嵌套函数的零点问题

■盛文斌

嵌套函数作为复合函数的一种形式,在高考命题中经常出现。嵌套函数分同一个函数间的嵌套与不同函数间的嵌套,利用复合函数的形式加以合理嵌套,巧妙融入零点及其应用问题,成为高考中的一类比较综合的创新应用问题,倍受大家的关注。

一、整体思维,分类讨论

对于一些相对简单的嵌套函数的零点问题,可以将其内层函数加以整体化处理,借助整体思维进行合理转化,由内到外通过分类讨论,达到解决问题的目的。

例 1 已 知 函 数f(x) =则函数y=f[f(x)]+1 的所有零点构成的集合为____。

分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,利用分段函数中变量的取值范围,通过内层方程的求解,由内到外结合外层方程的求解来确定原方程的解,从而可得对应嵌套函数的零点。

解:依题意可令y=f[f(x)]+1=0,所以f[f(x)]=-1。

当x≤0 时,由f(x)=x+1=-1 得x=-2,由f(x)=-2 得x+1=-2 或log2x=-2,解得x=-3或

涉及简单的嵌套函数的零点问题,可结合内外层函数之间的关系,通过内层函数的整体思维,先内层处理,由内及外,后外层求解,分层分析,分类讨论,结合内外层函数所对应的方程,达到解题的目的。整体思维解决嵌套函数的零点问题,是换元解套思维的简单形式。

二、换元解套,数形结合

对于一些相对复杂的嵌套函数的零点问题,可以将内层函数进行换元处理,通过换元,引入新参数,转化为新参数的外层函数问题,进而回归问题本源加以分析与处理。

例 2 已 知 函 数f(x) =则函数y=f[f(x)]-1的零点个数为____。

分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,通过内层函数的换元处理,结合换元后方程的求解,以及分段函数的图像来确定对应曲线与直线的交点个数,即确定方程的解的个数,从而得到相应函数的零点个数。

解:依题意可令y=f[f(x)]-1=0,可得f[f(x)]=1。

作出分段函数y=f(x)的图像,如图1所示。

图1

结合函数y=f(x)的图像,可知方程f(x)= -1有1 个 解,方 程有2 个解,所以函数y=f[f(x)]-1的零点个数为3。

换元解套是处理嵌套函数的零点问题的主要方法,解答的两个步骤是:换元解套,通过换元t=g(x),引入参数,则y=f(t),将一个嵌套函数的零点问题巧妙拆解为两个简单函数t=g(x)与y=f(t)的零点问题;解方程,利用方程f(t)=0,确定参数t的值,代入方程t=g(x)求出x的值。在利用换元解套思维解题时,可借助函数的图像进行数形结合,从而达到直观处理问题的目的。

三、逆向思维,参数范围

解决一些含参数的嵌套函数的零点问题,可以通过整体思维应用或换元解套思维突破,加以合理的逆向思维,结合图像的直观分析来确定参数的取值范围。

例3已知函数f(x)=-x2-2x,函数若函数y=g[f(x)]-a有4个不同的零点,则实数a的取值范围是_____。

分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,利用函数y=f(x)的值域,结合内层函数的换元处理,确定外层函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像的交点个数,从而借助数形结合来确定对应参数的取值范围。

解:由题意知函数y=g[f(x)]-a有4个不同的零点,所以方程g[f(x)]-a=0有4个不同的实数根。

令t=f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1≤1,由方程g[f(x)]-a=0,可得方程g(t)=a(t≤1)有4个不同的实数根。

易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)内有2个不同的实数根,即函数y=f(x)=-x2-2x与直线y=t(t<1)有2个不同的交点,所以方程g(t)-a=0有4个不同的实数根等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像有2个不同的交点。

当x>0时,=1,当且仅当时,等号成立。

画出函数y=g(t)(t<1)的图像,如图2 所示。结合图像可知当时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2 个 不 同的交点,所以实数a的取值范围是

图2

解决含参数的嵌套函数的零点问题,可借助整体思维或换元解套思维来分析内外层函数的图像与性质,通过分离参数,结合对应的图像来确定参数的取值范围。利用数形结合分析参数的取值范围时,要注意图像的关键点(如区间的端点、函数的极值点等)的位置关系,从而加以合理的取舍。

(多选题)已知x0是函数f(x)=ex+x-2的零点(其中e=2.71828…为自然对数的底数),下列说法正确的是( )。

A.x0∈(0,1) B.ln(2-x0)=x0

C.x0-e-x0<0 D.>e

提示:对于A,函数f(x)=ex+x-2为增函数,则f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以零点x0∈(0,1),A 正确。对于B,x0是方程f(x)=ex+x-2的零点,则ex0+x0-2=0,变形可得ex0=2-x0,两边同时取对数得ln(2-x0)=x0,B 正确。对于C,x0是函数f(x)=ex+x-2 的零点,则ex0+x0-2=0,即x0=2-ex0,所以x0-e-x0=2-ex0-e-x0=2-(ex0+e-x0)。又x0∈(0,1),所以ex0+e-x0>2,所以x0-e-x0<0,C 正确。对于D,x0∈(0,1),所以2-x0∈(1,2),所以x2-x00<1