指数函数与对数函数考点直击

■易丽华

指数幂的运算与对数的运算这两个知识点,既是学习和研究指数函数、对数函数的基础,也是高考的必考知识之一,同学们在学习中应给予足够的重视。指数函数、对数函数是重要的基本初等函数,它们的图像与性质是高考考查的重点。因为指数函数与对数函数的图像与性质都与底数的取值有密切的联系,所以在底数的取值不确定时,一定要注意进行分类讨论。

考点一:指数函数、对数函数的定义域与值域问题

求指数函数与对数函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时需要借助于指数函数与对数函数的单调性。涉及指数函数与对数函数的值域问题有两个类型,一是形如y=af(x)和y=logaf(x)的函数,先要求出f(x)的值域,再利用指数函数与对数函数的单调性求解,二是形如y=f(ax)和y=f(logax)的函数,要根据ax和logax的取值范围,利用函数y=f(x)的性质求解。

考点二:指数函数、对数函数的图像与性质问题

例2当时,4x

解答这类问题要熟练掌握指数函数、对数函数,以及幂函数的图像与性质。对于方程与不等式问题,可利用函数的单调性进行转化,也可利用数形结合法解决,对于含参数的问题,要进行分类讨论,同时还要注意参数本身的取值范围,以免出现增根。

考点三:比较大小问题

例3(1)若a=20.2,b=log43.2,c=log20.5,则( )。

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

A.a

C.c

解:(1)由a=20.2>1>b=log43.2>0>c=log20.5,可得a>b>c。应选A。

比较大小的常用方法有单调性法,图像法,中间搭桥法,作差法、作商法等。当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较大小。

考点四:指数函数、对数函数的性质应用问题

例4若不等式(x-1)2

解:设函数f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2

当01时,画出图像,如图1所示。

图1

当x∈(1,2)时,要使f1(x)=(x-1)2的图像在f2(x)=logax的图像下方,只需满足f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,所以loga2≥1,所以a≤2,所以1

解决对数函数的参数取值范围问题应注意的三个方面:对数函数图像的运用,也就是我们常说的数形结合思想的应用;分类讨论思想的运用,如果对数函数的底数是参数a,一般要分a>1和0

考点五:指数函数、对数函数的实际应用问题

例52022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空,成功进入预定轨道。我国在航天领域取得的巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术。根据火箭理想速度公式v=v0·,可以计算理想状态下火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v0(单位:m/s)是喷流相对速度,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为总质比。已知A型火箭喷流相对速度为800m/s,根据以上信息,回答下列问题。

(1)当总质比为50时,求A型火箭的最大速度。

(2)若经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2 倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加800m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小值。(所有结果保留整数,参考数据:ln2≈0.693,ln5≈1.609,e≈2.718)

解:(1)当总质比为50时,A型火箭的最大速度v=800ln50=800(2ln5+ln2)≈800(2×1.609+0.693)=3 128.8 ≈3129(m/s)。

故在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68。

本题以实际生活为背景,考查了对数运算与解对数不等式问题。在阅读理解题意的基础上,方可寻找解题的突破点,体现了运算求解能力,以及分析问题、探究问题的数学素养。