一类具有脉冲的二阶随机发展方程温和解的存在性
2023-03-16 12:06吴博范虹霞
哈尔滨理工大学学报 2023年5期
吴博 范虹霞
摘 要：在Hilbert空间中研究一类具有瞬时脉冲的二阶非自治随机发展方程温和解的存在性。在不要求发展系统紧性的条件下， 利用Sadovskii′s不动点定理和非紧性测度理论得到了该方程温和解的存在性结论，并给出一个例子说明了所获的结果。
关键词：随机发展方程; 非紧性测度; Sadovskii′s不动点定理; 瞬时脉冲; 温和解
DOI：10.15938/j.jhust.2023.05.016
文献标志码： A
中图分类号： O175.6
文章编号： 1007-2683（2023）05-0128-08
Existence of Mild Solutions for a Class of Second-order
Stochastic Evolution Equations with Impulses
WU Bo， FAN Hongxia
（College of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）
Abstract：The existence of mild solutions for a class of second-order non-autonomous stochastic evolution equations with instantaneous impulses is studied in Hilbert space. By using Sadovskii′s fixed point theorem and the theory of measure of noncompactness， the existence of the mild solution of the equation is obtained without the necessity of assuming that the corresponding evolution family is noncompact. Finally， one example is given to illustrate our main results.
Keywords：Stochastic evolution equation; measure of noncompactness; Sadovskii′s fixed point theorem; instantaneous impulse; mild solution
收稿日期： 2022-04-15
基金项目： 国家自然科学基金（11561040）.
作者简介：
吴 博（1999—），女，硕士研究生.
通信作者：
范虹霞（1978—），女，教授，E-mail：ffls0217@126.com.
0 引 言
在机械、电子信息、金融市场等诸多领域， 都存在着在一定时间内的瞬时扰动和突变， 通常将这种变化称为脉冲效应。 近几十年来， 脉冲常微分方程、脉冲偏微分方程及脉冲分数阶微分方程被广泛研究［1-3］。 由于噪声或随机扰动在自然界和人工系统中都是不可避免的， 所以脉冲随机微分发展方程自然地出现在广泛的应用领域［4-6］。 2020年， SINGH等［7］利用Banach压缩映射原理研究了下列二阶非自治随机脉冲微分方程
dy′（t）=［A（t）y（t）+Bu（t）+F（t，y（t））］dt+
G（t，y（t））dW（t），t∈［0，T］，t≠tk
y（0）=φ，y′=χ
Δy（tk）=Ik（y（tk）），k=1，2，3，…，m
Δy′（tk）=Jk（y（tk）），k=1，2，3，…，m
温和解的存在唯一性和近似可控性。
非局部问题是由BYSZEWSKI［8］首次提出的， 与经典的初值问题相比， 非局部问题在实际的物理问题中有更广泛的应用， 因此得到了学者的广泛关注和深入研究。 2021年， CHEN［9］在发展系统非紧的条件下， 利用非紧性测度理论和不动点定理， 在Hilbert空间中研究了如下具有非线性噪音和非局部初始条件的非自治随机发展方程
