一“式”到底，逆向思维中求厚度——“长方形、正方形周长和面积的复习”教学实践与思考

浙江省义乌市实验小学教育集团 李玉冰

“周长与面积”是平面几何图形学习的重要部分。相较于数的认知，“周长与面积”知识较为抽象。部分学生无法有效区分周长与面积，究其原因在于未明晰周长与面积的本质意义。教学时，学生容易进入周长与面积混淆的怪圈。因此，“长方形、正方形周长和面积的复习”教学需要以一种新颖的方式，简化学生对周长和面积的理解。一“式”到底，是以逆向思维的视角引领学生深入探索周长与面积的本质，通过拆解算式在周长与面积中的内涵，帮助学生深度构建平面几何意义，初步培养学生“数形结合”的思想，为之后平行四边形、梯形等平面几何的学习做铺垫。

一、一“式”到底，逆向思维中认知差异

学生的思维能力培养并不是一蹴而就的。在平时的课堂教学中，教师要有目的、有计划、有层次地实施，并且要遵循由浅到深、由易到难、由具体到抽象的原则，让学生在学习过程中受到潜移默化的影响。笔者认为，逆向思维的教学视角更需要创设合适的问题情境，以算式为载体，引领学生在课堂中寻得差异、认知差异。

教学片段一：

师：（出示课件）同学们，看到“6×4=24”这个算式，你们想到了什么？我相信很多同学脑海中已经浮现许多画面，大家可以选择其中的两个画在方格纸上，开始行动吧!

生1：我画的是长为6格、宽为4格的长方形，算式代表长方形的面积。

生2：可以在长方形中添加斜线，更清楚地表示出面积。

生3：还可以标注长和宽的数据。

师：同学们的建议非常宝贵！这位同学的作品，老师不是太明白，谁能给我解释下呢？

生4：算式表达的是正方形的周长，正方形有4条边长，每条边长为6。

师：非常好！可见算式“6×4=24”既可以表示周长，又可以表示面积。那是否意味着周长和面积是一样的呢？

生1：不一样。周长表示外面的一圈，面积表示内部大小。

生2：周长是线的长度，面积是面的大小。

师：只根据算式，我们还是很难区分的，有更好的方法快速识别二者之间的差异吗？

生：可以在算式后面加单位。

师：这个想法非常好！加什么单位呢？

生：周长加长度单位，如厘米、分米、米等；面积加面积单位，如平方厘米、平方分米、平方米等。

师：所以，我们可以在24的后面加上周长的单位，如cm；或加上面积的单位，如cm²。

师：请同学们想一想，还能推出什么样的信息？

生1：正方形的面积为6×6=36cm²。

生2：长方形的周长为（6+4）×2=20cm。

周长与面积的差异是线与面的差异，一“式”到底的数学教学，引导学生将算式与长方形、正方形的周长和面积相联系，将周长和面积的抽象意义剖析成具体的教学实例，帮助学生更高效地理解周长与面积的本质差异，以要求学生画出两种图的教学设计，避免学生的想象力局限于长方形的面积上，有效激发学生呈现多元化的发散思路表示算式的几何意义。

二、一“式”到底，逆向思维中探索变化

教师在教学中，要以学生已有的知识经验为基础，鼓励学生从多种角度思考解决问题的方法，引导学生在不同的思维中探索变化，将算式思维引入平面几何中，在解决问题的过程中引导学生提炼和整理所涉及的解题策略和基本思想方法。

教学片段二：

师：看到“6×4-3×2=18”，同学们又能想到什么？

生1：长为6、宽为4的长方形的长剪掉3，宽减掉2。

生2：不对，应该是在长为6、宽为4的长方形上剪掉一个面积为6的新图形。

师：剪掉的新图形可能是什么形状呢？

生2：可能是“6×1”的长方形，可能是“3×2”的长方形。

生3：也可能是6个分开的“1×1”的正方形。

师：（出示课件）老师准备了“6×4”和“3×2”的长方形，同学们来试着摆一摆。（巡视搜集有代表性的作品，呈现于黑板上）（见图1）

图1

师：黑板上呈现了许多创意作品，我们是不是可以将它们分分类，四人小组讨论交流。

生1：依照小长方形摆放的位置将作品分为横、竖、斜三类。（见图2）

图2

生2：根据小长方形在大长方形上的位置将作品分为内部和边两类。（见图3）

图3

生3：我觉得上一个分类还可以继续细化，分为角、边、内部三类。（见图4）

图4

生4：根据新图形周长的变化，可将作品分为变和不变两类。（见图5）

图5

生5：我认为小长方形在内部时，周长没有发生变化。

师：看来，同学们对于剪掉后图形的周长到底有没有变化存在分歧。我们留下三个图形（见图6），同学们可以画一画、算一算它们的周长，小组交流后和老师分享下答案。

图6

生1：我利用平移的方式，一眼就看出①号图形周长不变，还是20cm。②号图形平移后多出左右两条，周长是20+2×2=24cm。③号图形小长方形在内部，周长也不变，也是20cm。

