借助类比推理 建构乘法模型——“三位数乘两位数的笔算”教学实践与思考

安徽省合肥市南门小学森林城校区 冷 伟

安徽省合肥市庐阳区教研室 李玲玲

一、课前思考

（一）教学内容分析

“三位数乘两位数的笔算”属于数与代数板块，是苏教版数学四年级下册第三单元第 1 课时的内容。学习本内容之前，学生已经通过表内乘法，两、三位数乘一位数，两位数乘两位数掌握了乘法竖式的结构，理解了乘法的含义，基本具备用类比的方法推理出三位数乘两位数算法的能力。很多教师认为，学生学习本节课的难度不大，因此对本节课的定位只停留在知识技能层面，要求学生运算时算得对、算得快即可。

既然学生已经会了，那还要教什么？回归教材可知，本单元是整数乘法的最后一个单元，教材后续不再呈现更多数位的乘法，但是学生对整数乘法的学习并未就此止步，我们要为学生以后自主探索多位数乘法搭建支架。因此，本节课不仅要帮助学生理解三位数乘两位数的算理并掌握其算法，还要让学生对之前学习的乘法的计算方法做总结，沟通两位数乘两位数、三位数乘两位数，甚至多位数乘多位数，对多位数乘法的模型有一定的认知。

深挖知识内涵发现，乘法算理的本质是计数单位的累加。只要抓住这一核心，不仅能建构出多位数乘法的模型，还能打通整数乘法、小数乘法、分数乘法之间的隔断墙。乘法模型从本质上来说就是乘法的算理，我们把算理以乘法竖式的结构呈现出来，使算理更清晰、直观，学生在理解算理的基础上总结出算法，自然建构出乘法的模型。因此，本节课也是学生学习建立模型的关键课，学生可以在模型的建构和应用中发展模型意识。

（二）学生学情分析

通过对四年级两个班学生的前测和访谈，笔者发现，75%的学生对于三位数乘两位数的笔算能够算对，35%的学生在乘数中间有0的乘法上存在问题，38%的学生在连续进位的乘法上存在问题，76%的学生不理解乘法竖式的意义。因此，本节课对学生来说，掌握三位数乘两位数的计算方法并不难，难的是抽象概括出乘法算理的本质，也就是计数单位的累加，而这是需要学生对之前学习的乘法进行类比归纳后才能得到的。四年级学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，为了让每个学生都能理解算理，教师应该引导学生从旧知类推到新知，搭建学习支架，使学生在理解算理的同时自主地生成算法。

（三）教学目标设定

本节课的总体目标应以培养知识技能为明线（运算能力为主）、以渗透思想方法为暗线（推理意识为主），发展学生的数学素养。具体目标如下：

（1）迁移两位数乘两位数的学习经验，自主探索三位数乘两位数的计算方法，理解算理，掌握算法，能正确计算，感悟整数乘法运算的一致性。

（2）在探索三位数乘两位数及多位数乘多位数的计算方法的过程中，体会新旧知识的内在联系，发展数感，培养运算能力、推理意识、模型意识。

（3）在自主迁移的过程中，积累数学思考经验，体会数学探索的乐趣。

（四）教学重难点

教学重点：理解三位数乘两位数的算理，掌握其算法，能正确计算。

教学难点：概括乘法算理的本质，建构整数乘法的模型。

二、课堂实践

（一）理解算理

1.复习旧知

师（出示情境图）：从图中你能获得哪些数学信息？

生1：月星小区有16幢多层楼，平均每幢楼住28户；16幢高层楼，平均每幢楼住128户。

师：你能提出哪些可以用乘法计算的问题？

生2：月星小区多层楼一共住了多少户？高层楼一共住了多少户？

师：我们先解决第一个问题。你打算用怎样的数量关系解决这个问题？

生3：每幢楼的住户数×幢数=总的住户数。

师：怎么列算式？（板书：28×16=）

（生独立计算，师指名上台板演）

生4：先算6乘28得168，再算10乘28得280，最后把它们加起来是448。

师：结合情境说说每一步求的是什么。

生5：先求6幢楼的住户数，再求10幢楼的住户数，最后求16幢楼的住户数。

师：为什么一个8写在个位上，另一个8写在十位上？

生6：个位上的6表示6个一，乘28得168个一；十位上的1表示1个十，乘28得28个十。

师：也就是把谁进行了拆分？

生7：把16拆分成了10和6，分别和28相乘，再把乘得的结果相加。

（课件出示长方形分割的过程，见图1）

图1 长方形的分割图

师：谁能完整地说一说两位数乘两位数的计算方法？

生8：先用第二个乘数个位上的数乘第一个乘数，表示几个一。再用第二个乘数十位上的数乘第一个乘数，表示几个十，然后把两次乘得的数加起来。（每次乘得的积末尾和谁对齐？）用哪个数位上的数去乘，乘得的积的末位就写在哪一位上。

师：看来同学们不仅掌握了两位数乘两位数的计算方法，还明白了方法背后的道理。我们刚才用旧知识解决了第一个问题，那第二个问题怎么解决呢？

【思考】在学生计算完28×16以后，教师提出了三个关键性问题：“你是怎么算的？”“你能结合情境说说每一步求的是什么吗？”“为什么一个8写在个位上，另一个8写在十位上？”每次乘得的积末尾写在哪个数位上，是学生理解竖式计算算理的关键。通过这三个关键性问题，从两个层次让学生理解算理。同时，借助多媒体呈现长方形分割的过程，使学生体会拆分的意义。