du（t）=［A（t）u（t）+f（t，u（t））］dt+
g（t，u（t））dW（t），t∈J
u（0）=H（u）
温和解的存在性。
受上述文献的启发， 本文研究具有瞬时脉冲的二阶非自治随机发展方程非局部问题
du′（t）=［A（t）u（t）+f（t，u（t））］dt+
g（t，u（t））dW（t），t∈［0，a］，t≠tk
u（0）=h1（u）
u′（0）=h2（u）
Δu（tk）=Ik（u（tk））
Δu′（tk）=Jk（u（tk）），k=1，2，…，m（1）
温和解的存在性， 其中状态函数u（·）取值于实可分Hilbert空间H中，H中的内积与范数分别为（·，·）和‖·‖， A（t）：D（A（t））H→H是闭线性算子， 其定义域D（A（t））=D（A）在H中稠密且与t无关。 令K为另一实可分Hilbert空间， 其内积和范数分别为（·，·）K和‖·‖K。0=t0
1 预备知识
假设（Ω，F，{Ft}t≥0，P）为一完备赋流概率空间， 流{Ft}t≥0为F的一列右连续单调递增的子σ-代数族， 并且F0包含所有概率测度为0的集合。 令{ek，k∈N}为K中的一组完备标准正交基， 假设{W（t）∶t≥0}是定义在概率空间（Ω，F，{Ft}t≥0，P）上具有有限迹协方差算子Q≥0的圆柱形K-值Wiener过程， 记Tr（Q）=∑∞k=1λk=λ<∞且满足Qek=λkek，k∈Ν。令{Wk（t），k∈Ν}为一列在（Ω，F，{Ft}t≥0，P）上相互独立的一维标准Wiener过程， 则其满足W（t）=∑∞k=1λkWk（t）ek。设Ft=σ{W（s），0≤s≤t}是由W和Fb=F所生成的σ-代数。 对φ，ψ∈L（K，H），定义（φ，ψ）=Tr（φQψ），其中ψ是ψ的伴随算子。 对任意有界算子ψ∈L（K，H），有‖ψ‖2Q=Tr（ψQψ）=∑∞k=1‖λψ ek‖。若‖ψ‖2Q<∞， 则称ψ为Q-Hilbert-Schmidt算子。
令L1（［0，a］，H）表示所有H-值Bochner积分函数构成的Banach空间， 范数定义为‖u‖L1= ∫a0‖u（t）‖dt。 L2（Ω，H）表示所有强可测、平方可积H-值随机变量所构成的Banach空间， 赋以范数‖u（·）‖L2=（E‖u（·，W）‖2）12，其中Eu=∫Ωu（W） dP为数学期望。 L2（Ω，H）的子集L20（Ω，H），记L20（Ω， H）={u∈L2（Ω，H）|u是F0-可测的}。记PC（［0， a］，L2（Ω，H））={x∶［0，a］→L2（Ω，H），x在t≠tk时连续，x（t－k）=x（tk）且x（t+k）存在，k=1，2，…，m}。 显然，赋予范数‖u‖PC=（supt∈［0，a］E‖u（t）‖2）12的PC（［0，a］， L2（Ω，H））是一个Banach空间。 令PC1（［0，a］，L2 （Ω，H））={x∈PC∶x′在t≠tk时连续，x′（t－k）=x′（tk），且x′（t+k）存在， k=1，2，…，m}。 于是具有范数‖x‖1=‖x‖PC+‖x′‖PC的空间PC1（［0，a］，L2（Ω，H））也是一个Banach空间。
考虑抽象的二阶非自治发展方程初值问题
x″（t）=A（t）x（t）+f（t）， 0≤t≤a
x（t）=x0，x′（t）=y0（2）
其中A（t）∶D（A）H→H是闭的稠定线性算子， f∶［0，a］→H为适当定义的函数， 对问题（2）温和解的研究都是基于与之对应的齐次发展方程
x″（t）=A（t）x（t），0≤t≤a
生成的发展系统S（t，s）， 其中0≤s≤t。 下面给出所需的发展系统S（t，s）的定义。
定义1［10］ 若有界线性算子族{S（t，s）}（t，s）∈Δ∶ H→H，Δ∶={（t，s）∈［0，a］×［0，a］∶s≤t}，满足下述条件：
