023年高考函数的奇偶性、单调性、周期性问题聚焦

■陈军丽

2023年高考对函数性质的考查,主要围绕“以常见函数为载体考查函数的奇偶性、单调性,与不等式、方程等结合考查函数的单调性、奇偶性、周期性”,凸显直观想象、逻辑推理、分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养。

聚焦一:函数奇偶性的应用

例1(2023年高考全国卷)已知f(x)是偶函数,则a=( )。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

体验:利用奇函数满足f(-x)=-f(x)或偶函数满足f(-x)=f(x)是解题的关键。要注意的是:若能确定奇函数的定义域中包含0,则直接根据f(0)=0,求出参数的值。

变 式 1: 若 函 数f(x) =为奇函数,则参数a的值为____。

提 示: 因 为 函 数f(x) =为奇函数,所以f(-1)=-f(1),所以-a2-1=-(a+1),即a(a-1)=0,可 得a=0 或a=1。当a=0 时,不是奇函数,即a=0 不合题意;当a=1时,是奇函数,适合题意。综上可得,a=1。

聚焦二:函数周期性的应用

例2(2023年新高考卷)若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)=( )。A.-3 B.-2 C.0 D.1

由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0,可得2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2。令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函数f(x)为偶函数。令y=1,可得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即f(x+2)+f(x)=f(x+1),从而可得f(x+2)=-f(x-1),所以f(x-1)=-f(x-4),所以f(x+2)=f(x-4),可得f(x)=f(x+6),所以函数f(x)的一个周期为6。

因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=0。因为22=3×6+4,所以=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3。应选A。

体验:若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以周期T=2a。若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,x=t+a,则f(t)=f(t+2a),所以周期T=2a。在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z 且k≠0)也是函数的周期。

变式2:已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x)。若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=_____。

提示:因为f(x)是定义域为(- ∞,+∞)的奇函数,且f(1-x)=f(1+x),所以f(1+x)=-f(x-1),所以f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),所以f(x+4)=f(x),所以T=4。因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)。因为f(3)=-f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0。又因为f(2)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2。

聚焦三:函数的奇偶性与单调性的应用

例3(2023 年高考全国卷)已知函数f(x)=e-(x-1)2。记,则( )。

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

令函数g(x)=-(x-1)2,则g(x)的图像开口向下,对称轴方程为x=1。

又因为y=ex为增函数,所以ac>a。应选A。

体验:函数单调性的判断,可依据常见的初等函数的性质,结合复合函数“同增异减”法则得到结论。复杂的解析式给出的函数,可借助奇偶性判断对称区间上的单调性。

变式3:设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )。