例说指数函数单调性的应用

■向正银

指数函数y=ax(a>0,且a≠1)是高中数学重点研究的基本初等函数之一,也是高考重点考查的知识点。指数函数的单调性应用很广泛,下面就四个方面的应用进行举例分析。

一、利用指数函数的单调性比较大小

评注:把y1,y2,y3化成同底数幂的形式,再根据指数函数y=2x的单调性比较大小。

二、利用指数函数的单调性解不等式

例2已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式的解集是( )。

A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]

C.(1,+∞) D.[1,+∞)

评注:奇函数在对称的区间上具有相同的单调性。

三、利用指数函数的单调性求参数的值

例3函数y=ax(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a等于( )。

当a>1 时,y=ax为 单 调递增函数,所以y=ax在[0,1]上的最值分别为ymax=a1=a,ymin=a0=1,所以a+1=3,即a=2。

当0

评注:函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性与a的取值范围有关,需要对a分情况讨论。

四、利用指数函数的单调性求参数的范围

例4若函数f(x)=2x-4x-m在区间[-1,1]上存在零点,则实数m的取值范围为_____。

因为f(x)=2x-4x-m在区间[-1,1]上存在零点,所以g(x)=2x-4x与y=m在[-1,1]上有交点,即方程m=2x-4x有解。因为函数y=2x在[-1,1]上单调递增,所以

评注:根据函数的零点定义,问题转化为函数g(x)=2x-4x与y=m的图像在[-1,1]上有交点,求出g(x)的值域,即h(u)的值域,可得实数m的取值范围。