（Z1） 对任意x∈H，（t，s）→S（t，s）x是连续可微的， 且
（a） 对t∈［0，a］， S（t，t）=I;
（b） 对（t，s）∈Δ，x∈H，tS（t，s）x|t=s=x，及 sS（t，s）x|t=s=－x。
（Z2） 对（t，s）∈Δ，若x∈D（A），则tS（t，s）x∈ D（A），（t，s）→S（t，s）x∈H是二阶连续可导的，并且
（a）2t2S（t，s）x=A（t）S（t，s）x;
（b）2s2S（t，s）x=S（t，s）A（s）x;
（c）stS（t，s）x|t=s=0。
（Z3）对（t，s）∈Δ，若x∈D（A），则sS（t，s）x∈D（A），2t2 sS（t，s）x∈D（A），2s2 tS（t，s）x∈D（A），并且
（a）2t2sS（t，s）x=A（t）sS（t，s）x;
（b）2s2tS（t，s）x=tS（t，s）A（s）x。
此外，（t，s）→A（t）sS（t，s）x是连续的， 则称它为方程（2）的齐次发展方程的发展系统。
方便起见， 定义算子C（s，t）=－sS（t，s），假设存在正常数M、N使得
sup0≤t，s≤a‖S（t，s）‖≤M，sup0≤t，s≤a‖C（t，s）‖≤N（3）
由算子C（t，s）的强连续性， 对（t，s）∈Δ， x∈H有
S（t，s）x=－∫tsξS（t，ξ）xdξ=∫tsC（t，s）xdξ（4）
下面给出有关Kuratowski非緊性测度的定义和性质。
定义2［11］ 设SX有界， 则S有限覆盖最大直径的下确界
α（S）∶=inf{δ>0|S=∪mi=1Si，d（Si）≤δ，i=1，…，m}
为S的Kuratowski非紧性测度。
引理1［12］ 设X，Y是实Banach空间， S、U是X中的有界集， 则有下列性质：
1）S相对紧α（S）=0;
2）α（S）=α（S）=α（convS），其中S和convS分别是S的闭包和凸包;
3）若SU， 则α（S）≤α（U）;
4）α（S+U）≤α（S）+α（U）， 其中S+U={x+y∶x∈S，y∈U};
5）α（S∪U）≤max{α（S），α（U）};
6）α（λS）≤|λ|α（S）， 其中λ∈
;
7）若映射Q∶D（Q）X→Y是Lipschitz连续的， 且Lipschitz常数为k， 则对任意的有界集SD（Q）， 有α（Q（S））≤kα（S）。
本文用α（·）和αPC（·）分别表示L2（Ω，H）和PC（［0，a］，L2（Ω，H））中有界集的Kuratowski非紧性测度。
引理2［12］ 设X是Banach空间， DPC （［0，a］，X）是有界且等度连续集， 则α（D（t））在［0，a］上连续， 并且αPC（D）= maxt∈［0，a］α（D（t））。
引理3［13］ 设X是Banach空间， DX有界， 则存在可数集D0D， 使得α（D）≤2α（D0）。
引理4［14］ 设X是Banach空间， D={un}PC（［0，a］，X）是有界可数集，则α（D（t））在X上Lebesgue可积， 并且
α（{∫a0un（t）dt∶n∈
綃 }）≤2∫a0α（D（t））dt
定义3［15］ 若函数t
MT ExtraaA@ S（t，s）对于t∈（s，+∞）依算子范数连续， 则称发展族{S（t，s）∶0≤s≤t≤a}为等度连续的。
引理5［16］ 若函数g∶［0，a］×L2（Ω，H）→L （K，H）连续且u∈PC（［0，a］，L2（Ω，H））则
E‖∫a0g（t，u（t））dW（t）‖2≤Tr（Q）∫a0E‖g（t，u（t））‖2dt。
定义4［17］ 设S是Banach空间X中的一个非空子集， 若对任意有界集DS， 满足α（Q（D））<α（D），则连续映射Q∶S→X称为凝聚的。
定理1［17］ （Sadovskii′s不动点定理） 设X是Banach空间， DX为有界凸闭集， 若Q∶D→D是凝聚算子， 则Q在D上至少有一个不动点。
下面给出问题（1）温和解的定义。
定义5 若随机过程u∈PC（［0，a］，L2（Ω，H））满足下列条件
