，利用均匀等效理论得到的声学覆盖层吸声系数与有限元仿真结果在中、低频范围内有较好的一致性，在5 500 Hz 以上的高频范围内，两者产生较大差异，这是因为准静态极限理论适用的范围是分析波长远大于周期空腔尺寸。

图4 解析和数值对比图

4 覆盖层声吸收机理研究

影响覆盖层声吸收的因素较多，包括背衬材料、空腔尺寸、基底材料参数、覆盖层厚度等等，由于篇幅限制这里不一一展开分析，仅以覆盖层厚度和空腔层数为例，从吸声曲线以及位移形变图多角度分析吸声机理。

4.1 覆盖层厚度的影响

本节讨论覆盖层厚度L对吸声性能的影响，保持其余参数不变，通过改变厚度得到图5 所示吸声系数曲线。对于不同厚度的覆盖层，第一阶吸声峰均出现在1 000 Hz附近，且峰值不明显，而第二阶吸声峰则随着厚度变化产生明显的频偏，厚度的增加使吸声峰值向低频偏移。图5是基于均匀等效理论通过解析计算得到的，为了能深入说明吸声机理，现利用COMSOL 软件画出覆盖层在某些频率处的位移分布图。

图5 覆盖层厚度对声吸收的影响

以厚度L=15 cm 的覆盖层为例，从图5 可知，第一阶与第二阶吸声峰值的频率约为1 000 Hz和4 000 Hz，图6为频率为1 000 Hz时的覆盖层位移分布，可以看出形变比较明显的位置（红色区域）发生在背衬板以及空腔与背衬之间的基体材料部分，而空腔本身形变甚微。此时可以理解为背衬板与较软的基体材料构成的所谓的“质量-弹簧”系统发生共振。

图6 1 000 Hz频点处覆盖层位移图

图7 给出了4 000 Hz 时覆盖层的位移分布图，此时运动形变主要发生在空腔周围，事实上利用文中给出的圆柱空腔共振频率公式(6)可得到该直径下共振频率为4 343 Hz，因此可以推断第二阶吸声峰值产生的机理与空腔共振有较大关联。需要指出的是，含周期单元的声学覆盖层声吸收往往是多重机理耦合作用的结果，例如图5中3条不同曲线的第二阶吸声峰有明显差异，虽然空腔直径未发生改变(空腔共振频率不变)，但由于覆盖层厚度变化影响了声波传播距离，以及声波在空腔与背衬板之间传播的散射或反射相位，最终导致厚度不同时二阶吸声峰产生明显频偏。

图7 4 000 Hz频点处覆盖层位移图

4.2 双层空腔模型声吸收

进一步提高声学覆盖层的吸声性能可以通过尝试多层空腔组合实现，本节将讨论双层圆柱空腔的声吸收机理。覆盖层内部空腔分布见图8，覆盖层的厚度L=16 cm，宽度H=5 cm，内部圆柱腔半径均为r=0.5 cm，两个圆柱腔之间的间隔L2=8 cm，L1=L3=4 cm，底部为L4=0.8 cm 厚的钢背衬，覆盖层基体材料参数与上文一致，整个模型浸没在水中，平面波从覆盖层左侧垂直入射。

图8 双层圆柱空腔覆盖层模型示意图

从图9 可以看出，通过布置双层圆柱空腔以及合理调整层间距等参数后，覆盖层的吸声性能明显改善，产生了新的吸声峰值。图10给出了双层空腔单元新的吸声峰值频率（约2 300 Hz）处的运动位移图，可以清晰看到主要形变发生在两层空腔之间的位置，换言之上下层空腔发生了强烈耦合，导致能量被消耗掉，最终得到较高的吸声系数。

图9 单、双层空腔吸声系数对比

图10 第一吸声峰频点位移图

5 结语

本文通过均匀化等效参数理论，将含圆柱空腔的声学覆盖层处理成多层各向同性材料，进而得到吸声系数、声学覆盖层厚度以及双层空腔等参数对声学覆盖层吸声机理的影响，得到如下几点结论：

(1)基于准静态极限准则的声学覆盖层均匀等效参数理论能较好预报中低频吸声系数，由于将声学覆盖层简化为多层均匀各向同性材料，所以能起到简化建模分析的作用；

(2)声学覆盖层的空腔共振是产生声吸收的主要原因，主要影响第二阶吸声峰值，同时要指出影响每一阶吸声峰值的因素是多元的，实际设计时需要考虑覆盖层参数与弹性波传播的关系；

(3)设置双层空腔结构能增强低频声吸收，这是因为双层空腔间产生强耦合从而消耗掉入射声能。