2.探究新知

出示题目：月星小区高层楼一共住了多少户？可以怎样列式？ （板书：128×16=）

师：这道算式和我们之前学习过的算式有什么不同？

生1：这是三位数乘两位数。（揭题）

师：你打算怎么算？

生2：把16拆分成10和6，分别和128相乘，再相加。

师：结合情境说说，每一步求的是什么？两次乘得的积末尾和谁对齐呢？（见图2）

图2 三位数乘两位数

【思考】在探究新知时，用三个关键性问题引导学生层层深入，长方形的分割图将横式和竖式计算相呼应。

（二）概括算法

师：同学们，两位数乘两位数和三位数乘两位数在计算方法上有什么相同点呢？谁能完整地说一说？（动画演示乘的过程，见图3）

图3 乘法模型

师：现在你们能完整地说出三位数乘两位数的计算方法了吗？同桌之间相互说一说。

（生交流）

【思考】这里类比的活动设计不仅为学生概括算法做支撑，同时也为突破本节课的难点做准备。因为“抽象概括出整数乘法算理的本质”是本节课的教学难点，这一结论是否由学生自己领悟后得出，是能否突破难点的关键。这里的类比就是让学生初步关联新旧知识，初次提炼乘法本质。

（三）巩固提升

练一练。学生独立完成，出示两组作品，组织汇报。（见图4）

图4 练一练1

师：第①题你是怎么算的？有什么要提醒同学们的？

生1：数位对齐。

师：第②题错在哪里？为什么错了？你有什么好方法？

生2：巧妙地标出小小的进位符号。

师：第③题和前面的乘数有什么不同？对于中间有0的乘法计算，要注意什么？

生3：0不要漏乘。

师：同学们，我们知道了三位数乘两位数的计算方法，可是在计算时依然会出错，这说明它不简单。还要注意什么？

生4：耐心细致、及时检查，养成计算的好习惯。

师：我们再用三位数乘两位数解决一道实际问题，你打算按怎样的数量关系来解决问题？

【思考】精选“练一练”中三道竖式进行练习。选择学生作品进行展示，出示正确和错误的竖式对比，让学生当小老师介绍自己的计算过程。充分利用学生的“错误”资源，引发学生深入思考。学生发现进位符号要巧妙地标上，0不能漏乘，要养成计算的好习惯。

（四）提炼本质

师：同学们，回顾整个学习过程，我们是怎样得出三位数乘两位数的计算方法的？

生1：借助旧知两位数乘两位数类比推理得到的。

师：这是我们小学阶段最后一次学习整数乘法，以后不学了。你知道是为什么吗？

生2：因为方法是相通的，都可以进行类推。

师：看来类比推理是学习数学的好方法。只要掌握了这个方法你就能自主探究多位数乘多位数了。计数单位的累加就是乘法的本质。只要抓住这一核心，你就能揭开小数乘法、分数乘法的奥秘。

【思考】通过拓展延伸，将学生的思维引向深处，让类比推理的方法得以迁移，乘法本质的提炼水到渠成。

三、课后反思

新课标指出，要注重创设真实情境，促进学生积极探究，经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程。基于以上理念，笔者设计出以下学习路径：理解算理→概括算法→巩固提升→提炼本质。具体可采用以下方法实现目标。

（一）通过复习旧知，唤醒学习经验

计算三位数乘两位数，其实是把它转化成三位数乘一位数，再借助两位数乘两位数的竖式叠加经验解决的。因此，课前复习旧知、唤醒学习经验很有必要。那复习哪些知识？复习到什么程度呢？笔者在第一轮磨课时，创设了求多层楼、高层楼住户数的情境，帮助学生复习128×6、28×16，但学生在说算法时呈现出点对点的碎片化表达，这样的表达制约了学生对算理的结构化认识。因此在之后的教学中，笔者只保留了求多层楼住户数的情境，以唤醒学生两位数乘两位数的学习经验。

（二）借助几何直观，探究算理算法

借助几何直观为学生搭建脚手架。长方形的分割图与横式和竖式相呼应，能让学生体会拆分的意义。乘法模型把数抽象成小方格，多媒体演示乘的过程，可以让学生从动画中清晰直观地看出乘的顺序、积的定位、每步表示的意义。有了直观的乘法模型，学生能轻松完整地归纳算法。同时，可以以此发展学生的模型意识，模型意识的建立将为学生后续进行规律探究和解决实际问题打下坚实的基础。

（三）采用“双主体”策略，培养深刻性思维

以上的教学设计顺势而为，采用“双主体”策略（教师问题引导、学生自主探究），设置关键性问题引导学生层层深入，发掘知识内涵，提炼乘法本质，培养深度思维。拓展延伸，引导学生对新旧知识进行关联，建构知识体系，拓宽学生思维的广度。设计富有层次的探究活动，让学生体会从旧知类推到新知，让类比推理的方法深入人心，借助几何直观突破难点，提升学生思维的高度，进而提升运算能力、推理意识、模型意识，发展核心素养。

笔者在整个教学过程中，在简单的知识中发掘内涵本质，渗透思想方法。在教学中利用合适的载体，目的是提高和加强学生自主学习能力和思考问题的深刻性，合适的载体是提高学生学习效率的关键因素，也是减负增效提质的根本路径。