1）u（t）是Ft-适应的过程;
2）对几乎处处的t∈［0，a］，u（t）∈H有cádlág路径（右连续左极限存在）;
3）对t∈［0，a］， 有
u（t）=C（t，0）h1（u）+S（t，0）h2（u）+
∫t0S（t，s）f（s，u（s））ds+
∫t0S（t，s）g（s，u（s））dW（s）+
∑0 ∑0 则称u是非局部问题（1）的温和解。 令r>0为有限常数， 记 Br={u∈PC（［0，a］，L2（Ω，H））∶‖u‖2PC≤r}。 2 主要结论 为了得到问题（1）温和的存在性， 给出下列假设条件： （H1）对（t，s）∈Δ，A（t）生成的强连续发展系统S（t，s）等度连续。 （H2）函数f∶［0，a］×L2（Ω，H）→L2（Ω，H）连续，对于r>0，存在正常数ρ1及函数φr∈L1（［0，a］， +），使得对几乎处处t∈［0，a］，u∈L2（Ω，H）满足E‖u（t）‖2≤r，有 E‖f（t，u）‖2≤φr（t），limr→+∞inf‖φr‖L1（［0，a］， +）r∶=ρ1<+∞。 （H3）函数g∶［0，a］×L2（Ω，H）→L（K，H）连续，对于r>0，存在正常数ρ2及函数ψr∈L1 （［0，a］， +），使得对几乎处处t∈［0，a］，u∈L2（Ω，H）满足E‖u（t）‖2≤r， 有 E‖g（t，u）‖2≤ψr（t），limr→+∞inf‖ψr‖L1（［0，a］， +）r∶=ρ2<+∞。 （H4）函数h1，h2∶PC（［0，a］，L2（Ω，H））→L2（Ω，H）连续， 存在正常数ρ3，ρ4及非减连续函数Ψ1，Ψ2∶ +→ +，使得对r>0，u∈Br，有 E‖h1（u）‖2≤Ψ1（r），limr→+∞infΨ1（r）r∶=ρ3<+∞， E‖h2（u）‖2≤Ψ2（r），limr→+∞infΨ2（r）r∶=ρ4<+∞。 （H5）脉冲函数Ik，Jk∶H→H，k=1，2，…，m连续，存在正常数ak，bk，k=1，2，…m，使得对u，v∈H有 ‖Ik（u）－Ik（v）‖2≤ak‖u－v‖2，‖Ik（0）‖=0， ‖Jk（u）－Jk（v）‖2≤bk‖x－y‖2，‖Jk（0）‖=0。 （H6）存在正常數Lf，Lg，Lh1，Lh2，LIk，LJk， 其中k=1，2，…，m，对有界可数子集DPC（［0，a］， L2（Ω，H）），t∈［0，a］有 α（f（t，D）） α（h1（D）） α（Ik（D）） （H7）2N［Lh1+∑mk=1LIk］+2M［Lh2+2aLf+ 2aTr（Q）Lg+∑mk=1LJk］<1。 定理2 若假设条件（H1）～（H7）成立， 且 6N2（ρ3+m∑mk=1ak）+6M2（aρ1+Tr（Q）ρ2+ρ4+m∑mk=1bk）<1（5） 则问题（1）在区间［0，a］上至少存在一个温和解。 证明：定义算子Q∶PC（［0，a］，L2（Ω，H））→PC（［0，a］，L2（Ω，H））如下： （Qu）（t）=C（t，0）h1（u）+S（t，0）h2（u）+ ∫t0S（t，s）f（s，u（s））ds+ ∫t0S（t，s）g（s，u（s））dW（s）+ ∑0 ∑0 显然u（t）为问题（1）的温和解当且仅当u（t）为算子Q的不动点， 下证算子Q存在不动点。 第一步：证明存在常数r>0， 使得Q∶Br→Br，如若不然， 对任意的r>0，存在ur∈Br， tr∈［0，a］，使得E‖（Qur）（tr）‖2>r。 由引理5， Hlder不等式， 式（3）、式（6）及條件（H2）～（H5）得 r 6M2E‖h2（ur）‖2+6M2tr∫tr0E‖f（s，ur（s））‖2ds+ 6M2Tr（Q）∫tr0E‖g（s，ur（s））‖2ds+ 6mN2∑mk=1akr+6mM2∑mk=1bkr≤ 6N2Ψ1（r）+6M2Ψ2（r）+6M2a‖φr‖L1（［0，a］， +）+ 6M2Tr（Q）‖ψr‖L1（［0，a］， +）+ 6mN2∑mk=1akr+6mM2∑mk=1bkr。 