环状光束在非Kolmogorov大气湍流中传输的理论研究

段志春，谢世伟，黄永平

（1.计算物理四川省高校重点实验室，四川宜宾 644000；2.宜宾学院 理学部，四川宜宾 644000）

高斯光束通过环状光阑会产生环状光束，由于环状光束在现代光学及原子光学中的广泛实用性而受到人们的关注．激光束在自由空间中传输时会因衍射效应而扩展，而大气湍流引起的大气折射率随机起伏又将导致激光光场的随机变化与散射，从而使激光束在大气湍流中传输时会进一步扩展降低光束传输质量．已有研究对环状光束在各向同性且均匀的理想大气湍流（即Kolmogorov 湍流）中的传输情况进行分析[1-7]，但实际的大气并非总是理想的Kolmogorov 湍流，因此，研究激光束在非Kolmogorov 大气湍流中的传输对于研究激光光束在实际大气中的传输及其应用有着相当重要的意义．文献[8]研究了非Kolmogorov 湍流对环状光束的有效曲率半径的影响，到目前为止，人们对环状光束在非Kolmogorov 大气湍流中的光束扩展变化规律的研究还未见报道．本文利用广义惠更斯-菲涅耳原理、非Kolmogorov 谱和强度二阶矩定义，推导环状光束在大气湍流中传输的束宽和角扩展的表达式，并对计算结果进行一定的物理解释．

1 理论模型

在柱坐标系下，环状光束在入射面（z= 0）处的场分布可表示为[3,5,8]：

式中，r'为入射面上的横向坐标，w0为偏心高斯光束的束腰宽度，p、q(q,p= 0,1,2…)表示环状光束的阶数，且q≥p．为了讨论方便，式（1）略去了振幅常数因子．定义环状光束的外径为R1=(q+ 1)w0，内径为R2=(p- 1)w0，由此可以得到环状光束的遮拦比为：，显然0 ＜ε＜1．

假设一束准单色环状光束从z= 0 面沿z轴在大气湍流中传播．源场处z= 0 面上的交叉谱密度函数为[8]：

根据广义惠更斯-菲涅耳衍射积分公式，环状光束通过大气湍流传输在z处出射面上的平均光强可以表示为：

式中，r'和r分别是初始面和观察面的位置矢量，波数k= 2p/l，λ 为波长；z为传播距离；ψ(r,r'1,z)表示湍流大气对球面波影响的随机相位因子，· 表示大气湍流介质的系综平均，且[4]：

式中，J0是零阶贝塞尔函数，Φn(κ)为大气湍流的折射率起伏谱密度函数．对于非Kolmogorov 谱，Φn(κ)可表示为[9-10]：

其中：

式中，α为广义指数参数，(Γ(5 -α2) )为伽马函数，是广义的湍流折射率起伏结构常数（单位是m3-α）．当α= 11 3时，A(11 3)= 0.033，=，即为理想的大气湍流Kolmogorov谱．

引入大气湍流量表征湍流的影响强度：

将(5)式代入(10)式可以得到

式（11）表明，大气湍流量T(α,l0,L0)与指数α、内尺度l0和外尺度L0有关，T(α,l0,L0)值越大，湍流越强．

2 环状光束在非Kolmogorov 湍流中束宽和角扩展

根据强度二阶矩定义，在柱坐标系下，激光束在大气湍流介质中的二阶矩束宽可表示为[4,6,11]：

将式(2)、(3)、(4)代入式(12)，经过繁冗的计算后，可以推导出环状光束在非柯尔莫哥洛夫湍流中的束宽扩展为：

式中，D-i为抛物线柱函数，且

根据角扩展的定义[6]

环状光束的角扩展可表示为

分析式（13）和（17），在非Kolmogorov 谱大气湍流中环状光束的束宽和角扩展与光束的阶数、束腰宽度、波长，遮拦比和湍流的外尺度L0、内尺度l0、广义指数参数α以及传输距离z有关，它们会随传输距离z的增加而明显增大，光束不断扩展，传输质量变差．在式（13）中，等式右边前面两项代表光束在自由空间由于衍射引起的光束扩展，而第三项表明非Kolmogorov 谱大气湍流引起的光束扩展．当光束传播距离非常短时，光束在传输过程中由于自身的衍射以及湍流的作用对光束扩展的影响都很小，此时起主要作用的是第一项，由光束参数来决定，光束扩展不明显．但随着传输距离逐渐增加，第二、三项的值明显大于第一项的值，表明光束的扩展主要是光束自身的衍射和非Kolmogorov 谱大气湍流引起的．当传输距离足够远时，第三项起主要作用，即此时光束扩展主要由湍流的影响所致，与光束参数无关[12]．结合式（11），对给定的环状光束在非Kolmogorov 谱大气湍流作远距离传输时，由于湍流的作用对其光束的束宽和角扩展的影响因素主要有湍流的外尺度L0、内尺度l0和广义指数参数α．

3 数值分析

图1 描述了环状光束的束宽扩展随湍流的广义指数参数α、外尺度L0和内尺度l0的变化（计算参数分别为：p= 2、q= 5、ε= 1/6、w0= 0.05 m、λ=0.85 μm、C͂2n= 2 × 10-15m3-α、z= 5 km、L0= 20 m和l0= 0.01 m）．

图1 环状光束的束宽扩展随湍流的外尺度L0、内尺度l0和广义指数参数α的变化Fig.1 The beam width spreading of annular beams versus the outer scale L0, the inner scale l0 and parameter α of turbulence

从图1 很明显看出，当光束参数一定，湍流的折射率结构常数以及内外尺度一定的情况下，由于广义指数参数α的取值不同，光束的束宽扩展随α的增加而先增大再减小的变化．在光束传输距离比较远时（如z= 5 km)，湍流内尺度的减小会导致环状光束的束宽明显增大，外尺度的变化对束宽扩展的影响相对较小，尤其是α＜3.6 时，外尺度的增加几乎不引起环状光束的束宽扩展．通过比较式（17）和（13）发现，由于非Kolmogorov 谱大气湍流引起环状光束的角扩展的变化规律与光束束宽扩展变化规律是相似的．

4 结语

本文基于广义惠更斯—菲涅耳原理，利用非Kolmogorov 谱和强度二阶矩定义，推导出环状光束在大气湍流中传输的束宽和角扩展的表达式，并对计算结果进行了一定的物理解释．从理论上分析了在非Kolmogorov 湍流中传输的环状光束，由于自身衍射和湍流的共同作用，使光束展宽明显，光束传输质量降低．当传输距离足够远时，由于湍流的作用，湍流的外尺度L0、内尺度l0和广义指数参数是对环状光束的束宽和角扩展影α响的主要因素．在其他参数一定的情况下，环状光束的束宽扩展和角扩展随广义指数参数α的增加呈先增加后减小的变化，随湍流内尺度的增加而减小，随外尺度的增加而增加（3.6 ＜α＜4），在α＜3.6 区域，环状光束的束宽扩展和角扩展几乎不受湍流外尺度改变的影响．该结论对环状光束在实际光通信应用中有重要的潜在意义．