根据函数零点的个数求参数问题例析

■刘登丽

函数的零点是函数的重要性质,是高考的常考点。解答这类问题,需要借助函数的图像、性质等知识。

一、无零点问题

例1若函数f(x)=mx-m+1 在区间[0,1]上无零点,则实数m的取值范围为( )。

A.01

C.m<0 D.m<1

解:当m=0 时,可得f(x)=1,此时函数f(x)无零点,符合题意。

当m≠0时,令f(x)=0,则由,解得0

综上可知,函数f(x)=mx-m+1在区间[0,1]上无零点,则m<1。应选D。

评注:解题时,不能忽视m=0的情况。

二、存在零点问题

例2若函数f(x)=e-x-ln(x+a)在(0,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围为_____。

解:由题意知函数y=e-x与g(x)=ln(x+a)的图像在(0,+∞)上有交点,画出这两个函数的大致图像,如图1所示。

图1

由图可知,当a>0 时,g(x)=ln(x+a)的图像是由函数y=lnx的图像向左平移a个单位长度得到的,根据图像可知此时只需要g(0)=lna<1,即0

综上可得,a

评注:对于函数f(x),当a>0时,函数f(x+a)的图像是由f(x)的图像向左平移a个单位长度得到的;当a<0 时,函数f(x+a)的图像是由f(x)的图像向右平移-a个单位长度得到的。

三、一个零点问题

例3(1)若2 是函数f(x)=a·2xlog2x的零点,则a=____。

(2)函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的值为____。

解:(1)由题意得f(2)=4a-1=0,所以

(2)当a=0 时,f(x)=-x-1,令f(x)=0,可得x=-1,所以f(x)有一个零点为-1。当a≠0时,由Δ=1+4a=0,可得

故满足条件的实数a的值为0或

评注:对于一元二次方程,当Δ=0时,方程有两个相等实根;当Δ>0时,方程有两个不相等实根;当Δ<0时,方程无实根。

四、两个零点问题

评注:分段函数的零点个数是各段函数零点个数之和。

五、三个零点问题

例 5 已 知 函 数f(x) =若函数g(x)=f[f(x)]-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是_____。

解:设t=f(x)。令f[f(x)]-a=0,则a=f(t)。

在同一坐标系内,画出y=a,y=f(t)的大致图像,如图2所示。

图2

由图可得,当a≥-1 时,y=a与y=f(t)的图像有两个交点,设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1< -1,t2≥-1。当t1<-1时,t1=f(x)有一个解;当t2≥-1 时,t2=f(x)有两个解。

当a<-1时,y=a与y=f(t)的图像只有一个交点,不合题意。

故当a≥-1,即a∈[-1,+∞)时,函数g(x)=f[f(x)]-a有三个不同的零点。

评注:复合函数问题中,内层函数的值域是外层函数的定义域。

提 示: 作 出 函 数f(x) =的图像,如图3 所示。由g(x)=f(x)+2x+a,令g(x)=0,可得f(x)=-2x-a,作出直线y=-2x-a的图像(如图3)。

图3

由题意可得方程f(x)=-2x-a有两个不同的实数根,即函数f(x)的图像与直线y=-2x-a有两个交点。当直线经过点(0,1)时,可得-a=1,即a=-1;当直线y=-2x-a与y=(x+1)2(x≤0)的图像相切时,可得x2+4x+1+a=0,由Δ=16-4(a+1)=0,可得a=3。由数形结合知,当a<-1 或a=3 时,直线y=-2x-a和f(x)的图像有两个交点。故所求a的取值范围为{a|a<-1或a=3}。