认知破冰让学习成为可能——基于正视数学困难的向度实践

南京师范大学苏州实验学校 陈六一

江苏省苏州市相城区教育发展中心 董齐珍

“学生对新信息的理解会受到原有知识与经验的制约”，是所有现代学习理论的共识。正因如此，近年来围绕以前测了解学习起点，并基于前测开展精准教学的课堂革新，受到了教育理论工作者与一线教师的热捧。不过，“原有知识与经验”不局限于学习新知识所需要的直接的准备性知识、在校学习的过往正规知识、可利用的稳定的相容认知结构，还应包括学生的学习困难。前者能促使课堂沿着教学预设顺利推进，后者则是对课堂不确定性的挑战。但是，如果课堂不能帮助学生消除困难，学生就会陷入被动记忆、套用公式等无意义的活动中，从而逐渐偏离学科本质，最终导致学生失去对该学科的学习兴趣。笔者将从正视学习困难的向度，通过小学数学教学实践来回应，如何理性对待不确定的课堂。

一、以意义解释填补认知断层

数学史表明认知困难经常发生。如负数的认识，尽管我们的祖先2000多年前就认可了负数，但400年前的欧洲大多数数学家都不承认负数是数，帕斯卡就认为，既然0表示没有，自然0-4是胡说；而温度计的发明，破除了这种认知断层，0-4可以解释为比0度低4度的温度，于是负数在认知上就成了正常的数。

实际课堂中也不乏学生能够正确算出答案，但是因为认知的断层，又对答案的合理性产生了怀疑，就会遭遇这样的认知困难。如在平均数概念的学习过程中，学生会有困惑：怎么会用一个不可能存在的小数，来反映一组数据的整体情况？

【案例1：平均数，四年级】

教师课件出示“根据第七次人口普查数据显示，苏州平均每个家庭2.6个人”，提问学生如何理解平均数2.6。

生1：生活中不存在2.6个人，应该改为3。

生2：表示苏州大多数家庭有2个大人，和1个正在成长的孩子。

生3：说明有些家庭有2个人，有些家庭有3个人，但3个人的家庭更多一些。

以上回答，意味着这些学生对平均数的概念仅停留在先加后除的计算水平，由于2.6个人在现实生活中不可能出现，所以第一个学生取了近似值，第二个学生将0.6个人当作了未成年人，第三个学生强调了2.6是在2与3之间的数，默认平均数处于中心位置。如果学生不能以统计意义解释2.6的由来，就无法领悟平均数是比较、推断的“好代表”，心中的困惑就会让他们对数学经验失去安全感。这时候教师要让学生返回“2.6个人”产生的背景，在数据分析中，感受平均数作代表可以用到每个样本数据，不反映一组数据中的某一个数，它既与总量有关，也与样本个数有关，还与数据的分布有关。也就是说，教师引导学生参与收集、整理数据的过程，于其中理解平均2.6个人，不是说真的有0.6个人，而是有的家庭只有1个人，有的家庭多达六七个人，甚至更多，但为了便于横向与其他城市家庭人数、纵向与苏州以往多次人口普查家庭人数进行比较，进而做出各种预判，以做好政府人口统筹工作，这样需要在样本中移多补少，或者说为了公平需要进行平分，就不得不创造出一个数——平均数。至此，学生明白了计算是统计的工具，统计是计算的艺术表达。

二、以非人为联系填定“为什么”

学生在学习的过程中经常出现这样的现象——能按照教材给出的规则执行推理或者运算，但不理解为什么要这样定规则。此时，如果学生头脑中的“为什么”得不到释疑，他们就会认为数学是记忆各种人为的规则，就会滋生“数学是不讲道理的”心理，继而陷入惰于思考的窘境。这时候亟须教师的点拨，来呵护学生理性的思维，帮助学生在思辨中发现规则的合理，如案例2中的教学处理。

【案例2： 整数四则运算，三年级】

师：7+8×5=？

生1：先算乘，8×5=40；再算加，7+40=47。

生2：为什么不能先算加，再算乘？

生3：“棉花基地第一天摘了7吨棉花，接下来加快了速度，每天摘8吨，连续摘5天，刚好摘完。一共摘了多少吨棉花？”解决这个问题，如果列式成7+8×5，确实是先算乘。“棉花基地上午摘了7吨棉花，下午摘8吨，用同样的速度连续摘5天，刚好摘完。一共摘了多少吨棉花？”解决这个问题，如果列式成（7+8）×5，那就要先算加。可见，先算乘除还是先算加减，只是一种随意的规定。

综合运算的顺序确实是一种人为的约定，但这种约定不依据数学家的主观意志而决断。因此在教学时，教师要让学生从运算本身的特点出发，在数学求简的取向中、在人们追求计算简便的需求中，做出应然的规则约定。这就是奥苏贝尔提出的有意义学习的一条标准：知识的非人为联系，即这种联系是一种合理的、别人可以理解的、自然的而非人们主观强加的关系。案例2的教学如果止步于案例中的陈述，规则学习就只是主观的、人为的约束。因此，教师要正视学生的疑惑，让学生就“棉花基地第一天摘棉花7吨，接下来加快了速度，每天摘8吨，连续摘5天，刚好摘完。一共摘了多少吨棉花？”列出第二种解题方案：7+8+8+8+8+8，式子中的8+8+8+8+8先行计算，再用7加上5个8相加即8×5的结果，由此可以想象出类似的题型：a+b+b+…+b，得先用乘法计算相同加数的和，以便提高计算效率。至此，学生通过非人为联系，领悟“数学规定，是社会活动的需要，是常识的优化，必须考虑其唯一性”。

