数学开放性作业，让学生学会深度思考

刘亚男

［摘  要］ 精心设计数学开放性作业的目的是让学生学会深度思考。文章以人教版小学数学教材中的知识点为例，通过设计“观点辩论”型作业，帮助学生在辨析中弄清本质；设计“联系区别”型作业，帮助学生在比较中寻找关联；设计“探究操作”型作业，帮助学生在动手中发现奥秘；设计“梳理总结”型作业，帮助学生在反思中查漏补缺。

［关键词］ 数学开放性作业；作业改革；深度思考

数学开放性作业是指这类数学作业的答案不唯一，没有固定的书写格式，以学生视角允许他们发表不同的观点，教会学生准确表达和深度思考，培养他们的创造性思维。因此，数学开放性作业既体现了数学新课标的要求，又体现了“作业十项管理”中的“创新作业类型方式”。

笔者结合人教版小学数学教材为学生量身定制了高质量的“观点辩论”型、“联系区别”型、“探究操作”型、“梳理总结”型等数学开放性作业，使其成为数学基础性作业的补充，让他们在数学开放性作业中有个性化的表达。

[?]一、设计“观点辩论”型作业，在辨析中弄清本质

“观点辩论”型作业是指教师围绕学生易混淆的数学概念或公式，以学生的口吻出示不同的观点，让他们选择自己认为正确的观点，并自圆其说地阐述理由。此类型作业聚焦某个数学知识点，让学生展现自己的思考过程，在追根溯源中直达数学本质。

如在教学“扇形统计图”后，笔者让学生完成以下作业。

有人说：我们已经学过条形统计图和折线统计图了，不用再学习扇形统计图了。你是否同意这个观点？结合具体例子写出你的理由。

该项作业是基于学习扇形统计图必要性的追问，教师借助“有人说”的口吻，引导学生结合不同统计图的特点和各自优缺点，在分析、比较中选择能直观、有效表示信息的统计图，进一步加深学生对这三种统计图特点的认识。

又如在教学“数学广角——集合”后，笔者让学生完成以下作业。

音乐兴趣小组中会弹琴的有25人，會唱歌的有30人，既会唱歌又会弹琴的有16人，两样都不会的只有3人。音乐兴趣小组一共有多少人？

小红说：音乐兴趣小组一共有25+30+16+3=74（人）。

小华说：音乐兴趣小组一共有25+30-16+3=42（人）。

小东说：音乐兴趣小组一共有25+30+16-3=68（人）。

你同意谁的说法？请你结合维恩图写出理由。

该项作业是基于集合知识的基础题，题目没有给出维恩图和两个集合的元素，只给出了两个集合及它们的交集、补集的元素个数，让学生求出两个集合并集的元素个数。旨在脱离具体的元素，从集合元素个数的角度，让学生进一步理解集合概念的含义和交集、并集、补集。

教师巧妙地模拟班级学生的思维路径出示了几种解答过程，让学生在学习重难点处展开辨析，借助画出维恩图，呈现自己真实的思考过程，学会用集合思想解决实际问题，加深对集合思想的理解。

[?]二、设计“联系区别”型作业，在比较中寻找关联

“联系区别”型作业是指教师给出两组或几组具有关联的数学知识点，让学生用文字或画图等方式表征出它们之间的联系和区别。此类型作业是小切口引出深分析，可能是同一知识点不同题型之间的关联，也可能是不同知识点之间的关联。

如在教学“多位数乘一位数”后，笔者让学生完成以下作业。

请你先用不同方法计算12×3，16×4和24×9，再试着说出这三道两位数乘一位数的乘法题的联系和区别。

该项作业是基于同一个单元中不同的两位数乘一位数乘法之间的比较，学生可以指出同一道乘法题不同方法之间的联系和区别，通过画图、口算和竖式等多元表征的转化，理解每一位上的数表示的含义，将动作表征和符号表征紧密联系起来。学生还可以指出三道两位数乘一位数的乘法题之间的联系和区别，发现它们的算理和算法都是相同的，区别在于是否进位。

又如在教学“小数的加法和减法”后，笔者让学生完成以下作业。

小数加减法和整数加减法有哪些联系和区别？（提示：可以举例来说明）

该项作业是基于不同年级的上位知识和下位知识之间的比较，学生不仅要会正确口算和用竖式计算小数加减法，还要站在较高的视角寻找比较相关知识的角度，比如从研究小数加减法的过程角度、从计算的算理和算法角度、从混合运算的运算顺序角度、从加法和乘法运算定律角度等来比较。

