突破传统思维 拓展因式分解的方法

⦿甘肃省武威市凉州区下双镇九年制学校 赵之瑞

1 引言

在北师大版八年级数学下册教材中，因式分解的方法这部分内容只呈现了提公因式法和公式法[1].由于方法比较基础且少，导致很多学生只能解决一些常规的因式分解题，遇到比较灵活的问题仍难以解决.为此，教师不得不额外拓展因式分解的方法.所以，本文基于突破传统思维模式，整理了几种教材中没有介绍的因式分解方法，以期对教师教学和学生学习提供帮助.

2 分组分解法

提公因式法、公式法是因式分解常用的方法，但有的多项式只用这两种方法无法分解，如m2-4n2-2m+4n等.然而，仔细观察之后不难发现，m2-4n2明显符合平方差公式，-2m+4n也可利用提公因式法局部因式分解.

例1把m2-4n2-2m+4n分解因式.

解：原式=(m2-4n2)-(2m-4n)

=[m2-(2n)2]-2(m-2n)

=(m+2n)(m-2n)-2(m-2n)

=(m-2n)[(m+2n)-2]

=(m-2n)(m+2n-2).

这种因式分解的方法就是分组分解法.利用这种方法尝试解决下面的问题：

(1)分解因式：a2-2ab+b2-25.

(2)已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2-ab-ac+bc=0，试判断△ABC的形状.

分析：本题两个小题，利用课本中介绍的提公因式法和公式法无法解出，所以不妨尝试分组分解法，即把多项式中的某几项先分组，然后分别因式分解.

解：(1)a2-2ab+b2-25

=(a2-2ab+b2)-52

=(a+b)2-52

=(a+b+5)(a+b-5).

(2)由a2-ab-ac+bc=0，得

(a2-ab)-(ac-bc)=0.

所以，a(a-b)-c(a-b)=0.

即(a-b)(a-c)=0.

所以a-b=0，或a-c=0.

即a=b，或a=c.

所以，△ABC是等腰三角形.

总结与反思：分组分解法可用于解决比较复杂且各部分难以找到直接联系的因式分解问题，通过分组组合重新找到若干单项式之间的关系，然后结合传统的提公因式法、公式法实现因式分解的目的[2].所以，分组分解法的步骤是：一、分组；二、分解因式.

3 整体思想法(换元法)

在因式分解时，常会遇到带有括号的整式，如(m+n)2+2(m+n)+1等.这类问题明显无法直接利用提公因式法和公式法.但是，如果对这样的多项式进行如下处理，往往会获得意想不到的效果.

例2分解因式：(m+n)2+2(m+n)+1.

解：设m+n=a，则原式可转化为a2+2a+1，且a2+2a+1=(a+1)2.

所以，(m+n)2+2(m+n)+1=(m+n+1)2.

这种因式分解的方法就是整体思想法，即把带有括号的整式视为一个整体，用另一个“元”去代替它，让原本复杂的整式变得更简单.所以，这种方法又叫“换元法”.根据以上方法完成下面的问题.

分解因式：(1)(2a+b)2-10(2a+b)+25；

(2)(m2-4m+2)(m2-4m+6)+4.

解：(1)设2a+b=m，则原式可转化为m2-10m+25，且m2-10m+25=(m-5)2.

所以，(2a+b)2-10(2a+b)+25=(2a+b-5)2.

(2)设m2-4m+2=x，则原式可转化为x(x+4)+4，且x(x+4)+4=x2+4x+4=(x+2)2.

所以

(m2-4m+2)(m2-4m+6)+4

=(m2-4m+2+2)2

=(m2-4m+4)2

=[(m-2)2]2

=(m-2)4.

总结与反思：整体思想法(换元法)是非常重要的因式分解方法，在许多试题中常会出现，对学生的要求较高[3].特别是像例2相应的练习题(2)中换元法的利用非常灵活.纵观整个解题过程，整体思想法(换元法)的步骤是：一、换元；二、分解因式；三、还原(将“元”还原成之前所设的多项式).

4 拆项法

我们都知道，对于x2+6x+9这样的多项式，可以利用公式法中的完全平方公式直接因式分解.但是，如果出现了像x4-3x2+1这样的多项式，在因式分解时无法直接利用公式法，那么就需要对它作如下灵活处理.

例3分解因式：x4-3x2+1.

解：x4-3x2+1=x4-(2x2+x2)+1

=x4-2x2-x2+1

=(x4-2x2+1)-x2

=(x2-1)2-x2

=(x2-1+x)(x2-1-x).

这种因式分解的方法就是拆项法，即把其中的某一项拆成两项之和或差，然后利用“分组分解法”进行因式分解.另外，从上述解题过程也可看出，拆项法是分组分解法、公式法的结合.根据以上方法完成下面的因式分解：

(1)分解因式：x4-7x2+9.

(2)已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2-4a-6b+13=0，求这个等腰三角形的周长.

解：(1)x4-7x2+9=x4-(6x2+x2)+9

=x4-6x2-x2+9

=(x4-6x2+9)-x2

=(x2-3)2-x2

=(x2-3+x)(x2-3-x).

(2)由a2+b2-4a-6b+13=0，得

a2+b2-4a-6b+4+9=0.

所以，a2-4a+4+b2-6b+9=0.

即(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0.

即(a-2)2+(b-3)2=0.

所以a-2=0，b-3=0.

即a=2，b=3.

因为a，b是一个等腰三角形的两边长，所以存在两种情况：

当腰为2，底为3时，等腰三角形的周长为7；

当腰为3，底为2时，等腰三角形的周长为8.

综上所述，这个等腰三角形的周长为7或8.

总结与反思：拆项法首先需要将其中的某一项拆成若干项，然后再分组分解因式[4].所以，拆项法是分组分解法和其它方法的组合.从例3相对应的练习题(1)(2)的解题过程可以看出这种方法的步骤是：一、拆项；二、组合；三、分解因式.

5 结语

因式分解作为初中数学非常重要的知识，它与很多知识点的考查结合得非常紧密，所以掌握因式分解对学生而言非常重要.本文中介绍了除课本之外的三种不同方法，当然还有其他的方法.但是，不管是何种方法，课本中的提公因式法和公式法都是基础.所以，作为一线数学教师，不仅要让学生牢固掌握两种基本方法，还需在加强训练的情况下总结不同的方法，以不断拓展学生的思维和提高解决问题的能力.