生2：我们组认为③号图形周长变长了，因为内部这块被剪掉了，是露在空气中的，我们要求周长的图形其实是那个像“回”字的红色部分的图形，内部也算图形的边缘。

师：同学们都非常善于思考，③号图形周长与内部画图形是有区别的，边缘线明显变多，周长也会变大。除了周长的变化，你们还有什么发现呢？

生1：周长不同，面积相同。

生2：角上剪，周长不变；边上剪、内部剪，周长变长；内部剪，周长变最长。

师：非常好！通过探索我们可以发现，面积相等的图形，周长未必相等。

教师以新算式为教学素材，将学生引至另一个独特的视角，深入探究周长与面积的知识本质。通过自主实践探索以及小组讨论的教学形式，教师成功将学生从算式思维引入平面几何认识中，要求学生摆一摆、算一算、分一分，以强化对周长和面积变化知识的理解。由于周长和面积变化知识较为抽象，利用摆小长方形的形式更清晰、直观地呈现出新图形周长和面积的变化，学生也能深入理解算式背后深层的几何含义。

三、一“式”到底，逆向思维中强化理解

数学核心素养来自学生的思考、质疑，教师应在课堂中引导学生不断反思，带着问题去思考、去探究，去强化对知识的理解，进行多角度的观察与联想，从而找到更多的思维通道，促进学生的思维生长。

教学片段三：

师：（出示课件）我们来玩连一连的小游戏。看一看哪些图形可以用“6×4+3×2=30”来解决。（见图7）

图7

生1：5种图形都可以用“6×4+3×2=30”这一算式计算。图形A、C、E计算的是面积，图形C需要利用平移将右上角的小长方形移到左边，图形B、D计算的是周长。

生2：如果可以平移，图形B还可用“6×4+3×2=30”这一算式计算面积。

师：对比图形A、C、E，你们有什么发现呢？

生1：面积相同，图形A、C的周长相同，图形E的周长最长。

生2：面积相同时，周长不一定相同。

师：对比图形B、D，你们又有什么发现呢？

生1：“凹”和“凸”这两个图形的周长都可以用“6×4+3×2=30”这个算式来计算。

生2：周长相同时，面积不一定相同。

教学片段四：

师：想象一下，老师给你一条绳子，围成什么图形时，面积最大？

生：正方形。

（播放动态视频）

师：看完后，你学到了什么？

生：圆的面积最大。

师：有没有前提？

生：在周长相等的情况下，圆的面积最大。

师：在周长相等的情况下，或许还存在一个比正方形面积更大的图形等着我们去研究。到六年级的时候，老师陪你们一起研究这个图形的周长和面积！

强化知识理解是对“周长不同，面积相同”知识的拓展延伸。新的算式教学形式，对学生逆向思维提出了新要求。学生需要套用之前的探究方法，在多变的图形中寻求周长和面积的意义，总结出新的结论知识，并灵活应用新知识。同时，绳子围面积的教学案例，进一步强化学生对“周长相同，面积不同”的新知理解，并引导学生拓展认知：在周长相等的情况下，圆的面积是最大的。教师巧妙应用视频的动态性特点，在活跃教学气氛的同时，引发学生对周长和面积相关知识的深入思考。

四、结语

算式的选取不是凭空而生的，而是基于长方形、正方形面积和周长的特殊性之上的。一“式”到底的教学形式，始终聚焦长方形、正方形的周长与面积，引导学生在观察、探索、发现中探寻周长、面积的意义。与常规教学不同的是，一“式”到底并未重点强调面积公式的意义，而是利用算式的特殊性，要求学生逆向思维构建算式与几何图形的意义，引导学生从逆向思维中认知平面几何的奥妙。

“算式”与“图形”的结合，是一种创新的教学形式，打破教师对平面几何教学的固有认知，让学生在“数”与“形”中感知数学知识。一“式”到底的教学实践，本质在于培养学生“数形结合”的数学思想，具象化周长与面积的抽象意义。教学中，对于三个不同的数学算式，教师从认知差异、探索变化、强化理解等三个不同的视角一步步引导学生探究周长和面积的深层内涵，由简至繁，促使学生在画一画、摆一摆、算一算中进一步加深对周长与面积的理解。一“式”到底的教学，给予学生一定的数学学习启迪，启迪学生在平面几何的认知中利用数简化知识理解。

一“式”到底教学的最大亮点在于用最少的学习素材上出有厚度的课堂，锻炼学生的逆向学习思维，巧妙抓住数学的本质。