三、以逻辑思考填明直观困惑

获得知识至少有两种途径：一种是直观感受；另一种是逻辑思考。前者是看出来的，后者是想出来的。直接观察数学对象，往往能给学生带来眼见为实的真切感，但是经实际操作后，又常常出现所见并不真实的情景。有了多次这样的经验之后，学生迫切地想知道问题出在哪里，该如何解释这种矛盾。

【案例3：正方体的展开图，六年级】

师：这里有许多六连块，它们都是正方体的展开图吗？

生1：我觉得都是，因为正方体展开后就是六连块。

师：动手验证一下，排成一排的六连块能拼成正方体吗？

生2：不行，有面重叠了。一排最多只能出现四连块，这四个正方形刚好可以围出正方体相对的两组面；如果这一排再增加一个正方形，无论怎样翻折，都和其他的正方形重叠，形成不了第三组相对的面。

师：下面这幅图一排最多只有四连块，是正方体的展开图吗？

生3：（动手之后回答）不是，但我不知怎样解释它为何不是正方体的展开图。

数学困难一直存在，尤其是当直观感受不能自圆其说时，学生会有一种无力感，会烦恼自己智商不够，这时教师要支持学生用逻辑思考去填明困惑，重塑学生学好数学的信心。在面对案例3的情形时，教师可引导学生回到起点，回忆正方体的特征之一：每个顶点连接三条棱、三个面。而案例3中教师出示的图形，其“田”字形中间一点连接了四条棱、四个面，与正方体的特征不符，这便找寻到了操作时不能翻折成三组对面的缘由。

以此对照经典的分比萨趣题：“在饭店点了一个12寸的比萨，但12寸的比萨已经卖完了，服务员说可以送两个6寸的比萨，你同意吗？”当习惯于用片面的直观去推断时，便会出现判断错误，在分比萨的情境中，一旦用“直径6+6=12”说明服务员的做法是正确的，便掉进了如六连块都是正方体展开图一般的陷阱。不过，如果教师仅仅判学生错误，而不及时帮助学生消除困顿，学生将会难以走出错误观念，并在困惑中强化挫败感。因此，课堂上教师要让学生用逻辑思维去分析：比萨大小，是在厚度相同的情况下，比较面积的大小。于此，方才能走出康德所言的“直观无概念则盲”。

四、以概念生成填充“是什么”

不少教师喜欢开门见山，以告知大家今天所学内容发起教与学，接着便是花大量的时间让学生做作业，企图通过多重练习，让学生理解所学内容的本质。其实，学生尚未明白数学概念是什么的时候，练和不练一个样。学生解题的困难在于不知道新知是怎样依赖于旧知，而后又是因为什么要超越旧知的。

【案例4：平均数，四年级】

师：男生、女生进行套圈比赛，老师觉得男生的运动能力强，一定是男生的套圈水平高，你们同意吗？

生1：不同意，需要看比赛数据才能确定。

师：出示课件，每人套15次，第一小组是女生套中的情况，第二小组是男生套中的情况。

生2：男生最多的套中了10个，比女生最多的9个多1个，所以男生套圈水平高。

生3：男生最少的是套中4个，而女生最少的是套中6个，女生水平高。

生4：男生、女生各组人数不一样，无法比较。

由此可见，学生的困难在于不知选什么数作为一组数的代表，有的学生倾向于最大值，有的学生以为出现了最小值就表示整体水平不好。其实，用任何单个数据描述一组数据的水平，都存在不足。假如教师无视学生的学习困难，直接切入“平均数能代表一组水平，我们一起来算一算两组的平均数”，那接下来学生就会茫然：什么是平均数？干吗要用平均数来判断？也就屡屡出现如案例1中三个学生的回答，“将平均数停留在算术水平，而不能达到概念理解、统计理解水平”。

面对案例4中的学生学习现状，教师要善于利用生成，通过学生之间的对话与批判，发现所能看见的任何一个数据都不能作为本组学生的套圈水平，从而关注一组数据的方方面面，既要所有数据都参与，又要公平分布到每一个样本，这时“移多补少”方法不是纯粹地先加后除，而是为了关联全部来反映整体水平。这时尽管学生不知平均数这一术语，但对平均数的意义了然于胸，继而教师点题即可。

总之，数学学习从来不是一件容易的事情，如同以上行文中若干个教学案例，没有教师的故意刁难，课堂也没有出现偏题、怪题，但伴随着符合年龄节奏的数学学习内容的扩充，由于认知局限、心理断层等因素，给学生带来了与已知、已学、经验的种种冲突。教师一旦提供相应的支架，学生也就逐步消解了困难，由此也可以说这些困难其实是学生的最近发展区。不过教学中的挑战就在于教师如何知道学生有着这样或那样的困难，了解了学生的困难后如何解决。笔者对于以上案例中的解决之道，主要来源是文献研究与课堂观察。基于以上教学实践的反思，可以概括出一条教学道理：学生建构数学，源于教师理性的教，碰上了学生思维无限可能的挣扎。