上式两边同时除以r， 并令r→+∞， 由条件（H2）～（H4）可得 1≤6N2（ρ3+m∑mk=1ak）+6M2（aρ1+Tr（Q）ρ2+ρ4+m∑mk=1bk）， 这与式（5）矛盾， 故Q∶Br→Br。 第二步：证明算子Q∶Br→Br连续。 设un∞n=1Br是一个序列， 且limn→∞un=u，u∈Br，由函数f，g，h1，h2，Ik，Jk连续性可知， 当n→+∞有 E‖f（s，un（s））－f（s，u（s））‖2→0， a.e.s∈［0，a］（7） E‖g（s，un（s））－g（s，u（s））‖2→0， a.e. s∈［0，a］（8） E‖hi（un）－hi（u）‖2→0，i=1，2（9） E‖Ik（un（tk））－Ik（u（tk））‖2→0，k=1，2，…，m（10） E‖Jk（un（tk））－Jk（u（tk））‖2→0，k=1，2，…，m（11） 因此， 由条件（H2）， （H3）， 对几乎处处s∈［0，a］有 E‖f（s，un（s））－f（s，u（s））‖2≤ 2E‖f（s，un（s））‖2+2E‖f（s，u（s））‖2≤4φr（s）， E‖g（s，un（s））－f（s，u（s））‖2≤ 2E‖g（s，un（s））‖2+2E‖g（s，u（s））‖2≤4ψr（s）。 由于对几乎处处的s∈［0，t］， 所有的t∈［0，a］， 函数s→4φr（s）和s→4ψr（s）是Lebesgue可积的。 结合式（3）、式（6）～（11）， 引理5，Hlder不等式及Lebesgue控制收敛定理， 对t∈［0，a］有 E‖（Qun）（t）－（Qu）（t）‖2≤ 6E‖C（t，s）（h1（un）－h1（u））‖2+ 6E‖S（t，s）（h2（un）－h2（u））‖2+ 6E‖∫t0S（t，s）［f（s，un（s））－f（s，u（s））］ds‖2+ 6E‖∫t0S（t，s）［g（s，un（s））－g（s，u（s））］dW（s）‖2+ 6E‖∑0 6E‖∑0 6N2E‖h1（un）－h1（u）‖2+6M2E‖h2（un）－h2（u）‖2+ 6M2a∫t0E‖f（s，un（s））－f（s，u（s））‖2ds+ 6M2Tr（Q）∫t0E‖g（s，un（s））－g（s，u（s））‖2ds+ 6mN2∑mk=1E‖Ik（un（tk））－Ik（u（tk））‖2+ 6mM2∑mk=1E‖Jk（un（tk））－Jk（u（tk））‖2→0，n→∞， 因此， 算子Q∶Br→Br连续。 第三步：证明算子Q∶Br→Br等度连续。 对于u∈Br，取0≤t1 E‖（Qu）（t2）－（Qu）（t1）‖2≤ 10E‖［C（t2，0）－C（t1，0）］h1（u）‖2+ 10E‖［S（t2，0）－S（t1，0）］h2（u）‖2+ 10E‖∫t10［S（t2，s）－S（t1，s）］f（s，u（s））ds‖2+ 10E‖∫t2t1S（t2，s）f（s，u（s））ds‖2+ 10E‖∫t10［S（t2，s）－S（t1，s）］g（s，u（s））dW（s）‖2+ 10E‖∫t2t1S（t2，s）g（s，u（s））dW（s）‖2+ 10∑0 10∑t1 10∑0 10∑t1 10E‖［C（t2，0）－C（t1，0）］h1（u）‖2+ 10E‖［S（t2，0）－S（t1，0）］h2（u）‖2+ 10t1∫t10‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2φr（s）ds+ 10M2（t2－t1）∫t2t1φr（s）ds+ 10Tr（Q）∫t10‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2ψr（s）ds+ 10Tr（Q）M2∫t2t1ψr（s）ds+ 10m∑mk=1akrE‖C（t2，tk）－C（t1，tk）‖2+ 10∑t1 10m∑mk=1bkrE‖S（t2，tk）－S（t1，tk）‖2+ 10∑t1 因为对（t，s）∈Δ，C（t，s），S（t，s）是强连续的， 所以当t2－t1→0时， K1，K2，K7，K8，K9，K10→0。 