类型全归纳，问题妙突破———函数零点的存在定理的应用

■聂 然

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。利用函数零点存在定理,可以解决一些涉及函数与方程方面的综合应用问题。

一、零点区间的判断

例1函数f(x)=lnx+ex的零点所在的区间是( )。

C.(1,e) D.(e,+∞)

分析:根据题设条件,通过对应函数在各区间的端点处的取值的正负情况,结合函数零点的存在定理,即可确定零点所在的区间。对于一些特殊点,可以采用极限思维来综合分析与处理。

解:因为f(1)=e>0,,f(e)=1+ee>0,而当x→0时,f(x)=lnx+ex<0,所以根据函数零点的存在定理可知,该函数的零点所在的区间是。应选A。

本题主要考查函数零点的存在定理及其应用。解答这类问题的基本方法是:结合函数f(x)在各点处的函数值的正负情况,利用函数零点的存在定理f(a)·f(b)<0 来判断零点所在的区间(a,b)。

二、零点个数的确定

例2函数f(x)=ex+3x的零点个数是( )。

A.0 B.1 C.2 D.3

分析:因为函数y1=ex与y2=3x都是R 上的单调递增函数,所以函数f(x)=ex+3x的图像是一条连续不断的曲线。在此基础上,结合函数零点的存在定理即可确定零点的个数。

解:已知函数y1=ex与y2=3x都是R上的增函数,所以函数f(x)=ex+3x在R上单调递增。

因为f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,所以f(-1)·f(1)<0,所以函数f(x)=ex+3x在区间(-1,1)内存在零点,因此f(x)的零点个数是1。应选B。

本题主要考查函数零点的存在定理及其应用。解答这类问题的基本方法是:先确定函数f(x)的图像特征(若图像是一条连续不断的曲线,则具有单调性),再利用函数零点的存在定理f(a)·f(b)<0来确定零点的个数。

三、参数范围的确定

例3若函数f(x)=2ax2-x-1 在(0,1)内恰有一个零点,则a的取值范围是( )。

A.(-1,1) B.[1,+∞)

C.(1,+∞) D.(2,+∞)

分析:通过参数a的取值情况的分类讨论,结合函数在区间(0,1)内恰有一个零点的条件,合理建立相应的不等式组求解。

解:当a=0 时,由f(x)=-x-1=0,解得x=-1,此时函数的零点是x=-1,不在区间(0,1)内。1)内。

综上可知,a>1。应选C。

本题主要考查函数零点的存在定理及其应用。解答这类问题的基本方法是:根据参数的情况进行分类讨论,再结合函数零点的存在定理f(a)·f(b)<0,以及对应函数建立相应的不等式(组),最后求出参数的取值范围。

四、函数值大小的判断

例4已知x0是函数的一 个 零 点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )。

A.f(x1)<0,f(x2)<0

B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0

D.f(x1)>0,f(x2)>0

分析:根据题设条件,先确定函数g(x)与函数h(x)=2x在区间(1,+∞)上的单调性,即得零点的唯一性,再结合函数零点的存在定理与函数的单调性即可判断函数值的大小关系。

本题主要考查函数零点的存在定理及其应用。解答这类问题的基本方法是:先确定函数f(x)的单调性(若图像是一条连续不断的曲线,则具有单调性),再利用函数零点的存在定理确定零点的唯一性,最后判断函数值的大小关系。

五、综合应用问题

例5若函数f(x)的零点与函数g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )。

A.f(x)=4x-1

B.f(x)=log3(2-x)

C.f(x)=3x-1

D.f(x)=2x-3

分析:先确定各选项中函数f(x)的零点,结合各零点的取值情况,通过函数g(x)的正负取值来确定零点所在的区间,再借助二分法进一步缩小区间,最后得到适合题意的函数f(x)。

解:对于A,函数f(x)=4x-1 的零点为对于B,函数f(x)=log3(2-x)的零点为x=1。对于C,函数f(x)=3x-1的零点为x=0。对于D,函数f(x)=2x-3的零点为

因为函数f(x),g(x)的零点之差的绝对值不超过0.25,所以f(x)=4x-1的零点符合条件。应选A。

解答本题的关键是利用函数零点的存在定理来确定函数零点所在的区间。

编者的话:函数零点的存在定理是函数与方程中的重要内容,它涉及函数思想、方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,以及二分法思想等。因此,函数零点的存在定理的应用成为高考的常考点,同学们一定要高度重视。