指数函数与对数函数的“有缘相聚”

■向光荣

指数函数与对数函数都是基本初等函数,它们常常在一个题目中“相聚”。

一、“相聚”在求值问题中

评注:分段函数的求值问题,应注意各段函数中自变量的取值范围。

二、“相聚”在定义域问题中

故A∩B=(-5,0]。

评注:若二次根式有意义,则被开放数应为非负数;若对数有意义,则真数应大于0。

三、“相聚”在值域问题中

例3已知函数f(x)=1+log2x,g(x)=2x。 若F(x)=f[g(x)]·g[f(x)],则F(x)在x∈[1,4]上的值域为____。

因为f(x)=1+log2x,g(x)=2x,所以函数F(x)=f[g(x)]·g[f(x)]= (1 + log22x)·21+log2x=2(1+x)·2log2x=2x(1+x)=2x2+

由二次函数的性质可知,当x∈[1,4]时,F(x)为增函数,所以F(x)的最大值为F(4)=40,F(x)的最小值为F(1)=4,所以F(x)在x∈[1,4]上的值域为[4,40]。

评注:求二次函数在区间[a,b]上的值域,应注意二次函数在区间[a,b]上的单调性。

四、“相聚”在逻辑问题中

例4“lnx>lny”是的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

评注:若p⇒q,且q⇒/p,则p是q的充分不必要条件。

五、“相聚”在比较大小问题中

例5已知f(x)是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=ex+x3+x,若a=,则a,b,c的大小关系为____。(用“<”连接)

因为当x∈(0,+∞)时,f(x)=ex+x3+x,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增。

因为f(x)是偶函数,所以a=f(-log35)=f(log35),b=f(-log53)=f(log53)。

又0

评注:对数值比较大小的四种方法:化同底后利用函数的单调性;作差或作商法;借助中间量(0或1);化同真数后利用图像比较。

六、“相聚”在方程问题中

例6已知函数f(x)是定义在[1,+∞)上的单调函数,且对任意x∈[1,+∞),均有f[f(x)-log2x]=1。若关于x的方程4f(x)-a·2f(x)+1=0有解,则实数a的取值范围为( )。

令f(x)-log2x=t,则f(x)=log2x+t,所以函数f(t)=log2t+t。

因为f(x)是定义在[1,+∞)上的单调函数,且对任意x∈[1,+∞),均有f[f(x)-log2x]=1,所以f(t)是定义在[1,+∞)上的单调函数,且f(1)=1,所以t=1,所以f(x)=log2x+1,且f(x)≥f(1)=1。

令2f(x)=m,则m∈[2,+∞)。

评注:函数f(x)的值域为[m,n],若方程a=f(x)有解,则m≤a≤n。

七、“相聚”在奇偶性问题中

例7已知函数是R 上的奇函数,则实数a=____。

评注:若f(x)是奇函数,则f(-x)+f(x)=0恒成立。