设δ>0充分小， 由式（3）、定义3、条件（H1）， Lebesgue控制收敛定理及δ的任意性得 K3≤10t1∫t1－δ0‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2φr（s）ds+ 10t1∫t1t1－δ‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2φr（s）ds≤ 10t1∫t1－δ0‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2φr（s）ds+ 20M2t1∫t1t1－δφr（s）ds→0，t2－t1→0，δ→0， K5≤10Tr（Q）∫t1－δ0‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2ψr（s）ds+ 10Tr（Q）∫t1t1－δ‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2ψr（s）ds≤ 10Tr（Q）∫t1－δ0‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2ψr（s）ds+ 20M2Tr（Q）∫t1t1－δψr（s）ds→0，t2－t1→0，δ→0， K4=10M2（t2－t1）∫t2t1φr（s）ds→0，t2－t1→0， K6=10M2Tr（Q）∫t2t1ψr（s）ds→0，t2－t1→0。 综上所述， 当t2－t1→0时， E‖（Qu）（t2）－（Qu）（t1）‖2→0。 即算子Q∶Br→Br等度連续。 第四步：证明算子Q∶Br→Br是凝聚算子。 对任意的有界集DBr， 由引理3可知， 存在一个可数集D0={un}D， 使 αPC（Q（D））≤2αPC（Q（D0））（12） 因为Q（D0）Q（Br）有界且等度连续， 故由引理2可知 αPC（Q（D0））=maxt∈［0，a］α（Q（D0）（t））（13） 对u1，u2∈D0， 由引理5得 E‖∫t0S（t，s）g（s，u1（s））dW（s）－ ∫t0S（t，s）g（s，u2（s））dW（s）‖2≤ M2Tr（Q）∫t0E‖g（s，u1（s））－g（s，u2（s））‖2ds， 结合引理1 7），引理4及‖u（·）‖L2=（E‖u（·，W）‖2）12可得 α（∫t0S（t，s）g（s，D0（s））dW（s））≤ M（2Tr（Q）∫t0［α（g（s，D0（s）））］2ds）12（14） 因此， 由引理1、引理4、式（3）、式（6）、式（12）、式（14）、条件（H6）得到 α（Q（D0）（t））≤α（{C（t，0）h1（un）}）+α（{S（t，0）h2（un）}）+ α（{∫t0S（t，s）f（s，un（s））ds}）+ α（{∫t0S（t，s）g（s，un（s））dW（s）}）+ α（{∑0 α（{∑0 NLh1αPC（D0）+MLh2αPC（D0）+ 2M∫t0α（{f（s，un（s））}）ds+ M（2Tr（Q）∫t0［α（g（s，D0（s）））］2ds）12+ N∑mk=1LIkα（{un（tk）}）+ M∑mk=1LJkα（{un（tk）}）≤ （N［Lh1+∑mk=1LIk］+M［Lh2+2aLf+ 2aTr（Q）Lg+∑mk=1LJk］）αPC（D）。 故由上式， 式（12）、式（13）及条件（H7）得到 αPC（Q（D））≤（2N［Lh1+∑mk=1LIk］+2M［Lh2+2aLf+ 2aTr（Q）Lg+∑mk=1LJk］）αPC（D）<αPC（D）。 因此， 由定义4知算子Q∶Br→Br是凝聚算子。 故由Sadovskii′s不动点定理可得算子Q在Br上至少有一个不动点， 即问题（1）在区间［0，a］上至少有一个温和解。 