[?]三、设计“探究操作”型作业，在动手中发现奥秘

“探究操作”型作业是指教师为学生提供可探究、可操作的学习素材，学生运用已有的知识和生活经验发现数学奥秘，让数学学习变得既有趣又有深度。此类型作业是对所学知识的补充和拓展，需要学生动手、动脑、动口，有时还需要小组分工合作，共同完成一项探究任务。

如在教学“分数的初步认识”后，笔者让学生完成以下作业。

设计花坛

有一块边长是10米的正方形空地，现在要在空地上设计一个花坛，使花坛的面积是空地面积的1/2。请你在下面的正方形中尽可能多地画出你的设计图。（注：在学生的练习纸上画36个这样的正方形）

该项作业是一道运用分数知识的综合实践题，需要学生从不同的角度探索解决问题的策略，运用所学知识解决生活实际问题。对于这道开放题，学生通常能想到5种或6种不同的设计方案，教师需要引导学生探究出更多的设计方案，并对画图策略进行分类：“映射”型、“有序排列”型、“化直为曲”型、“运用分数基本性质”型、“图形的组合（拆分）”型、“间隔取”型、“旋转”型、“整体认知”型等。

又如在教学“圆锥的体积”前，笔者让学生完成以下作业。

“圆锥的体积”研究报告

下面的圆柱和圆锥底面积相等，高也相等。

1. 估一估：这个圆锥的体积是圆柱的几分之几？

2. 验证：用什么办法来检验你的估计？先想一想你需要哪些工具和材料。准备用哪几个步骤完成你的验证？然后做一做实验，记录你的实验过程和结论。

3. 根据你的实验，想一想可以怎样求圆锥的体积。

如果用V表示圆锥的体积，S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高，圆锥的体积公式可以怎么写？

4. 对于今天的学习内容，你还能提出什么问题？

该项作业是一份关于探究圆锥体积的实验报告，学生基于前期圆柱体积的学习经历，先猜测圆柱和圆锥体积之间的大小关系；再通过圆柱和圆锥形容器相互倒沙子或水的实验，探究等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系；最后在实验中发现等底等高圆柱和圆锥体积的关系，推导出圆锥体积的计算公式。

[?]四、设计“梳理总结”型作业，在反思中查漏补缺

“梳理总结”型作業是指学生解完某道题目，学完某个知识点或某个单元后，尝试用自己喜欢的方式梳理总结做过的题目或学过的内容。此类型作业能提高学生的总结和反思能力，让他们借助“费曼学习法”构建知识框架，有序且全面地画出思维导图。

如在教学“笔算两位数乘两位数（进位）”后，笔者让学生完成以下作业。

回顾两位数乘两位数（进位）竖式的计算过程，写一写笔算两位数乘两位数（进位）的计算步骤和需要注意些什么。（提示：可围绕“乘的顺序”“积的位置”“进位的处理方法”等展开）

该项作业是基于一节课的梳理总结，当学生合上数学课本，尝试回忆一节课中学到了哪些知识，他们会像“小老师”一样先选择某个知识点用自己的语言组织出来并写在纸上，然后把学到的知识流畅地复述一遍，如果遇到不会的地方重新巩固后再写下来，直到真正理解为止。

又如在复习“角的度量”单元前，笔者让学生完成以下作业。

同学们，我们学习了“角的度量”这个单元，本单元知识有认识线段、直线和射线，角的度量、角的分类和画角等内容。请你用思维导图整理本单元的知识点，并收集一道“好题”，阐述好在哪里。

该项作业是基于一个单元的梳理总结，当学生学完一个单元的知识后，借助“思维导图”，由几个关键词构建出整体框架，在层层分支中细化对知识点的理解，厘清知识之间的逻辑关系，最终在学生头脑中形成知识网络。学生绘制思维导图，能增强他们充分利用右脑超强记忆的能力。在这一过程中，学生养成了反思习惯，提高了复习效率。

总之，数学开放性作业充分尊重学生的天性，为每个学生打开了一扇数学思考和表达的天窗，让他们敢于表达和学会表达，在表达中促进他们的深度思考和多角度看问题，从而发展他们思维的概括性、间接性、逻辑性、深刻性、灵活性、独创性、批判性和敏捷性，提高他们分析和解决问题的能力。