指数、对数和幂的比较大小问题

■朱 梅

指数、对数和幂的代数式的比较大小问题,是高考中的常考点,高考主要以选择题的形式出现,考查指数、对数、幂的基本运算,以及相关的基本初等函数的图像与性质的应用。

一、单调性法

例1已知则a,b,c的大小关系是( )。

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

分析:根据题设条件,利用对数函数的单调性进行放缩处理,分别确定参数a,b的取值范围,在此基础上确定参数c的取值范围,从而得到a,b,c的大小关系。

解:因为0,所以-1lne=1,所以b>1。又0

综上分析,可得b>c>a。应选A。

利用指数函数、对数函数,以及幂函数的单调性比较代数式的大小,首先要观察代数式形式的异同,底数相同时,可考虑指数函数的单调性,指数相同时,可考虑幂函数的单调性,当都不相同时,可分析代数式的大致范围,进行比较大小。比较代数式的大小的两个思路:一是判断出各个数值所在的区间(一般是三个区间(-∞,0),(0,1),(1,+∞)),二是利用函数的单调性比较大小。

二、媒介法

例2若a=log23,b=log34,c=log45,则a,b,c的大小关系是( )。

A.a

分析:根据题设条件,通过对数式的合理放缩处理,引入中间值作为媒介进行过渡处理,合理“串联”起各参数a,b,c所对应的关系式与对应“媒介值”之间的大小关系,进而加以正确分析与判断。

三、数形结合法

例3已知x,y,z均为大于0 的实数,且2x=3y=log5z,则x,y,z的大小关系正确的是( )。

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

分析:根据题设条件,将所求问题转化为三个函数与对应直线的交点的横坐标的关系,作出函数的图像,利用数形结合法确定x,y,z的大小关系。

解:依题意可知x,y,z均为大于0的实数,所以2x=3y=log5z>1。

所求问题可转化为函数y=2x,y=3x,y=log5x与直线y=t>1 的交点的横坐标的关系,从而可比较x,y,z的大小。

作出函数y=2x,y=3x,y=log5x,以及直线y=t>1 的图像,如图1所示。

图1

结合图像可知,其横坐标的关系为z>x>y。应选C。

利用数形结合法进行代数式的比较大小时,通过观察相应的代数式的结构特征,画出对应的函数图像,观察函数图像的交点位置,从而确定所给指数、对数、幂的大小关系。

四、特殊值法

例4已知a,b,c满足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),则( )。

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

分析:根据题设条件,利用特殊值法,选取特殊值b=2,代入相应的关系式,合理作差比较,从而结合对数运算,排除不满足特殊值的选项,进而得到正确的结果。

解:令b=2,则a=log5(2b+3b)=log513,c=log3(5b-2b)=log321,此时ac-b>0,也即|a-c|>|bc|,排除C、D。

特殊值法是“小题小做”的重要策略,利用特殊值法进行合理排除,是一种常见的解题方法,这种方法既可以提高解题速度,又能提高解题的准确性。

五、引入参数法

分析:根据题设条件中的不定方程引入参数,结合对数式与指数式的互化,可得对应代数式的指数幂形式,利用幂函数的单调性即可判断大小关系,从而得到三个代数式的大小排序。

当题目条件中出现连等式时,可通过引入参数把连等式设为一个常数,利用指数式与对数式的相互转化,进行大小比较。利用此方法解决问题的关键是熟悉指数、对数运算公式,以及指数函数与对数函数的图像与性质的应用。

1.(多选题)已知log3a>log3b,则下列不等式一定成立的是( )。

2.(多选题)已知函数m(x)=2x,h(x)=3x,且m(a)=h(b),则下列式子可能成立的是( )。

A.a<0,b>0

B.a

C.a=b

D.0

提示:在同一坐标系下画出函数m(x)和h(x)的图像(图略)。结合图像得,当m(a)=h(b)时,a,b的关系可能为a