3 实 例 考虑如下具有非局部初始条件和脉冲的二阶非自治随机偏泛函微分方程 2u（x，t）t2=A（x，t，D）u（x，t）+cos（πt）10+|u（x，t）|+ sin（x，t，u（x，t））dW（t）10etdt t∈［0，1］－（1/2），x∈Θ Dαu（x，t）=0， （x，t）∈Θ×［0，1］，|α|≤n u（x，0）=∫10K1（s）ds1+|u（x，s）|，x∈Θ tu（x，0）=∫10K2（s）ds1+|u（x，s）|，x∈Θ u（x，（1/2）+）－u（x，（1/2）－）=u（x，1/2）20+u（x，1/2） u′（x，（1/2）+）－u′（x，（1/2）－）=u′（x，1/2）20+u′（x，1/2）（15） 其中Θ N（N≥1） 是具有光滑边界Θ的有界区域， W（t）是定义在概率空间（Ω，F， {Ft}t≥0，P）上具有有限迹协方差算子Q≥0的一维标准圆柱Wiener过程。 A（x，t，D）u=∑|α|≤2naα（x，t）Dαu 是Θ上一致强椭圆微分算子， 即存在一个常数C1>0使得对每个x∈Θ， t∈［0，1］有 （－1）nRe∑|α|=2naα（x，t）ξα≥C1ξ2n，ξ∈ N。 系数aα（·，t）∈C2n（Θ）且aα（·，t）∶［0，1］× 是一致Hlder连续的， 即存在常数C2>0和0<η≤1使得对每个x∈Θ，t，s∈［0，1］有 |aα（x，t）－aα（x，s）|≤C2|t－s|η。 此外，K1，K2∈L（［0，1］， +）。 令H=L2（Θ， ）是一个Hilbert空间， 范数和内积分别为‖·‖2和（·）。 且 A（t）=A（x，t，D），Au（x）=u″（x）， D（A（t））=H2n（Θ）∩Hn0（Θ）。 由文［7］、［9］、［15］， 可知{A（t）∶0≤t≤1}生成一个等度连续的发展系统{S（t，s）∶0≤s≤t≤1}且满足定义1。 对于t∈［0，1］，k=1定义 u（t）=u（·，t），f（t，u（t））=cos（πt）10+|u（·，t）|， g（t，u（t））=sin（x，t，u（x，t））10et h1（u）=∫10K1（s）ds1+|u（·，s）|，h2（u）=∫10K2（s）ds1+|u（·，s）|， I（u）=u20+u，J（u）=u′20+u′， 则方程（15）可化为问题（1）的形式。 这里m=1。 定理3 若 52Tr（Q）<19（16） 則方程（15）在区间［0，1］上至少存在一个适度解。 证明：根据函数f，g，h1，h2的定义， 当 φr（t）=mes（Θ）cos2（πt）100， ψr（t）=mes（Θ）e－2t100， Ψ1（r）=mes（Θ）（∫10K1（s）ds）， Ψ2（r）=mes（Θ）（∫10K2（s）ds）， ρ1=ρ2=ρ3=ρ4=0， 易知条件（H2）～（H4）成立。 此外， 函数f，g关于变量u是Lipschitz连续的， 且Lipschitz常数分别为1100和110。 根据文［21］可知非局部项h1，h2是紧算子， 因此由引理1和式（16）可得条件（H5）～（H7）及式（5）成立， 其中 M=N=1，a1=b1=LI=LJ=120， Lf=1100，Lg=110，Lh1=Lh2=0。 因此， 定理2中的所有条件都成立， 故由定理2可得方程（15）在区间［0，1］上至少存在一个适度解。 4 结 论 定理2可以应用到一类带有非局部初始条件和脉冲的非自治随机偏泛函微分方程中， 因此， 定理2具有广泛的适用性。 定理2在发展系统非紧的条件下， 利用非紧性测度和Sadovskii′s不动点定理得到了温和解的存在性结论， 推广了文［18-20］的结果， 此外， 与一阶系统相比， 二阶系统能用来描述更具复杂性的现象， 比如炸弹在深水下的运动轨迹等。 这使得定理2不同于以往对具有非局部初始条件的随机发展方程的研究， 因此， 定理2进一步丰富和完善了随机发展方程的相关研究结果。 参 考 文 献： ［1］ HERNNDEZ E， O′REGAN D. 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