图像支架 驱动数学思维进阶

陈芳

《义务教育数学课程标准》指出，数学在发展人的理性思维中，起着不可替代的作用。小学生的思维特点是以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡，并且处于抽象思维迅速发展的时期，但这种抽象思维很大程度上还需要感性材料的支持。

图像，可以让抽象的数学思维可视化，变得生动、形象，辅助学生理解数量关系，形成空间思维。我们以图像为支架，介入教与学，让图像在儿童天性与学科本质之间架构一座桥梁，在教与学之间搭建一条通道，驱动学生数学思维进阶。

一、沟通表征关系，丰富图形直观

图像能把本来不可视的思维（思考方法和思考路径）呈现出来，使其清晰可见。这种被“可视化”的思维，更有利于大脑理解和记忆，因此可以有效提高信息加工及信息传递的效能。

学生是存在个体差异的，同样的一个问题，会有不同的表征方式。以二年级上册《求比一个数多几的数是多少》为例，教师实施“呈现丰富表征→沟通表征关系→揭示问题本质”的步骤，采用师生讨论、生生讨论的方式，让学生一步一步接近问题本质，引导学生思维进阶。

分析比较学生采用的不同表征方式，都表示出相同的题意。教师要在课堂上选取多种典型的表征方式，组织生生互动、师生互动加以分析，虽然拉长了教学过程，却能让学生看到问题的本质。运用数学图像，丰富学生表征，能够在强化学生感知的基础上，丰富表象，拓宽渠道，为思维抽象积累材料。

二、关注互相转化，透析数量关系

运用数学图像解决实际问题的过程中，学生正经历着各种形式的转化，在这过程中，教师要渗透转化的数学思想，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生进行有数学味的思考。

1.由图像表征联结到符号表征

你能看图求出一共有多少人吗？

原形图以矩形模型呈现，学生在把图形转化为算式前，可以选择横着看、竖着看等不同的角度进行观察，理解数量关系，列出“5×4+4和5×5-1”乘加、乘减两种算式。同时，通过算式联想原形图，如果“5×4+3”座位表又是如何的呢？如果“5×4+3×2”呢？图式转化，驱动学生思维发展。

2.由文字表征联结到多维图像

你能在这幅图中表示出李明家的路程与时间的关系吗？

李明上学去，走到半路突然想起忘记带美术材料，又返回家里拿，然后一路小跑去学校。

由文字信息转化成的二维图像，让学生在二维图像中明确李明的行走时间和路程的关系，分析数量关系。同时，也要注重引导学生从二维图像出发，还原现实情境。图文转化，驱动学生思维发展。

3.由二维图像联结到一维图像

你能在一条线段上表示出李明的路程吗？

在行程问题中，把二维图像和一维图像互相转化，能够进一步透析行程问题的数量关系。一维图像只表示了李明行走的路程，而二维图像既表示了李明行走的路程，也表示了行走的时间，信息更为丰富。图图转化，驱动学生思维发展。

三、图像纵横融合，建构数学模型

模型是一种表达形式，数学模型是对数学内容的高度抽象和概括，是最本质且最简练的表达。而将数学问题以图式的模型化方式呈现，不仅可以帮助学生剥离情境的外套，还可以利用图式打通数学思维通道，抓住数量关系的本质特征。

以五年级《实际问题与方程》例5的教学为例。教师可以运用图像纵横融合，开展以下教学。

1.求同存异，发现共性问题

在线段图变与不变中，学生亲眼经历了第二幅线段图的产生过程，亲身体会到工程问题就是变身后的相遇问题，两个问题之间存在着以下关系：

2.初建模型，横向对比融合

比较例题和上面两题，教师以线段图作为支撑，用算式作为提炼，从而更加直观、形象、具体地让学生感受了这是一个怎样的数学模型。从结构上来讲，这其实是部总关系模型，这种模型讲述的是总量与部分量之间的关系。

至此，这个模型的内容是单薄的，需要各种各样的相遇问题去充实支撑这个模型。教师变换情境，让学生在同一幅线段图中填一填，说一说各题的等量关系（如下图）。从而让学生感受到图不变，变的是每部分的名称和所求部分的名称，等量关系的结构没有变。通过这样的横向对比，以大量丰富的具体情境作为认识的感性支撑，学生的思维已经不再拘泥于相遇问题了，同时也对相遇问题又有了更加深入、更加本质的认识。

3.完善模型，纵向变式融合

完善□×□＋□×□＝□与□＋□＝□结构的融合。前面解决的问题，求部分量都是需要两个量相乘得到的，可以增加直接用一个量来表示部分量。

在建模的基础上，打破模型，让学生体会到要根据实际情况表示部分量，不管其中的部分量采用怎样的表达形式，它们的等量关系结构仍然是不变的，依旧是部分量与总量的关系。

完善□＋□＝□√与□＋□＋…＋□＝□结构的融合。打破两个量相加这个固定框架，又增加一个量，变成三个量或更多量相加的关系，但他们的等量关系结构仍然是不变的，依旧是部总关系。

完善相遇问题与追击问题的融合。例如，教材课后习题14（如下图）。

初读题目，学生觉得是追击问题。其实教材的意图是引导学生观察数量关系结构，从而将这个数学问题纳入部总关系中，利用数量关系将相遇问题与追击问题进行融合，真正将模型内化于学生心中，帮助学生提高解决问题的能力。

以图像为支架，搭建教学平台，让学生在知识的产生、形成、理解、运用过程中，经历形象思维过渡到表象思维、表象思维上升到抽象思维、零散无结构的知识散点转变为结构化的知识网，真正驱动学生数学思维顺利进阶。